人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件+学案

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人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件+学案

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(共34张PPT)
2.1.2 一元二次方程的解集
及其根与系数的关系
新课导入 学习目标
  一元二次方程的一般形式是什么?解一元二次方程有哪些常见方法?如何判断一元二次方程根的情况?本节课,我们将探讨这些问题! 1.会解一元二次方程.
2.理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系.
3.会利用一元二次方程根与系数的关系进行求值及求参数的取值范围.
一 配方法求一元二次方程的解集
[知识梳理]
(1)把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式,进而用直接开平方法求解,这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,称为配方法.
(2)一般地,方程x2=t:
①当t>0时,解集为__________________;
②当t=0时,解集为__________________;
③当t<0时,解集为__________________.
{0}
 
(3)一般地,方程(x-k)2=t:
①当t>0时,解集为__________________;
②当t=0时,解集为__________________;
③当t<0时,解集为__________________.
因此,对于一般的一元二次方程来说,只需要将其化为(x-k)2=t的形式,就可得到方程的解集.
{k} 

[例1] 求下列一元二次方程的解集:
(1)x2+2x-8=0;
【解】 方法一(配方法):由题可知x2+2x-8=0,
移项,得x2+2x=8,
配方,得x2+2x+12=8+12,
所以(x+1)2=9,解得x=2或x=-4.
所以原方程的解集为{2,-4}.
方法二(因式分解法):分解因式,得(x+4)(x-2)=0,
所以x+4=0或x-2=0,解得x1=-4,x2=2.
所以原方程的解集为{2,-4}.
(2)2x2+5x=-2;
(3)(2x-1)2=5(2x-1).
用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到右边,含未知数
的项移到左边
二化 二次项系数
化为1 左、右两边同时
除以二次项系数
一般步骤 方法
三配 配方 左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元
一次方程 移项、合并同类项
[跟踪训练1] 用配方法解下列方程:
(1)3x2-6x+2=0;
二 一元二次方程的判别式及应用
[知识梳理]
一般地,Δ=____________称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.
(1)当Δ>0时,方程的解集为________________________________;
(2)当Δ=0时,方程的解集为________________________;
(3)当Δ<0时,方程的解集为________.
b2-4ac

(2)(x+2)2=2x+1.
【解】 原方程可化为x2+2x+3=0.因为a=1,b=2,c=3,所以b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,所以此方程无实数根.
用公式法求一元二次方程解集的步骤
(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值(注意符号).
(2)求出Δ=b2-4ac的值.
(3)根据求根公式求方程的解.
(4)写出方程的解集.
注意 当方程右边化为0,左边容易分解因式时,可考虑用因式分解法求解.
[跟踪训练2] 已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)m为何值时,方程有两个相等的实数根?求出这两个实数根.
三 一元二次方程根与系数关系及应用
[知识梳理]
1.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=________,x1x2=________.这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
2.重要推论
(1)如果方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,那么x1+x2=________,x1x2=______.
(2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
-p 
q
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式,然后代入求值.
10
(2)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
①若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
②若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
课堂巩固自测
1.(教材P53练习AT1改编)已知A={x|(x+3)2=25},B={x|x2-2x-3=0},则A∪B=(  )
A.{-3,1,-8,2} B.{3,-1,-8,2}
C.{-3,-1,-8,2} D.{3,-1,8,-2}
解析:A={x|(x+3)2=25}={-8,2},B={x|x2-2x-3=0}={x|(x-3)(x+1)=0}={3,-1},所以A∪B={3,-1,-8,2}.

2.关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0的根的情况是(  )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的负实数根
C.没有实数根
D.有两个相等的正实数根
解析:因为a=1,b=4k,c=-1,所以Δ=(4k)2-4×1×(-1)=16k2+4.因为16k2+4>0,所以关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0有两个不相等的实数根.

3.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,则(x1-2)(x2-2)的值为(  )
A.2 B.4
C.5 D.-2
解析:因为x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,所以x1+x2=-1,x1x2=-1,则(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-1-2×(-1)+4=5.故选C.


5.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a=________.
解析:根据题意,得-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2.当a=2时,方程为x2+1=0,Δ=-4<0,不符合题意,所以a=2舍去;当a=0时,方程为x2-1=0,Δ=4>0,符合题意,所以a=0.
0
1.已学习:利用配方法和公式法求一元二次方程的解集;一元二次方程根与系数的关系.
2.须贯通:配方法,公式法的应用.
3.应注意:对一元二次方程二次项系数的讨论.2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新课导入 学习目标
  一元二次方程的一般形式是什么?解一元二次方程有哪些常见方法?如何判断一元二次方程根的情况?本节课,我们将探讨这些问题! 1.会解一元二次方程.2.理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系.3.会利用一元二次方程根与系数的关系进行求值及求参数的取值范围.
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
(1)把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式,进而用直接开平方法求解,这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,称为配方法.
(2)一般地,方程x2=t:
①当t>0时,解集为__________________;
②当t=0时,解集为__________________;
③当t<0时,解集为__________________.
(3)一般地,方程(x-k)2=t:
①当t>0时,解集为__________________;
②当t=0时,解集为__________________;
③当t<0时,解集为__________________.
因此,对于一般的一元二次方程来说,只需要将其化为(x-k)2=t的形式,就可得到方程的解集.
[答案自填] {-,} {0}   {k-,k+} {k} 
[例1] 求下列一元二次方程的解集:
(1)x2+2x-8=0;
(2)2x2+5x=-2;
(3)(2x-1)2=5(2x-1).
【解】 (1)方法一(配方法):由题可知x2+2x-8=0,
移项,得x2+2x=8,
配方,得x2+2x+12=8+12,
所以(x+1)2=9,解得x=2或x=-4.
所以原方程的解集为{2,-4}.
方法二(因式分解法):分解因式,得(x+4)(x-2)=0,
所以x+4=0或x-2=0,解得x1=-4,x2=2.
所以原方程的解集为{2,-4}.
(2)移项,得2x2+5x+2=0,
分解因式,得(2x+1)(x+2)=0,
所以2x+1=0或x+2=0,解得x1=-,x2=-2.
所以方程的解集为.
(3)移项,得(2x-1)2-5(2x-1)=0,
提取公因式,得(2x-1)(2x-1-5)=0,
所以2x-1=0或2x-6=0,解得x1=,x2=3.
所以方程的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到右边,含未知数的项移到左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项
[跟踪训练1] 用配方法解下列方程:
(1)3x2-6x+2=0;
(2)-x2+x-=0.
解:(1)移项,得3x2-6x=-2,两边同除以3,
得x2-2x=-,
配方,得x2-2x+(-1)2=-+(-1)2,
即(x-1)2=,所以x-1=±,
所以x1=1+,x2=1-,
所以方程的解集为{1+,1-}.
(2)移项,得-x2+x=,
方程两边同除以-,得x2-5x=-,
配方,得x2-5x+(-)2=-+(-)2,
即(x-)2=,所以x-=±,
所以x1=,x2=,所以方程的解集为{,}.
[知识梳理]
一般地,Δ=____________称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.
(1)当Δ>0时,方程的解集为________________________;
(2)当Δ=0时,方程的解集为________________________;
(3)当Δ<0时,方程的解集为________.
[答案自填] b2-4ac {,} {-} 
[例2] (对接教材例1)用公式法解下列方程:
(1)x2-4x+10=0;
(2)(x+2)2=2x+1.
【解】 (1)因为a=1,b=-4,c=10,
所以b2-4ac=(-4)2-4×1×10=8>0,
所以x===2±,
所以x1=2+,x2=2-.所以方程的解集为{2+,2-}.
(2)原方程可化为x2+2x+3=0.因为a=1,b=2,c=3,所以b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,所以此方程无实数根.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用公式法求一元二次方程解集的步骤
(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值(注意符号).
(2)求出Δ=b2-4ac的值.
(3)根据求根公式求方程的解.
(4)写出方程的解集.
注意 当方程右边化为0,左边容易分解因式时,可考虑用因式分解法求解.
[跟踪训练2] 已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)m为何值时,方程有两个相等的实数根?求出这两个实数根.
解:(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根,分两种情况讨论:
①当m+1=0,即m=-1时,原方程是一元一次方程,此时方程为-2x-4=0,必有实数根;
②当m+1≠0,即m≠-1时,原方程是一元二次方程,
Δ=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12≥0,
解得m≥-且m≠-1.
综上可知,m的取值范围为[-,+∞).
(2)因为关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相等的实数根,所以m≠-1,
Δ=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0,
解得m=-,
所以方程为-x2-3x-=0,
两边同时乘以-2,得x2+6x+9=0,
即(x+3)2=0,
解得x1=x2=-3.
故当m=-时,方程有两个相等的实数根-3.
[知识梳理]
1.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=________,x1x2=________.这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
2.重要推论
(1)如果方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,那么x1+x2=________,x1x2=______.
(2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
[答案自填] -  -p q
[例3] (对接教材例2)已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1,x2,请利用根与系数的关系求下列式子的值:
(1)x+x;
(2)+.
【解】 由题意,得x1+x2=-3,x1x2=-1.
(1)x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-1)=11.
(2)+===3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式,然后代入求值.
[跟踪训练3] (1)已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根,则+=________.
解析:由题知x1+x2=-6,x1x2=3,
所以+= eq \f(x+x,x1x2) ===10.
答案:10
(2)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
①若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
②若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
解:①根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
解得m≥-,
所以m的最小整数值为-2.
②根据题意,得x1+x2=-(2m+1),
x1x2=m2-2.
因为(x1-x2)2+m2=21,
所以(x1+x2)2-4x1x2+m2=(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21.
整理得m2+4m-12=0,
解得m1=2,m2=-6.
因为m>-,所以m的值为2.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(教材P53练习AT1改编)已知A={x|(x+3)2=25},B={x|x2-2x-3=0},则A∪B=(  )
A.{-3,1,-8,2} B.{3,-1,-8,2}
C.{-3,-1,-8,2} D.{3,-1,8,-2}
解析:选B.A={x|(x+3)2=25}={-8,2},B={x|x2-2x-3=0}={x|(x-3)(x+1)=0}={3,-1},所以A∪B={3,-1,-8,2}.
2.关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0的根的情况是(  )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的负实数根
C.没有实数根
D.有两个相等的正实数根
解析:选A.因为a=1,b=4k,c=-1,所以Δ=(4k)2-4×1×(-1)=16k2+4.因为16k2+4>0,所以关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0有两个不相等的实数根.
3.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,则(x1-2)(x2-2)的值为(  )
A.2 B.4
C.5 D.-2
解析:选C.因为x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根,所以x1+x2=-1,x1x2=-1,则(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-1-2×(-1)+4=5.故选C.
4.(教材P53练习BT1改编)若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k+2=0有实数根,则k的取值范围是(  )
A.k≤ B.k≤且k≠0
C.k> D.k<且k≠0
解析:选A.当方程为一元一次方程时,k=0,此时-x+2=0有实数根;当方程为一元二次方程时,k≠0.因为关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k+2=0有实数根,则Δ=(2k+1)2-4k(k+2)=-4k+1≥0,所以k≤且k≠0.综上可知k的取值范围是k≤.
5.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a=________.
解析:根据题意,得-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2.当a=2时,方程为x2+1=0,Δ=-4<0,不符合题意,所以a=2舍去;当a=0时,方程为x2-1=0,Δ=4>0,符合题意,所以a=0.
答案:0
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习:利用配方法和公式法求一元二次方程的解集;一元二次方程根与系数的关系.
2.须贯通:配方法,公式法的应用.
3.应注意:对一元二次方程二次项系数的讨论.
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