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第八章 平面解析几何
第二节 两条直线的位置关系
知识点90 两条直线的位置关系与距离问题
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两条直线的位置关系（斜截式方程 ，）：
平行条件： 且 。
垂直条件：。
距离公式：
距离类型 公式
点 与 之间的距离
点 到直线l: 的距离
两条平行直线 与 间的距离
特别提醒：使用点到直线距离公式时，需先将直线方程化为一般式 。
计算平行直线间距离时，需确保两直线方程中 的系数对应相等。
教材素材变式
1. [解答题][人B选必一P97练习B第5题变式]
已知直线 和 相交于点 。
(1) 若 ，求 的值及点 的坐标；
(2) 若 ，求 的值及两平行线间的距离。
2. [多选题][人B选必一P94例2、P96例4变式]
关于直线 ，下列选项正确的是（ ）
A. 当 时， 的倾斜角为
B. 点 到 的最大距离为 2
C. 若 与 平行，则
D. 过定点
3. [多选题][苏教选必一P32习题1.4第6题变式]
已知直线 和 ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 当 时， 与 的交点为
D. 两平行线间距离为 时，
4. [选择题][人A选必一P102复习参考题2第10题变式]
点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. [填空题][苏教选必一P42习题1.5第14题变式]
两平行直线 和 截线段 ，则 ___，直线倾斜角为 ___。
知识点91 对称问题
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对称类型 公式/方法
点关于点对称 若点 关于点 的对称点为 ，则：
直线关于点对称 方法： 1. 在已知直线上取两点，分别求其关于已知点的对称点，再连接两点确定对称直线； 2. 先求一个对称点，再利用对称直线与原直线平行确定对称直线。
点关于直线对称 若两点 和 关于直线 对称，则满足： （通过解方程组求对称点坐标）
直线关于直线对称 转化为点关于直线的对称问题求解。
教材素材变式
1. [单选][人B选必一P102习题2-2C第3题变式]
点 关于直线 的对称点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. [单选][苏教选必一P42习题1.5第18题变式]
直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. [解答题][人A选必一P102复习参考题2第1(3)题变式]
已知直线 和 ，求 关于 对称的直线 的方程。
4. [解答题][苏教选必一P42习题1.5第15题变式]
光线从点 射到直线 后反射，反射光线经过点 ，求反射光线所在直线的方程。
5. [解答题][苏教选必一P48复习题第18题变式]
已知角的两边所在直线为 和 ，求角平分线方程。
6. [解答题][人A选必一P103复习参考题2第12题变式]
已知点 、 和直线 。
(1) 在 上求点 ，使 最小；
(2) 在 上求点 ，使 最大。
知识点90 两条直线的位置关系与距离问题
解：(1)由两直线垂直条件，，解得。联立，解得，，即。
所以，点的坐标为
(2)由平行条件，，解得。直线为，即，距离。
所以，两平行线间的距离为
2. 答案：A、B、D
解析：
A. 当 ，斜率 ，倾斜角 ，正确。
B. 直线恒过 ，点 到 的距离为 ，错误（修正：最大距离为 正确）。
C. 平行时 ，解得 ，错误。
D. 代入 恒成立，正确。
3. 答案：B、C
解析：
A. 垂直时，，解得，A错误。
B. 平行时，，解得（时重合舍去），B正确。
C. 当，：，：，联立得交点，C正确。
D. 当，两直线为和，即和，距离，D错误。
4. 答案：A
解析：直线变形为，联立，得定点。点到直线的最大距离为。A正确。
5. 答案：或，倾斜角为
解析：两平行线间距离，由题意，（线段与平行线垂直时），即，解得或。直线斜率，倾斜角为。
知识点91 对称问题
1. 答案：A
解析：设对称点，中点在直线上，得，即；斜率为，即。联立解得，，故。
2.答案：A
解析：取直线上点，其关于点的对称点为。对称直线与原直线平行，设方程为，代入得，即。
3. 解：联立和得交点。取上点，设其关于的对称点为，中点在上，得，即；斜率为，即。联立解得。过点和的直线方程为。
4. 解：设点关于直线的对称点为，中点在上，得，即；斜率为，即。联立解得。反射光线过和，斜率，方程为，即。
5. 解：设角平分线上点，由角平分线性质，，即。分情况：
，得，即（舍去，不在两直线夹角内）；
，得，即。
解：(1)求点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为。的方程为，联立，解得，，即，。
所以点，最小值为
(2)由，当在直线与直线的交点时取最大值。直线的方程为，联立，解得，，即，。
所以点，最大值为第八章 平面解析几何
第一节 直线的方程
知识点88 直线的倾斜角与斜率
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直线的倾斜角 直线的倾斜角的取值范围是.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
直线的斜率 倾斜角为的直线的斜率k. 过两点的直线的斜率公式为. 3.若直线的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x,y）()，则
教材素材变式
1. [单选][人A选必一P55练习第5题变式]
已知直线 的方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. [单选][人A选必一P56例3变式]
正方形 的对角线 的斜率为 ，则邻边 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
3. [多选][人A选必一P51知识变式]
已知直线 的斜率 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 倾斜角
B. 若 绕原点逆时针旋转 ，则新斜率
C. 倾斜角的正弦值
D. 存在 使得
4. [单选][人A选必一P58习题2.1第8题变式]
已知点 和 ，若直线 与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. [单选][人B选必一P82练习B第1题变式]
若直线 的倾斜角 满足 ，则斜率 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. [单选][链接苏教选必一 P5知识]
《营造法式》记载的举架结构如图所示，其中 的斜率成等差数列。若 斜率为 ， 斜率为 ，则 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
知识点89 直线方程的求解
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直线方程的六种形式及适用条件
方程 适用条件
点斜式 过点 ,斜率为 的直线方程为 直线不垂直于 轴
斜截式 斜率为 ,在 轴上的截距为 的直线方程为 直线不垂直于 轴
两点式 过两点 的直线方程为 直线不垂直于 轴和 轴
截距式 轴, 轴上的截距分别为 的直线方程为 直线不垂直于 轴和 轴, 且不过原点
一般式 一般式 任何情况
横截式 直线斜率不存在的情况
注意:截距是一个数．它可以是正数．也可以是负数．还可以是0．
教材素材变式
1.[单选][人B选必一P90练习B第5题变式]
已知直线 的方向向量为 ，且过点 ，则直线 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.[单选][人A选必一P66例6变式]
过点 和 的直线在 轴上的截距为（ ）
A. 5 B. -5 C. 4 D. -4
3.[单选][人A选必一P68习题2.2第12题变式]
将直线 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得直线与原直线不重合，则直线 的斜率为（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
4.[单选][苏教选必一P19习题1.2第2、12题变式]
关于直线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，直线 的斜率不存在
B. 直线 恒过定点
C. 当 时，直线 在 轴和 轴上的截距相等
D. 当 时，直线 的斜率为 1
5.[单选][人A选必一P67习题2.2第7题变式]
已知直线 在 轴和 轴上的截距之和为 0，且过点 ，则直线 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.[多选][人A选必一P63例4变式]
已知点 、，直线 ，则（ ）
A. 若 与线段 有交点，则
B. 直线 的倾斜角 满足 时，
C. 过点 且垂直于 的直线方程为
D. 线段 的垂直平分线方程为
7.[解答题][苏教选必一P20习题1.2第8、11题变式]
已知直线 过点 ，且与坐标轴围成的三角形面积为 6。
(1) 求直线 的方程；
(2) 若点 到直线 的距离最小，求此时直线 的方程。
知识点88 直线的倾斜角与斜率
1. 答案：B
解析：直线方向向量为，斜率，故倾斜角。
2. 答案：B
解析：设对角线倾斜角为，。邻边与对角线夹角为，由斜率公式得，因方向相反，故。
3. 答案：A、B、D
解析：
A. 由，得倾斜角，正确。
B. 旋转后斜率，范围为，正确。
C. 非负，范围应为，错误。
D. 时，，正确。
4. 答案：A
解析：计算，临界斜率为（过与轴交点）和（过与轴交点），但实际线段相交临界为过、的直线斜率，即或。
5. 答案：A
解析：由，得，故，即。
6. 答案：C
解析：设公差为，，解得，故。
知识点89 直线方程的求解
1. 答案：A
解析：方向向量对应斜率，由点斜式，整理得。
2. 答案：A
解析：斜率，点斜式方程为，即，轴截距为。
3. 答案：A
解析：直线平移不改变斜率，原直线斜率为，平移后斜率仍为。
4. 答案：A
解析：
A. 时，直线为，斜率不存在，正确。
B. 代入得，不恒过该点，错误。
C. 时，直线为，轴截距，轴截距，不相等，错误。
D. 时，直线为，斜率为，错误。
5. 答案：A
解析：设截距式，代入得，解得，方程为。
6. 答案：B、C、D
解析：
A. ，，故，错误。
B. ，，故，正确。
C. 斜率为，垂线斜率为，方程为，即，正确。
D. 中点为，垂直平分线斜率为，方程为，即，正确。
7. 解：(1) 设截距式，由题意，且过点，即。
当时，联立得，即，解得，，方程为；
当时，联立得，即，解得，，方程为。
所以直线方程为或
(2) 点到直线距离最小时，。，故的斜率，方程为，即。第八章 平面解析几何
第四节 椭圆
知识点96 椭圆的定义及标准方程
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椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。
教材素材变式
1. [选择题][苏教选必一P81知识变式]
题目：已知动点 满足 ，其中 、，则点 的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
2. [填空题][苏教选必一P86习题3.1(1)第8题变式]
题目：曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的取值范围 。
3. [选择题][人A选必一P107考题变式]
题目：椭圆 的焦点为 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
4. [选择题][苏教选必一P85练习第1题变式]
题目： 的顶点 、，周长为18，则顶点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
5. [解答题][人A选必一P113例6变式]
题目：动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，求 的轨迹方程。
6. [解答题][人B选必一P133例2变式]
题目： 的周长 ，顶点 、，且 、、 成等差数列，求顶点 的轨迹方程。
7. [解答题][人B选必一P135练习B第2题变式]
题目：椭圆 的焦点为 、，点 在椭圆上，求 的周长。
8. [解答题][人B选必一P141练习A第3题变式]
题目：椭圆中心在原点，焦点在 轴，焦距为8，椭圆上点到焦点的最小距离为2，求椭圆方程及 的最小值（， 为右焦点）。
9. [解答题][人A选必一P115习题3.1第10题变式]
题目：动圆 与圆 外切，与圆 内切，求圆心 的轨迹方程。
10. [解答题][人A选必一P115习题3.1第4题变式]
题目：求满足下列条件的椭圆标准方程：
(1) 焦点在 轴，焦距为6，长轴长为10；
(2) 经过点 ，离心率 。
11. [解答题][人A选必一P115习题3.1第6题变式]
题目：线段 长为6，点 满足 ，且 ，求点 的轨迹方程。
知识点97 椭圆的几何性质
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教材素材变式
1. [多选题][苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式]
已知椭圆 （）的离心率为 ，左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上。下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 若 ，则 的面积为
C. 椭圆上点到焦点的最小距离为
D. 椭圆的标准方程为
2. [选择题][苏教选必一P92练习第6题变式]
椭圆 上关于原点对称的两点 、 满足 ，且椭圆离心率为 ，则椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
3. [选择题][苏教选必一P92习题第6(1)题变式]
椭圆 的焦点 、 与短轴端点构成直角三角形，且 ，则离心率 为（ ）
A. B. C. D.
4. [解答题][人B选必一P141练习B第3题变式]
已知椭圆 （）的离心率 ，点 为椭圆上任意一点。
(1) 若 ，求椭圆方程；
(2) 求 的最大值。
5. [解答题][苏教选必一P93习题3.1(2)第12题变式]
椭圆 （）上存在点 ，使得 ，求离心率 的取值范围。
知识点98 直线与椭圆的位置关系
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教材素材变式
1. [选择题][人A选必一P114例7变式]
题目：直线 与椭圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. [解答题][人A选必一P115练习第2题变式]
题目：已知椭圆 ，直线 过点 与椭圆相交于 两点。
(1) 若 的斜率为 1，求弦长 ；
(2) 求 的最大值。
3. [选择题][2023新课标II卷变式]
题目：椭圆 ，直线 与 交于 两点，若 的面积为 ，则 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4. [选择题][人A选必一P116习题3.1第13题变式]
题目：椭圆 上的点到直线 的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
5. [多选题][苏教选必一P125复习题第15题变式]
题目：椭圆 ，直线 与 交于 两点， 为 中点，则（ ）
A. 的斜率为
B.
C. 在椭圆内
D. 的方程为
6. [解答题][人A选必一P145复习参考题3第7题变式]
题目：椭圆 的离心率为 ，短轴长为 。
(1) 求 的方程；
(2) 过点 的直线 与 交于 两点，若 面积为 ，求 的方程。
知识点96 椭圆的定义及标准方程
1. 选择题
答案：A
解析：由椭圆定义，，故轨迹为椭圆。
2. 填空题
答案：
解析：曲线表示焦点在x轴上的椭圆需满足，解得。
3. 选择题
答案：C
解析：由焦点坐标知，又，结合，解得。
4. 选择题
答案：A
解析：，故，，，轨迹方程为。
5. 解答题
答案：
解析：由椭圆第二定义，离心率，定直线为右准线，得，，，方程为。
解：，故，，，轨迹方程为（不在x轴上，故）。
所以方程为（）
7. 解：椭圆中，，，周长为。
8. 解：焦距，，椭圆上点到焦点最小距离为，故，，方程为；
设右焦点，由椭圆定义，，当、、共线时取最小值。
解：设动圆半径为，则，，故，轨迹为椭圆，，，，方程为。
10. 解：（1）焦距，，长轴长，，，焦点在y轴，方程为；
（2）离心率，即，，，椭圆过点，代入得，解得，故，，方程为。
11. 解：由，轨迹为椭圆，，，，方程为；又，故，结合椭圆定义，得，由勾股定理知在以为直径的圆上，联立得轨迹为两曲线交点。
所以方程为：（与圆的交点）
知识点97 椭圆的几何性质
1. 多选题
答案：A、C、D
解析：
A. 离心率，设，，由选项知，长轴长，正确；
C. 椭圆上点到焦点最小距离为，正确；
D. ，方程为，正确。
2. 选择题
答案：A
解析：，故到原点距离为，即，离心率，得，椭圆方程满足，联立得，，方程为。
3. 选择题
答案：C
解析：焦点与短轴端点构成直角三角形，且，即，，，离心率，但按文档解析，若，则，，。
4. 解：（1），，，，方程为；
（2）设，，，则，由椭圆方程，得，最大值为，故最大值为。
5. 解：当为短轴端点时，最大，此时需，即，由余弦定理，得，故离心率，又，故。
知识点98 直线与椭圆的位置关系
1. 选择题
答案：A
解析：联立直线与椭圆方程，消去 得：
判别式 ，解得 ，即 。
2. 解：（1）直线，联立椭圆得，，弦长；
（2）当直线过椭圆短轴端点时，设斜率为 ，联立后利用弦长公式和导数求极值，弦长最大值为。
3. 选择题
答案：A
解析：设直线，联立椭圆得，面积为，解得。
4. 选择题
答案：C
解析：利用参数法或平行切线法，最大距离为圆心到直线距离加半径：
实际计算得 。
5. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 由点差法，设，，，，相减得，中点，故，正确；
D. 直线方程为，即，正确。
6. 解：（1）短轴长，，离心率，，，解得，，方程为；
（2）设直线，联立椭圆得，，，面积为，解得，方程为。第八章 平面解析几何
第六节 抛物线
知识点102 抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
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1.抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
2.抛物线标准方程的四种形式
教材素材变式
1. [选择题][苏教选必一P113练习第6题变式]
题目：动点 到定点 的距离等于到直线 的距离，则 的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
2. [解答题][人B选必一P164例2变式]
题目：已知抛物线 ，点 。
(1) 求抛物线上点 到 的最小距离；
(2) 若 在 上移动，求 的最小值。
3. [选择题][人A选必一P138练习第3题变式]
题目：抛物线 上点 到焦点 的距离为 5，到 轴的距离为 3，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. [选择题][人A选必一P138习题3.3第5题变式]
题目：抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. [选择题][人A选必一P145复习参考题3第6题变式]
题目：抛物线 的焦点 与顶点 构成等边三角形 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. [选择题][人B选必一P167习题2-7B第1题变式]
题目：抛物线 的焦点 ，准线为 ，点 在抛物线上且 ，则 到 的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. [选择题][人B选必一P167习题2-7C第1题变式]
题目：点 ，抛物线 的焦点 ，点 在抛物线上，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. [填空题][人A选必一P139习题3.3第8题变式]
题目：抛物线形拱桥的跨度为 16 米，拱高为 4 米。若水面上升 1 米，则水面宽度减少______米。
9. [解答题][人B选必一P164例3变式]
题目：动点 满足 ，其中 ，，且 ，求 的轨迹方程。
10. [解答题][苏教选必一P117习题3.3(2)第5题变式]
题目：抛物线 过点 ，且焦点到准线的距离为 2。
(1) 求 的标准方程；
(2) 若 在 上移动， 为 的中点，求 的轨迹方程。
知识点103 直线与抛物线的位置关系
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设直线交抛物线于两点，线段的中点为，则弦长，斜率。
设抛物线的弦为，弦的中点为，则。
教材素材变式
1. [多选题][人A选必一P139习题3.3第12题变式]
题目：已知抛物线 ，直线 与 相交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 与 相切，则
C. 存在 使得 为直径的圆经过原点
D. 若 ，则 的中点到准线的距离为 3
2. [填空题][人A选必一P136练习第4题变式]
题目：直线 与抛物线 相交的弦长为 ，则 ______。
3. [选择题][人B选必一P173习题2-8B第2题变式]
题目：抛物线 的弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. [选择题][人A选必一P146复习参考题3第12题变式]
题目：抛物线 上点 处的切线为 ，过焦点 的直线与 及抛物线交于 ，则 的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. [选择题][人B选必一P170例4变式]
题目：抛物线 的准线为 ，点 在 上，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，则 的最小面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. [填空题][人A选必一P146复习参考题3第10题变式]
题目：抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 （ 为准线），则 的方程为 ______，直线 的斜率为 ______。
7. [解答题][人A选必一P139习题3.3第12题变式]
题目：抛物线 的焦点为 ，点 在 上。
(1) 求 的方程；
(2) 过 的直线 与 交于 两点，若 的面积为 ，求 的方程；
(3) 证明： 的垂直平分线恒过定点。
知识点102 抛物线的定义及标准方程、抛物线的几何性质
1. 选择题
答案：A
解析：由抛物线定义，焦点，准线，得，方程为。
2. 解：
(1) 设，，当时，；
(2) 抛物线顶点为，此时为最小值。
3. 选择题
答案：B
解析：点到准线距离为，准线方程，则，解得。
4. 选择题
答案：C
解析：焦点，设，由，，解得，。
5. 选择题
答案：A
解析：焦点，顶点，等边三角形边长为，故。
6. 选择题
答案：B
解析：设，为中点，到准线距离为，由，最小值为。
7. 选择题
答案：A
解析：准线，最小值为到准线距离。
8. 填空题
答案：
解析：设抛物线方程，过得，方程。水面上升1米，时，，宽度减少。
9. 解答题
答案：或
解析：由得，即，解得或，轨迹为或。
10. 解答题
答案：(1)；(2)
解析：
(1) 焦点到准线距离，抛物线过，方程为；
(2) 设，则，代入得，即。
知识点103 直线与抛物线的位置关系
1. 多选题
答案：A、C
解析：
A. 时，联立与，弦长，正确；
C. 设，，即，解得，存在，正确。
2. 填空题
答案：
解析：联立与，得，弦长，解得。
3. 选择题
答案：B
解析：由点差法，斜率。
4. 选择题
答案：C
解析：切线：，过的直线设为，与交于，与抛物线交于，面积为。
5. 选择题
答案：B
解析：设切线方程，与相切得，两切点距离为，高为，面积最小值为。
6. 填空题
答案：；
解析：焦点，，方程；斜率为，故准线斜率为。
7. 解：(1) 代入得，方程；
(2) 设：，联立得，面积，解得；
(3) 设中点，斜率，垂直平分线方程，化简得，恒过。第八章 平面解析几何
第五节 双曲线
知识点99 双曲线的定义及标准方程
回归教材
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
教材素材变式
1. [选择题][人A选必一P121练习第3题变式]
题目：已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，且经过点(3, 4)，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
2. [选择题][人A选必一P124例4变式]
题目：某双曲线型冷却塔的通风口设计为双曲线的一部分，已知通风口最窄处宽度为6米，高度为8米，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3. [选择题][人A选必一P121练习第4题变式]
题目：双曲线 上一点P到左焦点的距离为3，则P到右焦点的距离为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
4. [解答题][苏教选必一P101习题3.2(1)第11题、P105例1变式]
题目：双曲线 的虚轴长为6，焦点为 ，点P在双曲线上且 ，求 的周长。
5. [选择题][苏教选必一P101习题3.2(1)第10题变式]
题目：双曲线 上一点P到右焦点的距离为5，则 的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
6. [解答题][人A选必一P127习题3.2第2题变式]
题目：求满足下列条件的双曲线标准方程：
(1) 焦点在y轴上，焦距为10，渐近线斜率为 ；
(2) 经过点 ，离心率为 。
7. [解答题][人A选必一P128习题3.2第11题变式]
题目：已知点 ，，动点P满足 的面积为2，求P点的轨迹方程。
8. [选择题][人A选必一P127习题3.2第5题变式]
题目： 的顶点A在x轴上移动，边BC固定且长度为4，若 的内切圆始终与边BC相切，则顶点A的轨迹是（ ）
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
知识点100 双曲线的几何性质
回归教材
教材素材变式
1. [选择题][苏教选必一P107习题3.2(2)第5、9题变式]
题目：已知双曲线 的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线的标准方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. [选择题][人A选必一P127习题3.2第8题变式]
题目：椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. [选择题][人A选必一P128习题3.2第12题变式]
题目：双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. [选择题][苏教选必一P128本章测试第5题变式]
题目：双曲线 的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）与虚轴构成等边三角形，则离心率 为（ ）
A. B. C. D.
5. [解答题][人B选必一P156练习B第4题变式]
题目：已知双曲线的实轴长为6，渐近线方程为 ，求双曲线的标准方程。
6. [多选题][人B选必一P156练习B第5题变式]
题目：双曲线 ，则（ ）
A. 渐近线方程为
B. 离心率
C. 点 到渐近线的距离为
D. 以双曲线顶点为顶点的三角形面积为
7. [解答题][人B选必一P54例3变式]
题目：双曲线 的焦点在 轴上，离心率 \( e \in (1,2) \，求双曲线渐近线斜率的取值范围。
8. [填空题][人A选必一P122-P123知识变式]
题目：双曲线 的渐近线方程为______，若向量 与渐近线平行，则 的终点在双曲线的______（填“内部”或“外部”）。
知识点101 直线与双曲线的位置关系
回归教材
直线与双曲线位置关系的判断方法：判断直线与双曲线的位置关系和判断直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立直线方程与双曲线方程并消元后，看得到的方程的二次项系数是否为。当二次项系数为时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为时，利用判别式求解。
与中点弦有关的常用结论：双曲线上以为中点的弦所在直线的斜率。
教材素材变式
1. [选择题][苏教选必一P124复习题第10题变式]
题目：直线 与双曲线 的右支有两个交点，则斜率 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. [填空题][2024北京卷、北师遗必-P80练习第1题变式]
题目：若直线 与双曲线 仅有一个公共点，则 ______。
3. [选择题][人A选必一P126例6变式]
题目：过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线于 两点，若 ，则 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
4. [解答题][人B选必一P178复习题B组第16题变式]
题目：双曲线 上两点 的中点为 ，求直线 的斜率。
5. [选择题][人A选必一P128习题3.2第13题变式]
题目：双曲线 的一条弦的中点为 ，则此弦所在直线的斜率为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. [填空题][探究变式]
题目：双曲线 上是否存在点 ，使得 为某条弦的中点且该弦斜率为 1？ （填“存在或不存在”）
7. [解答题][人B选必一P178复习题B组第19题变式]
题目：双曲线 的焦点为 ，且过点 。
(1) 求 的标准方程；
(2) 过点 的直线 与 交于 两点，若 面积为 ，求 的方程。
知识点99 双曲线的定义及标准方程
1. 选择题
答案：A
解析：焦距，得。设双曲线方程为，则。将点代入得，解得，，方程为。
2. 选择题
答案：A
解析：通风口最窄处为实轴，，得；高度对应，故方程为。
3. 选择题
答案：B
解析：由双曲线定义，，已知，则。
4. 解答题
答案：26
解析：虚轴长，得。设（题目隐含），则。由双曲线定义，，周长为。
5. 选择题
答案：B
解析：双曲线中，，。由，，得。，由余弦定理得，面积为。
6. 解：（1）焦点在轴，，，渐近线斜率，得，，方程为；
（2）离心率，得，设方程，代入点得（修正：正确代入得，，方程为，即，原答案有误，此处以标准步骤得）。
7. 解：面积为，，得，轨迹为。
8. 选择题
答案：A
解析：由内切圆性质，为定值，符合双曲线定义。
知识点100 双曲线的几何性质
1. 选择题
答案：A
解析：渐近线斜率，设，，，得，方程为。
2. 选择题
答案：B
解析：椭圆焦点，双曲线中，，，离心率。
3. 选择题
答案：A
解析：离心率，得，渐近线为。
4. 选择题
答案：D
解析：通径长，虚轴长，由等边三角形得，，离心率。
5. 解：实轴长，，渐近线斜率，，方程为。
6. 多选题
答案：A、B
解析：A. 渐近线为，正确；
B. 离心率，正确。
7. 解：离心率，得，渐近线斜率。
8. 填空题
答案：；内部
解析：渐近线为，点代入双曲线左侧得，在内部。
知识点101 直线与双曲线的位置关系
1. 选择题
答案：D
解析：联立得，需且两根为正，得，即。
2. 填空题
答案：或
解析：联立得，相切时，得；平行渐近线时。
3. 选择题
答案：A
解析：右焦点，设直线，联立后弦长公式得，解得。
4. 解答题
答案：
解析：点差法得，中点，斜率。
5. 选择题
答案：B
解析：点差法得斜率。
6. 填空题
答案：不存在
解析：设弦中点，斜率，由点差法得，代入双曲线无解，不存在。
7. 解：（1），设方程，代入得，，方程为；
（2）设直线，联立得，面积，解得，方程为。第八章 平面解析几何
数学模型 4 圆锥曲线的光学性质的应用
模型解读
应用专练
第1题[填空题][人A选必一P140阅读与思考变式]
题目：圆锥曲线具有丰富的光学性质, 在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质: 从椭圆的一个焦点发出的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上. (如图1).如图2, 已知 为椭圆 C: 的左焦点, O为坐标原点, 直线为椭圆C的任一条切线, H为 在l上的射影, 则点H的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C. 双曲性 D．抛物线
变式1[填空题]
题目：圆锥曲线的光学性质应用非常广泛, 如图所示, 从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线, 且反射光线的反向延长线经过左焦点 . 已知双曲线的离心率 , 则当入射光线 和反射光线 互相垂直时 (其中 为入射点) ______.
变式2[选择题]
题目：如图1所示, 双曲线具有光学性质: 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 : 的左、右焦点分别为 , 从 发出的光线经过图2中的 两点反射后, 分别经过点 和 , 且 , , 则双曲线 的离心率为（）
A. B. C. D.
变式3[解答题]
题目：已知椭圆 的焦点在 轴上, 长轴长与短轴长的比为 , 焦距为 . 为椭圆上任意一点, 过点 作圆 的两条切线 、， 分别为切点, 直线 分别与 、 轴交于 、 两点.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 求面积的最小值;
(3) 过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
变式4[选择题]
题目：抛物线具有以下光学性质: 从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴. 该性质在实际生产中应用非常广泛. 如图, 从抛物线 的焦点F发出的两条光线a, b分别经抛物线上的A, B两点反射, 已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 , 则两条反射光线 和 之间的距离为（）
A. B= c. D.
第2题[选择题]
题目： 抛物线有如下光学性质: 平行于抛物线对称轴的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线经过抛物线的焦点. 过点 且平行于 轴的一条光线射向抛物线 上的 点, 经过反射后的反射光线与 相交于点 , 则 ( )
A. B. 9 C. 36 D.
第3题[填空题]
题目：圆锥曲线光学性质(如图1所示)在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2, 一个光学装置由有公共焦点 的椭圆 与双曲线 构成, 一光线从左焦点 发出, 依次经过 与 的反射, 又回到点 历时 秒; 若将装置中的 去掉, 则该光线从点 发出, 经过 两次反射后又回到点 历时 秒.若 与 的离心率之比为 , 则 ______.
第4题[多选题]
题目：用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质: 一束平行于抛物线对称轴的光线, 经过抛物面 (抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面) 反射后, 集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面, 将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中, 对称轴与x轴重合, 顶点与原点重合.若抛物线C: 的焦点为F, O为坐标原点, 一条平行于x轴的光线从点M射入, 经过C上的点A反射, 再经过C上另一点B反射后, 沿直线射出, 则（）
A．C的准线方程为
B.
C. 若点 , 则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
第5题[填空题]
题目：应用抛物线和双曲线的光学性质, 可以设计制造反射式天文望远镜, 这种望远镜的特点是, 镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚. 某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜, 其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示. 其中, 一个反射镜 弧所在的曲线为抛物线, 另一个反射镜 弧所在的曲线为双曲线一个分支. 已知 是双曲线的两个焦点, 其中 同时又是抛物线的焦点, 且, 的面积为10, , 则抛物线方程为 ______.
第6题[选择题]
题目：智慧的人们在进行工业设计时, 巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质, 比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线, 探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线. 如图, 从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射, 且反射光线的反向延长线经过左焦点 . 已知入射光线 斜率为 , 且 和反射光线 互相垂直 (其中P为入射点), 则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
第7题[解答题]
题目：圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质, 这些性质均与它们的焦点有关如: 从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上, 经过反射后通过椭圆的另一个焦点; 从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上, 经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览, 其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质, 此展品的一个截面由一条抛物线 和一个 “开了孔” 的椭圆 构成(小孔在椭圆的左上方).如图, 椭圆与抛物线均关于 x 轴对称, 且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点, 为椭圆 的焦点, 同时 也为抛物线 的焦点, 其中椭圆的短轴长为 , 在 处放置一个光源, 其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到 经过的路程为8.由 照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔, 再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
(1) 求抛物线 的方程;
(2) 若由 发出的一条光线经由椭圆 上的点 反射后穿过小孔, 再经抛物线上的点 反射后刚好与椭圆相切, 求此时的线段 的长;
(3) 在 (2) 的条件下, 求线段 的长.
第8题[选择题]
班级物理社团同学在做光学实验时,发现了一个有趣的现象:从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质,解决下面问题:
已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则=（）
A. B. C: D,
第9题[选择题]
抛物线有如下光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线反射后, 沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之, 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线 中, 一平行于 轴的光线 射向抛物线上的点 , 反射后反射光线经过抛物线的焦点 射向抛物线上的点 , 再反射后又沿平行 轴方向的直线 射出.则直线 与 之间的最小距离为（）
A.4 B. 2 C. 8 D. 16
第10题[填空题]
椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:现有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程;点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发,沿角直线运动,经椭圆内壁反射后再回到点时,小球经过的路程为______.
第1题
答案：A
解析：设椭圆右焦点为，过作切线的垂线，垂足为。由椭圆光学性质，反射光线过，且（椭圆切线性质）。又因为中点，根据中位线定理，，故（定值），点的轨迹是以为圆心、为半径的圆。
变式1
答案：
解析：双曲线离心率，即，，。设，，由双曲线定义。入射光线与反射光线垂直，即，故。联立得，。，又，代入，解得，故，。
变式2
答案：B
解析：由，得。设，，。由，得，即为中点。双曲线中，，，两式相加得。由光学性质，，，，，代入得，恒成立。在中，，由余弦定理，即，化简得，离心率。
变式3
解：(1)
长轴长与短轴长比为，即，，焦距，。由，得，，。
故椭圆的标准方程为
设，圆的切点弦方程为，得，，面积。由椭圆方程，故，。
故面积最小值为
(3) 设，，直线方程，代入椭圆得。由，即，化简得，代入韦达定理得，故直线为，过定点。
变式4
答案：D
解析：抛物线焦点，入射光线与轴夹角，方程为。联立，得，或，对应，。反射光线平行于轴，方程为和，距离为。
第2题
答案：D
解析：平行于轴的光线过，与抛物线交于。抛物线焦点，反射光线过和，方程为。联立，得，，，，。
第3题
答案：
解析：设椭圆离心率，双曲线离心率，椭圆长轴，双曲线实轴。光线经椭圆反射路程为（两次反射），经双曲线和椭圆反射路程为（双曲线反射路程，椭圆反射路程）。时间比等于路程比，。由，，得，故。
第4题
答案：AD
解析：
A. 抛物线准线方程，正确；
B. 设，，反射光线过焦点，故，即，化简得，错误；
C. ，入射光线，交抛物线于，反射光线过，方程，交抛物线于，，错误；
D. 直线方程，与准线交于，反射光线方程，代入，得在上，正确。
第5题
答案：
解析：中，，，面积。设，，由，，，得，。由正弦定理，，，解得。抛物线焦点，方程。
第6题
答案：D
解析：入射光线斜率为，与反射光线垂直，故反射光线斜率为，。设，，由双曲线定义。在中，，，由正弦定理，得，，代入，，离心率（舍去负号），故。
第7题
解：(1)椭圆短轴长，。光线经椭圆两次反射路程为，，椭圆焦点，，抛物线焦点，方程。
(2)设，抛物线反射光线平行于轴，故纵坐标与入射点纵坐标相同，由抛物线定义。椭圆切线方程与反射光线相切，得，。
(3) 在椭圆上，在抛物线上，坐标分别为和，距离。
第8题
答案：C
解析：椭圆中，，，。由椭圆定义，，已知，则。
切线的垂线为点的法线，根据椭圆光学性质，法线平分。由角平分线定理，。
第9题
答案：A
解析：抛物线的焦点。设，平行于轴的光线为，反射后过，则反射光线方程为，与抛物线交于。再反射后为。
由抛物线光学性质，与关于轴对称时距离最小。设，则，距离为，最小值为（当时）。
第10题
答案：
解析：椭圆中，，，，。
若小球直接从出发经椭圆反射一次回到，路程为（舍去，不符合角）；
若小球经椭圆反射两次回到，根据椭圆光学性质，路径为，由几何关系，中，，由余弦定理得，路程为。第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
知识点 92 圆的方程
回归教材
圆的标准方程（掌握）： ，圆心坐标为 ,半径为 .
圆的一般方程（掌握）: ,圆心坐标为 ,半径为 .
结论:以 为直径端点的圆的方程为 。
结论拓展 : 对于平面上一点 与圆 ，
点 在圆上，即 ；
点 在圆内，即 ；
(3) 点 在圆外，即 。对于平面上一点 与圆 ，若点 在圆 上，则 ；若点 在圆 外，则 ；若点 在圆 内，则 。
教材素材变式
1. [单选][人A选必一P88练习题2.4第3题变式]
已知圆 ，若直线 是圆 的对称轴，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. [单选][人A选必一P85练习第1题变式]
圆心为 且与 轴相切的圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. [单选][苏教选必一P61习题2.1第2题变式]
已知圆内接正方形的对角线顶点为 和 ，则该圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. [单选][人A选必一P102复习参考题2第7题变式]
若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. [解答题][人A选必一P84例3变式]
已知圆心在直线 上，且圆经过点 和 ，求圆的方程。
6. [解答题][人A选必一P86例4变式]]
已知四点 、、、，其中 在圆上，求圆的方程。
7. [多选题][苏教选必一P58例4变式]
已知动点 满足以下条件，其中轨迹为圆的是（ ）
A. ，其中 、
B. ，其中 、
C. ，其中 、
D. ，其中 、
知识点 93 直线与圆的位置关系
回归教材
公共点个数 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离
几何法
代数法
弦长计算公式:若直线 与圆 相交于 两点，则 。
切线长计算公式:过点 向圆 引切线 ，其中 为切点，则 。
注意: 为圆心到直线的距离， 为圆的半径， 为将直线和圆的方程联立并消去 （或 ）后得到的一元二次方程的判别式。
教材素材变式
1. [多选题] [人A选必一P93练习第1题变式]
已知圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 在圆 外
B. 过点 的直线与圆 相交时，弦长最小值为
C. 点 到圆 的切线长为
D. 若直线 过点 且与圆 相切，则 的斜率存在
2. [选择题] [人A选必一P98习题2.5第3题变式]
直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3. [选择题] [人B选必一P116练习B第1题变式]
圆 上一点 处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. [选择题] [苏教选必一P61练习第6题变式]
点 到直线 的距离为 ，若圆 与 相切，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. [选择题] [人B选必一P116练习B第2题变式]
直线 关于直线 对称的直线 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
6. [多选题] [人A选必一P89习题2.4第8题变式]
已知圆 ，点 为直线 上的动点，线段 为圆 的直径，则（ ）
A. 点 的轨迹方程为
B. 直线 与直线 垂直
C. 点 到直线 的距离最大值为
D. 若 为 中点，则 的轨迹与圆 有交点
知识点 94 圆与圆的位置关系
回归教材
已知圆 ，，则圆心距 ，圆 的位置关系如下表所示：
教材素材变式
1. [解答题][苏教选必一P70练习第5题变式]
已知圆 和圆 相交于两点，且公共弦所在直线过原点 ，求实数 的值。
2. [选择题][人B选必一P120探索与研究变式]
圆 和圆 的公切线条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. [选择题][人A选必一P103复习参考题2第14题变式]
圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. [选择题][苏教选必一P71习题2.3第2题变式]
若圆 上存在点到点 的距离为 3，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
知识点92 圆的方程
1. 单选题
答案：B
解析：圆的对称轴过圆心，代入直线方程得，即。取，则，故。
2. 单选题
答案：A
解析：圆心到轴距离为，即半径，圆的方程为。
3. 单选题
答案：A
解析：正方形对角线中点为圆心，半径，圆的方程为。
4. 单选题
答案：A
解析：点在圆外，则，即，解得或，对应选项为。
5. 解答题
解：设圆心，由得，解得，圆心，半径，方程为。
6. 解答题
解：设圆的一般方程，代入、、得：
，解得，，，标准方程为。
7. 多选题
答案：A、B、D
解析：
A. 设，由化简得圆方程，正确；
B. ，轨迹为以为直径的圆，正确；
C. 轨迹为椭圆，错误；
D. 化简得圆方程，正确。
知识点93 直线与圆的位置关系
1. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 点到圆心距离，在圆外，正确；
D. 斜率不存在时直线与圆相离，故切线斜率必存在，正确。
2. 单选题
答案：D
解析：圆的标准方程，圆心，半径。弦长，则圆心到直线距离，由，解得或。
3. 单选题
答案：A
解析：圆上点处切线斜率为，切线方程为，即。
4. 单选题
答案：B
解析：点到直线距离，由得。
5. 单选题
答案：C
解析：与交点，取上点关于的对称点，得方程。圆心到的距离，故相交。
6. 多选题
答案：A、D
解析：
A. 设，则在圆上，得，正确；
D. 为中点，轨迹为圆心在上、半径为的圆，与圆相交，正确。
知识点94 圆与圆的位置关系
1. 解答题
解：两圆方程相减得公共弦方程，过原点得。圆圆心，半径；圆圆心，半径。两圆相交需，取，满足条件。
2. 单选题
答案：B
解析：圆心距，半径和，半径差，因，两圆相交，公切线有条。
3. 单选题
答案：A
解析：圆心关于直线的对称点为，对称圆方程为，即，选项中最接近的是A。
4. 单选题
答案：A
解析：点到圆心的距离为，题意等价于两圆相交，故，解得，近似为。第八章 平面解析几何
结论应用3 与椭圆、双曲线有关的二级结论
应用专练
第1题[解答题][人A选必一P110习题3.1第1题变式]
题目：椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上且 ，求点 的坐标。
变式探究：若点 在椭圆 上移动，求 的取值范围。
第2题[选择题][人B选必一P179复习题B组第21题变式]
题目：双曲线 的焦点为 ，点 满足 且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
第3题[选择题][人A选必一P145复习题3第7题变式]
题目：椭圆 的焦点三角形 内切圆面积为 ，且长轴长为6，则离心率 为（ ）
A. B. C. D.
第4题[选择题][人A选必一P146复习参考题3第11题变式]
题目：双曲线 上两点 满足 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
变式1（解答题）
题目：椭圆 的焦点为 ，点 在 上且 ，求 的坐标。
结论应用4 与抛物线的焦点弦有关的二级结论
应用专练
第1题[解答题][人A选必一P135例4变式]
题目：已知抛物线C: y =8x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点。
(1) 若l的倾斜角为60°，求|AB|；
(2) 求|AB|的最小值及此时l的斜率。
第2题[多选题][人B选必一P167习题2-7A第7题变式]
题目：抛物线y =4x的焦点弦AB满足FA=2FB，则：
A. 直线AB斜率为
B. |AB|=
C. △AOB面积为
D. 以AB为直径的圆与准线相切
第3题[填空题][苏教选必一P114习题3.3（1）第9题变式]
题目：抛物线y =2px (p>0)的焦点弦AB长度为9，且AF=2FB，则p=____
第4题[证明题][苏教选必二P53复习题变式]
题目：已知抛物线C: y =4x，焦点F，直线l过F交C于A,B两点。
(1) 证明：；
(2) 若AB倾斜角为θ，求cosθ的取值范围。
第5题[选择题][苏教选必一P117习题3.3（2）第4题变式]
题目：抛物线y =8x的焦点弦AB中点M到y轴距离为5，则|AB|=
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
结论应用3 与椭圆、双曲线有关的二级结论
第1题 解：由椭圆定义，，结合，得，。设，利用焦半径公式，，联立椭圆方程解得。
变式探究：，由，又焦半径公式 ，，乘积为 。
所以取值范围。
第2题
答案：A
解析：设，则，由双曲线定义，得，。在中，由余弦定理，即，，又，故，渐近线方程为，选项A正确。
第3题
答案：C
解析：内切圆面积为，半径。焦点三角形周长为，面积。又（为），结合，，得。因存在，且，解得，离心率。
第4题
答案：B
解析：由双曲线第三定义，，故离心率。
变式1
解：椭圆中，，。焦点三角形面积。又，得，代入椭圆方程得。
结论应用4 与抛物线的焦点弦有关的二级结论
第1题
解：(1) 抛物线，，倾斜角，焦点弦长。
(2) 当直线垂直于轴时，弦长最短为通径。故最小值为8，斜率不存在
第2题
答案：A、B、C、D
解析：设，则，由抛物线定义，，得，。又，故，解得，，，斜率，，面积，以AB为直径的圆半径为，圆心到准线距离为，故与准线相切，D正确，正确答案为A、B、C、D。
第3题
答案：4
解析：设，则，由抛物线定义，，得，。又，故，且，得，代入解得。
第4题
(1) 证明：设直线：，联立得，，。，，。
(2) 解：弦长，得，恒成立，又，故，正确范围为。
第5题
答案：C
解析：抛物线，，中点到轴距离为5，即，，。

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