资源简介

2．1　等　式
2．1.1　等式的性质与方程的解集
新课导入 学习目标
　　初中学习的十字相乘法分解因式的关键是什么？把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？本节课我们一起学习吧！ 1.掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式．2．会利用等式的性质解一元一次方程，会用因式分解法解一元二次方程．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
1．等式的性质
类别 加法性质 乘法性质
文字语言 等式的两边同时加上____________数或代数式，等式仍成立 等式的两边同时乘以同一个__________的数或代数式，等式仍成立
符号语言 如果a＝b，则对任意c，都有________________ 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有____________
2.恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取________________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边________．
[答案自填] 同一个　不为零　a＋c＝b＋c　ac＝bc　任意实数　恒等
角度1　利用恒等式化简
[例1] (对接教材例1)(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　)
A．－2m2 B．0
C．－2 D．－1
(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　)
A．8x2－8y2 B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2
【解析】　(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.
(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.
方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)
＝8y2－8x2.
【答案】　(1)C　(2)B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：　
(1)先看是否能提取公因式；
(2)再看能否套用公式；
(3)再检查因式分解是否彻底；
(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确．
[跟踪训练1] 计算下列各式：
(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；
(2)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)；
(3)(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1).
解：(1)原式＝43＋m3＝64＋m3.
(2)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋16)＝(a2)3－43＝a6－64.
(3)方法一：原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1.
方法二：原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.
角度2　利用十字相乘法分解因式
[例2] 把下列各式因式分解：
(1)6x2＋5x＋1；
(2)6x2＋11x－7；
(3)5x2＋6yx－8y2；
(4)x2－4y2－2x＋4y.
【解】　
INCLUDEPICTURE "../../生物/WS6.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)因为2×3＝6，1×1＝1，2×1＋3×1＝5，如图，
所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1).
(2)
INCLUDEPICTURE "../../生物/WS7.TIF" \* MERGEFORMAT
因为2×3＝6，(－1)×7＝－7，2×7＋3×(－1)＝11，如图，
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7).
INCLUDEPICTURE "../../生物/XM1.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)因为1×5＝5，2y×(－4y)＝－8y2，1×(－4y)＋5×2y＝6y，如图，
所以5x2＋6yx－8y2＝(x＋2y)(5x－4y).
INCLUDEPICTURE "../../生物/XM1+.TIF" \* MERGEFORMAT
(4)原式＝x2－2x＋4y－4y2.
因为1×1＝1，(－2y)(2y－2)＝4y－4y2，
1×(2y－2)＋1×(－2y)＝－2，如图，
所以x2－4y2－2x＋4y＝(x－2y)(x＋2y－2).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用十字相乘法分解因式的方法和步骤
(1)(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2，
反过来，得到a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)·(a2x＋c2).
我们发现，二次项系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，把a1，a2，c1，c2写成×，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，所以ax2＋bx＋c可以分解成(a1x＋c1)·(a2x＋c2).
(2)步骤(记忆口诀)：
①因式分解竖直写；②交叉相乘验中项；③横向写出两因式．
[跟踪训练2] 分解因式：
(1)x3＋6x2＋11x＋6.
(2)42x2－33x＋6；
(3)2x4－5x2＋3.
解：(1)x3＋6x2＋11x＋6
＝(x3＋3x2)＋(3x2＋11x＋6)
＝x2(x＋3)＋(3x＋2)(x＋3)
＝(x＋3)(x2＋3x＋2)
＝(x＋3)(x＋1)(x＋2).
INCLUDEPICTURE "../../生物/25FM1.TIF" \* MERGEFORMAT
可用十字相乘法对式子3x2＋11x＋6进行因式分解，如图，
3x2＋11x＋6＝(3x＋2)(x＋3)，同样(x2＋3x＋2)＝(x＋1)(x＋2).
(2)
INCLUDEPICTURE "../../生物/25FM2.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2).
(3)
INCLUDEPICTURE "../../生物/25FM3.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)(x＋)·(x－).
[知识梳理]
方程 含有未知数的等式叫方程
方程的解(或根) 能使方程__________________的未知数的值叫方程的解(或根)
方程的解集 一个方程__________________________称为这个方程的解集
解方程 求方程的解的过程叫解方程
[答案自填] 左右两边相等　所有解组成的集合
角度1　求一元一次方程的解集
[例3] 求下列方程的解集：
(1)3－x＝x－4；
(2)－＝2.
【解】　(1)移项，得－x＝－4－3，
即－x＝－7，解得x＝12.
所以所求方程的解集为{12}．
(2)移项，得x＝2＋2＋，
即x＝，解得x＝18.
所以所求方程的解集为{18}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
在解一元一次方程时，一般通过移项、合并同类项把方程整理为ax＝b的形式，再求解．若x前含有参数，在求解时一定要对参数是否为0进行讨论．
[跟踪训练3] 求关于x的方程ax＝－x＋1的解集，其中a是常数．
解：ax＝－x＋1，(a＋1)x＝1.
当a≠－1时，x＝，解集为{}．
当a＝－1时，解集为 .
角度2　求一元二次方程的解集
[例4] (对接教材例2)求下列方程的解集：
(1)6x(x＋1)＝5(x＋1)；
(2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
(3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
【解】　(1)整理，得(6x－5)(x＋1)＝0，
即6x－5＝0或x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝－1.
所以方程的解集为.
(2)分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，
即3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2.
所以方程的解集为{0，2}．
(3)整理，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，
解得x1＝x2＝1.所以方程的解集为{1}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程的右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注意　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；
②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
[跟踪训练4] 解下列关于x的一元二次方程：
(1)x2－6x＝－9；
(2)x2－(m2＋m)x＋m3＝0.
解：(1)x2－6x＝－9可化为x2－6x＋9＝0，
即(x－3)2＝0，解得x＝3，故原方程的解集为{3}．
(2)因为x2－(m2＋m)x＋m3＝(x－m2)(x－m)，
所以原方程化为(x－m2)(x－m)＝0，
解得x＝m2或x＝m.
当m＝0或1时，m2＝m，此时原方程的解集为{0}或{1}；
当m≠0且m≠1时，m2≠m，此时原方程的解集为{m，m2}．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是(　　)
A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b D．－＝－
解析：选ABD.A选项，因为3a＝2b，所以3a＋1＝2b＋1，A正确；B选项，因为3a＝2b，所以3a－1＝2b－1，B正确；C选项，因为3a＝2b，所以9a＝6b，C错误；D选项，因为3a＝2b，所以－＝－，D正确．故选ABD.
2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为(　　)
A．10和－2 B．－10和2
C．10和2 D．－10和－2
解析：选D.因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a，所以5＋b＝3，a＝5b，解得b＝－2，a＝－10.
3．(1)因式分解：a3＋8a2b－33ab2＝_______________________________________；
(2)(教材P48T3改编)方程(x－1)(x＋3)(x－6)(x＋8)＝0的解集是________________．
解析：(1)原式＝a(a2＋8ab－33b2)＝a(a－3b)(a＋11b).
(2)根据“如果ab＝0，则a＝0或b＝0”可知x－1＝0或x＋3＝0或x－6＝0或x＋8＝0，解得x＝1或x＝－3或x＝6或x＝－8，故解集是{－8，－3，1，6}．
答案：(1)a(a－3b)(a＋11b)　(2){－8，－3，1，6}
4．(教材P49T5改编)已知关于x的方程3a－x＝＋3的解集是{4}，求a2－2a的值．
解：把x＝4代入方程3a－x＝＋3，
得3a－4＝＋3，
即3a－4＝5，解得a＝3.
当a＝3时，a2－2a＝32－2×3＝3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：等式的性质与恒等式；十字相乘法分解因式；方程的解集．
2．须贯通：分解因式可以借用分组法、公式法、“十字相乘法”；解含参数的方程时注意对参数进行分类讨论．
3．应注意：在运用平方差或立方和(差)公式分解因式时，一定看准因式中各项的符号．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑