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第2课时　函数的平均变化率
新课导入 学习目标
　　从形的角度理解函数的单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点．我们知道，两点确定一条直线．那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习． 1.了解直线的斜率及意义．
2．了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系．
3．会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性．
斜率　
斜率不存在
0
2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1
利用斜率公式求直线斜率的注意事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与A，B两点的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
角度2　平均变化率的计算
[例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
[跟踪训练1] 求函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率．
>　
<
三　一元二次函数的最值
[知识梳理]
已知二次函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当对称轴与区间的位置不确定时，还需要进行分类讨论．
f(n)　
f(m)
f(m)　
f(n)
[例3] (对接教材例5)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值．
【解】　由题意，得f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，图象开口向上，当x∈[－2，0]时，f(x)单调递减，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
母题探究　本例条件“x∈[－2，0]”变为“x∈[t，t＋1]”，求f(x)的最小值g(t).
解：①当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3；
②当t<1二次函数最值问题的类型及求解策略
类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动
求解
策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间上两端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成
[跟踪训练3] 求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a.
①当a<0时，由图1可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图3可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
课堂巩固自测
√
√
√
4．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
1．已学习：(1)直线的斜率；(2)函数的平均变化率；(3)函数单调性的充要条件；(4)求一元二次函数的最值．
2．须贯通：利用函数单调性及图象求一元二次函数的最值时，体现了分类讨论思想和数形结合思想．
3．应注意：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题．第2课时　函数的平均变化率
新课导入 学习目标
　　从形的角度理解函数的单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点．我们知道，两点确定一条直线．那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习． 1.了解直线的斜率及意义．2．了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系．3．会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性．
[知识梳理]
1．直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的________；当x1＝x2时，称直线AB的________________．
若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为.
2．函数的平均变化率
一般地，若区间I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝____________(即________________)，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
[答案自填] 斜率　斜率不存在　　＝
角度1　直线的斜率公式及应用
[即时练]
1．过函数图象上两点A(－1，3)，B(2，3)的斜率＝________．
答案：0
2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1
解：因为直线l的斜率是1，所以＝1，
即＝1，解得m＝.
eq \a\vs4\al()
利用斜率公式求直线斜率的注意事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与A，B两点的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
角度2　平均变化率的计算
[例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解】　(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
所以＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.
eq \a\vs4\al()
求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤是：
(1)先求Δx＝x2－x1；
(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)由定义求出＝.
[跟踪训练1] 求函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率．
解：因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，
所以＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.
[知识梳理]
函数递增、递减的充要条件
一般地，若区间I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在区间I上是增函数的充要条件是________0在区间I上恒成立；
(2)y＝f(x)在区间I上是减函数的充要条件是________0在区间I上恒成立．
[答案自填] >　<
[例2] (对接教材例3)用平均变化率证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
【证明】　令y＝f(x)＝，
设任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，
则＝＝ eq \f(\f(2,x)－\f(2,x),x2－x1) ＝ eq \f(2（x－x）,xx（x2－x1）) ＝－2 eq \f(x1＋x2,xx) ，
因为x1＞0，x2＞0，
所以x1＋x2＞0，xx＞0，所以＜0，
所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
eq \a\vs4\al()
利用平均变化率证明函数单调性的步骤
(1)设任意x1，x2∈I 定义域，且x1≠x2；
(2)计算；
(3)判定与0的关系；
(4)依据充要条件得结论．
[跟踪训练2] 若函数y＝f(x)在其定义域的子集区间I上是增函数且f(x)>0，求证：g(x)＝在区间I上是减函数．
证明：任取x1，x2∈I且x2>x1，
则Δx＝x2－x1>0，Δy＝f(x2)－f(x1)，
因为函数y＝f(x)在其定义域的子集区间I上是增函数，
所以>0，Δy>0，即f(x2)－f(x1)>0，
所以g(x2)－g(x1)＝－＝.　
又因为f(x)>0，
所以f(x1)f(x2)>0且f(x1)－f(x2)<0，
所以g(x2)－g(x1)<0，则<0，
故g(x)＝在区间I上是减函数．
[知识梳理]
已知二次函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当对称轴与区间的位置不确定时，还需要进行分类讨论．
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下三种情况：
(1)若x＝－在区间[m，n]内，则最小值为__________，最大值为f(m)，f(n)中的较大者；
(2)若x＝－(3)若x＝－>n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为________，最小值为________．
[答案自填] f(－)　f(n)　f(m)
f(m)　f(n)
[例3] (对接教材例5)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值．
【解】　由题意，得f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，图象开口向上，当x∈[－2，0]时，f(x)单调递减，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
母题探究　本例条件“x∈[－2，0]”变为“x∈[t，t＋1]”，求f(x)的最小值g(t).
解：①当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3；
②当t<1③当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.
综上，g(t)＝
eq \a\vs4\al()
二次函数最值问题的类型及求解策略
类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动
求解策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间上两端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成
[跟踪训练3] 求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a.
①当a<0时，由图1可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图3可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a>2时，由图4可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，f(x)min＝
f(x)max＝
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．已知函数f(x)＝在[1，a]上的平均变化率为，则实数a的值为(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
解析：选B.f(x)＝在[1，a]上的平均变化率为＝＝＝，解得a＝9，故选B.
2．已知过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
解析：选A.由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1.故选A.
3．(教材P108T5改编)函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为(　　)
A．42，12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，－
解析：选D.因为f(x)＝(x＋)2－，x∈(－5，5)，所以当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
4．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)由题意得，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，其图象的对称轴为直线x＝－，因为－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f(－)＝－，f(x)max＝f(3)＝9＋9－3＝15，所以函数 f(x)的值域为[－，15].
(2)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3＝1，
解得a＝－，满足题意；
②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1＝1，解得a＝－1，满足题意．
综上，a＝－或a＝－1.
eq \a\vs4\al()
1．已学习：(1)直线的斜率；(2)函数的平均变化率；(3)函数单调性的充要条件；(4)求一元二次函数的最值．
2．须贯通：利用函数单调性及图象求一元二次函数的最值时，体现了分类讨论思想和数形结合思想．
3．应注意：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题．
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