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第2课时　均值不等式的应用
(1)对于求不等式成立时参数的范围问题，在满足条件的情况下可以把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个具体的函数，这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式，便于问题的解决．
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值；a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值．
注意　f(x)表示关于x的代数式．
√
6
二　利用均值不等式证明不等式
[例2] (对接教材例6)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【证明】　因为a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c时等号成立)，c2＋a2≥2ca(当且仅当a＝c时等号成立)，所以(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到．
三　均值不等式的实际应用
[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为200 m3，高为x m，底面一条边长为5 m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/m2，底面造价为80元/m2.　
(1)设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考．
利用均值不等式解决实际问题的步骤
[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位：元)用航行速度x(单位：海里/时)表示；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
课堂巩固自测
1．(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)
A．9 B．16
C．4 D．5
√
2．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：S＝－2t2＋54t－72，则该新生产线年平均利润最大为________万元．
30
(－10，＋∞)
1．已学习：利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题．
2．须贯通：(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)利用均值不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问题转化为数学问题．
3．应注意：解决实际问题时，忽略变量的实际意义对取值范围的限定．第2课时　均值不等式的应用
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
一　利用均值不等式求参数的值或取值范围
[例1] 若不等式9x＋≥a＋1(a＞0)对一切正实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　若9x＋≥a＋1(a＞0)对一切正实数x恒成立，则a＋1≤.
又9x＋≥2 ＝6a，
当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立，
故6a≥a＋1，解得a≥.
所以实数a的取值范围为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)对于求不等式成立时参数的范围问题，在满足条件的情况下可以把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个具体的函数，这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式，便于问题的解决．
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)的最小值；a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的最大值．
注意　f(x)表示关于x的代数式．
[跟踪训练1] (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2D．－2解析：选D.因为x>0，y>0且＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立，
所以(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，
解得－2(2)若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是________．
解析：因为x>1，所以x－1>0，
所以＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，等号成立，所以a≤6.则a的最大值是6.
答案：6
[例2] (对接教材例6)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【证明】　因为a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c时等号成立)，c2＋a2≥2ca(当且仅当a＝c时等号成立)，所以(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到．
[跟踪训练2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.
证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋，
所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
所以(1＋)(1＋)≥9.
[例3] (对接教材例3)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为200 m3，高为x m，底面一条边长为5 m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/m2，底面造价为80元/m2.　
(1)设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考．
【解】　(1)长方体蓄水池的底面面积为 m2，
长方体底面的另一条边长为＝ m，
故y＝80·＋100×2(5x＋·x)＝＋1 000x＋8 000，x>0.
(2)因为x>0，故由均值不等式得y＝＋1 000x＋8 000≥2＋8 000＝16 000，
当且仅当＝1 000x，即x＝4时，等号成立，
此时＝10 m，
故当蓄水池的高为4 m，底面长宽分别为10 m和5 m时，总造价最低．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用均值不等式解决实际问题的步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/NPN5.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位：元)用航行速度x(单位：海里/时)表示；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·＝150(x＋)(0＜x≤50).
(2)由(1)得y＝150(x＋)≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时等号成立．
故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的速度行驶．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P80练习BT4改编)用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)
A．9 B．16
C．4 D．5
解析：选C.设矩形模型的长和宽分别为x，y，矩形模型的面积为S，则x＞0，y＞0，
由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4.
所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2时，面积最大，最大面积为4.
2．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：S＝－2t2＋54t－72，则该新生产线年平均利润最大为________万元．
解析：由题意年平均利润为＝－2t＋54－＝54－2≤54－2×2＝30，
当且仅当t＝，即t＝6时，等号成立．
答案：30
3．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：因为2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，所以m>－2x－＝－2＝－2，
因为x>1，所以x－1>0，
所以(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
所以－2≤－2×5＝－10.
所以m>－10，所以实数m的取值范围为(－10，＋∞).　
答案：(－10，＋∞)
4．(教材P81习题2－2CT1改编)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数，所以＋≥2c，
当且仅当a＝b时，等号成立，
＋≥2a，
当且仅当b＝c时，等号成立，
＋≥2b，
当且仅当a＝c时，等号成立，
所以2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：利用均值不等式求参数取值范围、证明不等式及解决实际问题．
2．须贯通：(1)利用均值不等式证明不等式关键是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)利用均值不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问题转化为数学问题．
3．应注意：解决实际问题时，忽略变量的实际意义对取值范围的限定．
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