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2．1.3　方程组的解集
新课导入 学习目标
　　《九章算术》给出了解一次方程组的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解．这是世界数学史上的一颗明珠．那么如何求一个方程组的解集呢？这节课我们就一起学习一下吧． 1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
2．会选用合适的消元法求解三元一次方程组．
3．灵活运用具体方法求解“二·
一”型和“二·二”型的二元二次方程组．
一　二元一次方程组的解集
[知识梳理]
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的________称为这个方程组的解集．
2．方程组的解集的求法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是____________．
交集　
消元法
解二元一次方程组，看系数选方法
当方程中有未知数的系数为1(或－1)时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，又不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．
√
方法二：由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
(1)解三元一次方程组时若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可准确、快速地求解．
(2)消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法：①先消去某个方程缺少的未知数；②先消去系数最简单的未知数；③先消去系数成整数倍的未知数；④注意整体加减或代入的应用．
{(6，8，10)}
(2)含有两个无素；
【解】　令Δ>0，即32(1－k2)>0，解得－1所以当k∈(－1，1)时，方程组的解集中含有两个元素．
(3)为空集．
【解】　令Δ<0，即32(1－k2)<0，解得k<－1或k>1.
所以当k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程组的解集为空集．
根据二元一次方程和二元二次方程组成的方程组解集的情况求参数的取值范围时，一般通过消元将方程组转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用Δ＝0，Δ>0，Δ<0建立关于参数的关系式求解．
角度2　方程组的实际应用
[例5] 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
【解】　设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：
类别 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含
蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x＋0.7y)
单位
其中所含
铁质 x单位 0.4y单位 (x＋0.4y)
单位
用方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据两个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
1　
－1
(2)为了保护环境，某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格、年省油量如下表：
型号 A B
价格/(万元/台) a b
节省的油量/(万升/年) 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．
①请求出a和b；
②若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元．
课堂巩固自测
√
√
√
3．(教材P57T2改编)若集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|2x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A.{(0，2)} B．{(2，0)}
C.{(3，－1)} D．{(1，1)}
√
4．(教材P57T4改编)我国清代古算书《御制数理精蕴》里面记载这样一个问题：设有马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两．问：牛马各几何？即马________两/匹；牛________两/头．
6　
4
1．已学习：求方程组解集的基本策略是消元和降次．
2．须贯通：消元的方法主要有：加减消元法、代入消元法，整体消元法．
3．应注意：降次的方法主要是因式分解，将“ab＝0”转化为“a＝0或b＝0”．2．1.3　方程组的解集
新课导入 学习目标
　　《九章算术》给出了解一次方程组的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解．这是世界数学史上的一颗明珠．那么如何求一个方程组的解集呢？这节课我们就一起学习一下吧． 1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．2．会选用合适的消元法求解三元一次方程组．3．灵活运用具体方法求解“二·一”型和“二·二”型的二元二次方程组．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的________称为这个方程组的解集．
2．方程组的解集的求法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是____________．
[答案自填] 交集　消元法
[例1] 求下列方程组的解集：
(1)　(2)
【解】　(1)原方程组整理可得
把①代入②，得12y－2－y＝9，解得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝5.则方程组的解集为{(5，1)}．
(2)
①×3＋②×2，得19x＝114，解得x＝6.
把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16，解得y＝－.
则方程组的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
解二元一次方程组，看系数选方法
当方程中有未知数的系数为1(或－1)时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，又不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．
[跟踪训练1] 若x，y满足方程组则x＋y的值是(　　)
A．5 B．－1 C．0 D．1
解析：选A.
方法一：②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二：由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
[例2] 求下列方程组的解集：
(1)
(2)
【解】　(1)方法一：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(3，－1，1)}．
方法二：由③得y＝2x－7，④
把④代入①，整理得7x＋2z＝23，⑤
把④代入②，整理得7x－4z＝17，⑥
⑤与⑥组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3代入④，得y＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(3，－1，1)}．
(2)①＋③，得5x＋5y＝15，即x＋y＝3，④
③×2＋②，得7x＋2y＝16.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝2，y＝1代入③，得3×2＋2×1－z＝9，
解得z＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(2，1，－1)}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)解三元一次方程组时若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可准确、快速地求解．
(2)消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法：①先消去某个方程缺少的未知数；②先消去系数最简单的未知数；③先消去系数成整数倍的未知数；④注意整体加减或代入的应用．
[跟踪训练2] 方程组的解集为________．
解析：设＝＝＝k(k为常数，k≠0)，
则x＝3k，y＝4k，z＝5k.
将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，
解得k＝2.
所以x＝6，y＝8，z＝10，
所以方程组的解集为{(6，8，10)}．
答案：{(6，8，10)}
[例3] (1)(对接教材例1)
解方程组
(2)(对接教材例2)
解方程组
【解】　(1)方法一：由②得x＝2y＋5，　③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.
解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是
所以方程组的解集为.
方法二：由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得
所以方程组的解集为.
(2)由①得(x－4y)(x＋y)＝0，
所以x－4y＝0或x＋y＝0.
由②得(x＋2y)2＝1，
所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1.
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是：
所以方程组的解集为{，，(－1，1)，(1，－1)}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)对形如
的方程组可用代入法．
(2)对形如
的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解．
[跟踪训练3] 求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解：(1)方程组
中，
①可化为(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
即(x－2y＋2)(x－2y－1)＝0.
所以x－2y＋2＝0或x－2y－1＝0.
原方程组等价于
或
分别解得
所以原方程组的解集为{(，)，(3，1)}．
(2)记
由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入消元法解方程组，分别解得
所以原方程组的解集为{(，－)，(－1，0)}．
角度1　根据方程组解的情况求参数
[例4] 已知方程组问k在什么范围内取值时，方程组的解集：
(1)只含有一个元素；
(2)含有两个无素；
(3)为空集．
【解】　由消去y，
得x2＋k2(x－4)2＝8，即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0，
则Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2).
(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.
所以当k＝±1时，方程组的解集中只含有一个元素．
(2)令Δ>0，即32(1－k2)>0，解得－1所以当k∈(－1，1)时，方程组的解集中含有两个元素．
(3)令Δ<0，即32(1－k2)<0，解得k<－1或k>1.
所以当k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程组的解集为空集．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
根据二元一次方程和二元二次方程组成的方程组解集的情况求参数的取值范围时，一般通过消元将方程组转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用Δ＝0，Δ>0，Δ<0建立关于参数的关系式求解．
角度2　方程组的实际应用
[例5] 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
【解】　设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：
类别 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质 x单位 0.4y单位 (x＋0.4y)单位
根据题意及上述表格，可列方程组
可得
①－②，得y＝30，把y＝30代入②中，得x＝28.
所以每餐需甲原料28 g，乙原料30 g才能恰好满足病人的需要．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据两个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
[跟踪训练4] (1)若方程组与的解集有公共元素，则a＝________，b＝________．
解析：由两个方程组的解集有公共元素，可知4x－y＝5和3x＋y＝9有公共解．
由解得
把代入
得解得
答案：1　－1
(2)为了保护环境，某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格、年省油量如下表：
型号 A B
价格/(万元/台) a b
节省的油量/(万升/年) 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．
①请求出a和b；
②若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元．
解：①根据题意得解得
②设A型车购买x台，B型车购买y台，
根据题意得解得
所以120×6＋100×4＝1 120(万元).
故购买这批混合动力公交车需要1 120万元．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)方程组的解集为(　　)
A.{－1，2}　　　　　 B．{(－1，2)}
C. D．
解析：选BD.记
由①＋②×4得，27x＋27＝0，得x＝－1，代入①得y＝2.所以方程组的解是
2．三元一次方程组的解集是(　　)
A.{(1，0，4)} B．{(1，2，4)}
C.{(1，0，5)} D．{(4，1，0)}
解析：选C.因为
所以①＋②＋③得2x＋2y＋2z＝12，即x＋y＋z＝6，④
④－①得z＝5，④－②得x＝1，④－③得y＝0，所以这个三元一次方程组的解集为{(1，0，5)}．
3．(教材P57T2改编)若集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|2x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A.{(0，2)} B．{(2，0)}
C.{(3，－1)} D．{(1，1)}
解析：选B.由题意得由①＋②，得3x＝6，所以x＝2，把x＝2代入①，解得y＝0.故选B.
4．(教材P57T4改编)我国清代古算书《御制数理精蕴》里面记载这样一个问题：设有马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两．问：牛马各几何？即马________两/匹；牛________两/头．
解析：根据题意，设马x两/匹，牛y两/头，
故可得解得
答案：6　4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：求方程组解集的基本策略是消元和降次．
2．须贯通：消元的方法主要有：加减消元法、代入消元法，整体消元法．
3．应注意：降次的方法主要是因式分解，将“ab＝0”转化为“a＝0或b＝0”．
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