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(共34张PPT)
2．1.2　一元二次方程的解集
及其根与系数的关系
新课导入 学习目标
　　一元二次方程的一般形式是什么？解一元二次方程有哪些常见方法？如何判断一元二次方程根的情况？本节课，我们将探讨这些问题！ 1.会解一元二次方程．
2．理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系．
3．会利用一元二次方程根与系数的关系进行求值及求参数的取值范围．
一　配方法求一元二次方程的解集
[知识梳理]
(1)把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，称为配方法．
(2)一般地，方程x2＝t：
①当t>0时，解集为__________________；
②当t＝0时，解集为__________________；
③当t<0时，解集为__________________．
{0}
　
(3)一般地，方程(x－k)2＝t：
①当t>0时，解集为__________________；
②当t＝0时，解集为__________________；
③当t<0时，解集为__________________．
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x－k)2＝t的形式，就可得到方程的解集．
{k}　

[例1] 求下列一元二次方程的解集：
(1)x2＋2x－8＝0；
【解】　方法一(配方法)：由题可知x2＋2x－8＝0，
移项，得x2＋2x＝8，
配方，得x2＋2x＋12＝8＋12，
所以(x＋1)2＝9，解得x＝2或x＝－4.
所以原方程的解集为{2，－4}．
方法二(因式分解法)：分解因式，得(x＋4)(x－2)＝0，
所以x＋4＝0或x－2＝0，解得x1＝－4，x2＝2.
所以原方程的解集为{2，－4}．
(2)2x2＋5x＝－2；
(3)(2x－1)2＝5(2x－1).
用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到右边，含未知数
的项移到左边
二化 二次项系数
化为1 左、右两边同时
除以二次项系数
一般步骤 方法
三配 配方 左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元
一次方程 移项、合并同类项
[跟踪训练1] 用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
二　一元二次方程的判别式及应用
[知识梳理]
一般地，Δ＝____________称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为________________________________；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为________________________；
(3)当Δ<0时，方程的解集为________．
b2－4ac

(2)(x＋2)2＝2x＋1.
【解】　原方程可化为x2＋2x＋3＝0.因为a＝1，b＝2，c＝3，所以b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0，所以此方程无实数根．
用公式法求一元二次方程解集的步骤
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值(注意符号).
(2)求出Δ＝b2－4ac的值．
(3)根据求根公式求方程的解．
(4)写出方程的解集．
注意　当方程右边化为0，左边容易分解因式时，可考虑用因式分解法求解．
[跟踪训练2] 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？求出这两个实数根．
三　一元二次方程根与系数关系及应用
[知识梳理]
1．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
2．重要推论
(1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝______．
(2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
－p　
q
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
10
(2)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
①若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
②若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
课堂巩固自测
1．(教材P53练习AT1改编)已知A＝{x|(x＋3)2＝25}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∪B＝(　　)
A．{－3，1，－8，2} B．{3，－1，－8，2}
C．{－3，－1，－8，2} D．{3，－1，8，－2}
解析：A＝{x|(x＋3)2＝25}＝{－8，2}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x－3)(x＋1)＝0}＝{3，－1}，所以A∪B＝{3，－1，－8，2}．
√
2．关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的负实数根
C．没有实数根
D．有两个相等的正实数根
解析：因为a＝1，b＝4k，c＝－1，所以Δ＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.因为16k2＋4>0，所以关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根．
√
3．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．－2
解析：因为x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则(x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－1－2×(－1)＋4＝5.故选C.
√
√
5．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a＝________．
解析：根据题意，得－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝2时，方程为x2＋1＝0，Δ＝－4<0，不符合题意，所以a＝2舍去；当a＝0时，方程为x2－1＝0，Δ＝4>0，符合题意，所以a＝0.
0
1．已学习：利用配方法和公式法求一元二次方程的解集；一元二次方程根与系数的关系．
2．须贯通：配方法，公式法的应用．
3．应注意：对一元二次方程二次项系数的讨论．2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新课导入 学习目标
　　一元二次方程的一般形式是什么？解一元二次方程有哪些常见方法？如何判断一元二次方程根的情况？本节课，我们将探讨这些问题！ 1.会解一元二次方程．2．理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系．3．会利用一元二次方程根与系数的关系进行求值及求参数的取值范围．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
(1)把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，称为配方法．
(2)一般地，方程x2＝t：
①当t>0时，解集为__________________；
②当t＝0时，解集为__________________；
③当t<0时，解集为__________________．
(3)一般地，方程(x－k)2＝t：
①当t>0时，解集为__________________；
②当t＝0时，解集为__________________；
③当t<0时，解集为__________________．
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x－k)2＝t的形式，就可得到方程的解集．
[答案自填] {－，}　{0}　 　{k－，k＋}　{k}　
[例1] 求下列一元二次方程的解集：
(1)x2＋2x－8＝0；
(2)2x2＋5x＝－2；
(3)(2x－1)2＝5(2x－1).
【解】　(1)方法一(配方法)：由题可知x2＋2x－8＝0，
移项，得x2＋2x＝8，
配方，得x2＋2x＋12＝8＋12，
所以(x＋1)2＝9，解得x＝2或x＝－4.
所以原方程的解集为{2，－4}．
方法二(因式分解法)：分解因式，得(x＋4)(x－2)＝0，
所以x＋4＝0或x－2＝0，解得x1＝－4，x2＝2.
所以原方程的解集为{2，－4}．
(2)移项，得2x2＋5x＋2＝0，
分解因式，得(2x＋1)(x＋2)＝0，
所以2x＋1＝0或x＋2＝0，解得x1＝－，x2＝－2.
所以方程的解集为.
(3)移项，得(2x－1)2－5(2x－1)＝0，
提取公因式，得(2x－1)(2x－1－5)＝0，
所以2x－1＝0或2x－6＝0，解得x1＝，x2＝3.
所以方程的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项
[跟踪训练1] 用配方法解下列方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2)－x2＋x－＝0.
解：(1)移项，得3x2－6x＝－2，两边同除以3,
得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋(－1)2＝－＋(－1)2，
即(x－1)2＝，所以x－1＝±，
所以x1＝1＋，x2＝1－，
所以方程的解集为{1＋，1－}．
(2)移项，得－x2＋x＝，
方程两边同除以－，得x2－5x＝－，
配方，得x2－5x＋(－)2＝－＋(－)2，
即(x－)2＝，所以x－＝±，
所以x1＝，x2＝，所以方程的解集为{，}．
[知识梳理]
一般地，Δ＝____________称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为________________________；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为________________________；
(3)当Δ<0时，方程的解集为________．
[答案自填] b2－4ac　{，}　{－}　
[例2] (对接教材例1)用公式法解下列方程：
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)(x＋2)2＝2x＋1.
【解】　(1)因为a＝1，b＝－4，c＝10，
所以b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8>0，
所以x＝＝＝2±，
所以x1＝2＋，x2＝2－.所以方程的解集为{2＋，2－}．
(2)原方程可化为x2＋2x＋3＝0.因为a＝1，b＝2，c＝3，所以b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0，所以此方程无实数根．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用公式法求一元二次方程解集的步骤
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值(注意符号).
(2)求出Δ＝b2－4ac的值．
(3)根据求根公式求方程的解．
(4)写出方程的解集．
注意　当方程右边化为0，左边容易分解因式时，可考虑用因式分解法求解．
[跟踪训练2] 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？求出这两个实数根．
解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论：
①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根；
②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，
Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0，
解得m≥－且m≠－1.
综上可知，m的取值范围为[－，＋∞).
(2)因为关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根，所以m≠－1，
Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0，
解得m＝－，
所以方程为－x2－3x－＝0，
两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，
即(x＋3)2＝0，
解得x1＝x2＝－3.
故当m＝－时，方程有两个相等的实数根－3.
[知识梳理]
1．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
2．重要推论
(1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝______．
(2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
[答案自填] －　　－p　q
[例3] (对接教材例2)已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求下列式子的值：
(1)x＋x；
(2)＋.
【解】　由题意，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
[跟踪训练3] (1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，则＋＝________．
解析：由题知x1＋x2＝－6，x1x2＝3，
所以＋＝ eq \f(x＋x,x1x2) ＝＝＝10.
答案：10
(2)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
①若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
②若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
解：①根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
所以m的最小整数值为－2.
②根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，
x1x2＝m2－2.
因为(x1－x2)2＋m2＝21，
所以(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21.
整理得m2＋4m－12＝0，
解得m1＝2，m2＝－6.
因为m>－，所以m的值为2.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P53练习AT1改编)已知A＝{x|(x＋3)2＝25}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∪B＝(　　)
A．{－3，1，－8，2} B．{3，－1，－8，2}
C．{－3，－1，－8，2} D．{3，－1，8，－2}
解析：选B.A＝{x|(x＋3)2＝25}＝{－8，2}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x－3)(x＋1)＝0}＝{3，－1}，所以A∪B＝{3，－1，－8，2}．
2．关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的负实数根
C．没有实数根
D．有两个相等的正实数根
解析：选A.因为a＝1，b＝4k，c＝－1，所以Δ＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.因为16k2＋4>0，所以关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根．
3．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．－2
解析：选C.因为x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则(x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－1－2×(－1)＋4＝5.故选C.
4．(教材P53练习BT1改编)若关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＋2＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k≤ B．k≤且k≠0
C．k> D．k<且k≠0
解析：选A.当方程为一元一次方程时，k＝0，此时－x＋2＝0有实数根；当方程为一元二次方程时，k≠0.因为关于x的一元二次方程kx2－(2k＋1)x＋k＋2＝0有实数根，则Δ＝(2k＋1)2－4k(k＋2)＝－4k＋1≥0，所以k≤且k≠0.综上可知k的取值范围是k≤.
5．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a＝________．
解析：根据题意，得－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝2时，方程为x2＋1＝0，Δ＝－4<0，不符合题意，所以a＝2舍去；当a＝0时，方程为x2－1＝0，Δ＝4>0，符合题意，所以a＝0.
答案：0
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：利用配方法和公式法求一元二次方程的解集；一元二次方程根与系数的关系．
2．须贯通：配方法，公式法的应用．
3．应注意：对一元二次方程二次项系数的讨论．
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