资源简介 (共25张PPT)第2课时 均值不等式的应用(1)对于求不等式成立时参数的范围问题,在满足条件的情况下可以把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值;a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值.注意 f(x)表示关于x的代数式.√6二 利用均值不等式证明不等式[例2] (对接教材例6)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.【证明】 因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时等号成立),所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.三 均值不等式的实际应用[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面一条边长为5 m,施工方给的造价:四个侧面造价为100元/m2,底面造价为80元/m2. (1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考.利用均值不等式解决实际问题的步骤[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时.(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位:元)用航行速度x(单位:海里/时)表示;(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?课堂巩固自测1.(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( )A.9 B.16C.4 D.5√2.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:S=-2t2+54t-72,则该新生产线年平均利润最大为________万元.30(-10,+∞)1.已学习:利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题.2.须贯通:(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”;(2)利用均值不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题.3.应注意:解决实际问题时,忽略变量的实际意义对取值范围的限定.第2课时 均值不等式的应用INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"一 利用均值不等式求参数的值或取值范围[例1] 若不等式9x+≥a+1(a>0)对一切正实数x恒成立,求实数a的取值范围.【解】 若9x+≥a+1(a>0)对一切正实数x恒成立,则a+1≤.又9x+≥2 =6a,当且仅当9x=,即x=时,等号成立,故6a≥a+1,解得a≥.所以实数a的取值范围为.eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )(1)对于求不等式成立时参数的范围问题,在满足条件的情况下可以把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值;a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值.注意 f(x)表示关于x的代数式.[跟踪训练1] (1)已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2恒成立,则实数m的取值范围是( )A.m≤-2或m≥2B.m≤-4或m≥2C.-2D.-2解析:选D.因为x>0,y>0且+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2 =8,当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立,所以(x+2y)min=8,要使x+2y>m2恒成立,只需(x+2y)min>m2恒成立,即8>m2,解得-2(2)若对于任意x>1,≥a恒成立,则a的最大值是________.解析:因为x>1,所以x-1>0,所以==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立,所以a≤6.则a的最大值是6.答案:6[例2] (对接教材例6)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.【证明】 因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时等号成立),所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立.eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )利用均值不等式证明不等式的注意点(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.[跟踪训练2] 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.证明:因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+=1+=2+.同理1+=2+,所以(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立,所以(1+)(1+)≥9.[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面一条边长为5 m,施工方给的造价:四个侧面造价为100元/m2,底面造价为80元/m2. (1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考.【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,长方体底面的另一条边长为= m,故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.(2)因为x>0,故由均值不等式得y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,此时=10 m,故当蓄水池的高为4 m,底面长宽分别为10 m和5 m时,总造价最低.eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )利用均值不等式解决实际问题的步骤INCLUDEPICTURE "../../生物/NPN5.TIF" \* MERGEFORMAT[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时.(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位:元)用航行速度x(单位:海里/时)表示;(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?解:(1)由题意,每小时的燃料费用为0.5x2元,从甲地到乙地所用的时间为小时,则y=0.5x2·+800·=150(x+)(0<x≤50).(2)由(1)得y=150(x+)≥300=12 000,当且仅当x=,即x=40时等号成立.故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以40海里/时的速度行驶.INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT1.(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( )A.9 B.16C.4 D.5解析:选C.设矩形模型的长和宽分别为x,y,矩形模型的面积为S,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.所以矩形模型的面积S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以当矩形模型的长和宽都为2时,面积最大,最大面积为4.2.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:S=-2t2+54t-72,则该新生产线年平均利润最大为________万元.解析:由题意年平均利润为=-2t+54-=54-2≤54-2×2=30,当且仅当t=,即t=6时,等号成立.答案:303.已知不等式2x+m+>0对任意的x>1恒成立,则实数m的取值范围为________.解析:因为2x+m+>0对任意的x>1恒成立,所以m>-2x-=-2=-2,因为x>1,所以x-1>0,所以(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立,所以-2≤-2×5=-10.所以m>-10,所以实数m的取值范围为(-10,+∞). 答案:(-10,+∞)4.(教材P81习题2-2CT1改编)设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.证明:因为a,b,c都是正数,所以,,也都是正数,所以+≥2c,当且仅当a=b时,等号成立,+≥2a,当且仅当b=c时,等号成立,+≥2b,当且仅当a=c时,等号成立,所以2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )1.已学习:利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题.2.须贯通:(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”;(2)利用均值不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题.3.应注意:解决实际问题时,忽略变量的实际意义对取值范围的限定.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用学案.doc 人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用课件.ppt