人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用课件+学案

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人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用课件+学案

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(共25张PPT)
第2课时 均值不等式的应用
(1)对于求不等式成立时参数的范围问题,在满足条件的情况下可以把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值;a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值.
注意 f(x)表示关于x的代数式.

6
二 利用均值不等式证明不等式
[例2] (对接教材例6)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
【证明】 因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时等号成立),所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立.
利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
三 均值不等式的实际应用
[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面一条边长为5 m,施工方给的造价:四个侧面造价为100元/m2,底面造价为80元/m2. 
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考.
利用均值不等式解决实际问题的步骤
[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时.
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位:元)用航行速度x(单位:海里/时)表示;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
课堂巩固自测
1.(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为(  )
A.9 B.16
C.4 D.5

2.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:S=-2t2+54t-72,则该新生产线年平均利润最大为________万元.
30
(-10,+∞)
1.已学习:利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题.
2.须贯通:(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”;
(2)利用均值不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题.
3.应注意:解决实际问题时,忽略变量的实际意义对取值范围的限定.第2课时 均值不等式的应用
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
一 利用均值不等式求参数的值或取值范围
[例1] 若不等式9x+≥a+1(a>0)对一切正实数x恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 若9x+≥a+1(a>0)对一切正实数x恒成立,则a+1≤.
又9x+≥2 =6a,
当且仅当9x=,即x=时,等号成立,
故6a≥a+1,解得a≥.
所以实数a的取值范围为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)对于求不等式成立时参数的范围问题,在满足条件的情况下可以把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值;a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值.
注意 f(x)表示关于x的代数式.
[跟踪训练1] (1)已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.m≤-2或m≥2
B.m≤-4或m≥2
C.-2D.-2解析:选D.因为x>0,y>0且+=1,
所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2 =8,
当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立,
所以(x+2y)min=8,要使x+2y>m2恒成立,
只需(x+2y)min>m2恒成立,即8>m2,
解得-2(2)若对于任意x>1,≥a恒成立,则a的最大值是________.
解析:因为x>1,所以x-1>0,
所以==(x-1)++2≥2+2=6,
当且仅当x-1=,
即x=3时,等号成立,所以a≤6.则a的最大值是6.
答案:6
[例2] (对接教材例6)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
【证明】 因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时等号成立),所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
[跟踪训练2] 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.
证明:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+=1+=2+.
同理1+=2+,
所以(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立,
所以(1+)(1+)≥9.
[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面一条边长为5 m,施工方给的造价:四个侧面造价为100元/m2,底面造价为80元/m2. 
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考.
【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,
长方体底面的另一条边长为= m,
故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.
(2)因为x>0,故由均值不等式得y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,
当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,
此时=10 m,
故当蓄水池的高为4 m,底面长宽分别为10 m和5 m时,总造价最低.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用均值不等式解决实际问题的步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/NPN5.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时.
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位:元)用航行速度x(单位:海里/时)表示;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
解:(1)由题意,每小时的燃料费用为0.5x2元,从甲地到乙地所用的时间为小时,
则y=0.5x2·+800·=150(x+)(0<x≤50).
(2)由(1)得y=150(x+)≥300=12 000,
当且仅当x=,即x=40时等号成立.
故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以40海里/时的速度行驶.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为(  )
A.9 B.16
C.4 D.5
解析:选C.设矩形模型的长和宽分别为x,y,矩形模型的面积为S,则x>0,y>0,
由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.
所以矩形模型的面积S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以当矩形模型的长和宽都为2时,面积最大,最大面积为4.
2.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:S=-2t2+54t-72,则该新生产线年平均利润最大为________万元.
解析:由题意年平均利润为=-2t+54-=54-2≤54-2×2=30,
当且仅当t=,即t=6时,等号成立.
答案:30
3.已知不等式2x+m+>0对任意的x>1恒成立,则实数m的取值范围为________.
解析:因为2x+m+>0对任意的x>1恒成立,所以m>-2x-=-2=-2,
因为x>1,所以x-1>0,
所以(x-1)++1≥2+1=5,
当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立,
所以-2≤-2×5=-10.
所以m>-10,所以实数m的取值范围为(-10,+∞). 
答案:(-10,+∞)
4.(教材P81习题2-2CT1改编)设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
证明:因为a,b,c都是正数,所以,,也都是正数,所以+≥2c,
当且仅当a=b时,等号成立,
+≥2a,
当且仅当b=c时,等号成立,
+≥2b,
当且仅当a=c时,等号成立,
所以2≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习:利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题.
2.须贯通:(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”;
(2)利用均值不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题.
3.应注意:解决实际问题时,忽略变量的实际意义对取值范围的限定.
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