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第2课时　函数奇偶性的应用
一　利用奇偶性求函数的解析式
角度1　求对称区间上的解析式
[例1] 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
母题探究　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得到所求区间上的解析式．
[跟踪训练1] 已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1).
x(x＋1)
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x).
[跟踪训练2] 已知f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝________．
解析：以－x代替条件等式中的x，则有f(－x)＋g(－x)＝3x2＋x＋1，又f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝3x2＋x＋1.又f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，所以f(x)＝－x，g(x)＝3x2＋1.
－x　
3x2＋1
二　函数的奇偶性与单调性的综合问题
[知识梳理]
以下a，b符号相同：
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a单调递增　
相同　
单调递减
相反
3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a－M　
N
√
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小．
[跟踪训练3] 设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
√
解析：由x1<0，且x1＋x2>0，
得x2>－x1>0.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，
所以f(－x2)√
利用函数的奇偶性、单调性解不等式的步骤
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
[跟踪训练4] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，则使f(x)＜0成立的x的取值范围是(　　)
A.(－∞，3) 　
B．(3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞) 　
D．(－3，3)
√
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
由不等式f(x)＜0，得f(|x|)＜f(3)，所以|x|＜3，解得－3＜x＜3.故选D.
课堂巩固自测
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2－x
C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2＋x
解析：因为当x≥0时，f(x)＝x2－x，
当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x(x<0)，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x(x<0)，
即f(x)＝x2＋x(x<0).
√
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－1)＋f(0)＝(　　)
A．1 B．0
C．－2 D．2
解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(12＋1)＝－2，
所以f(－1)＋f(0)＝－2.故选C.
√
3．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(－3)>f(1)，f(3)>f(－1)都成立．
√
√
4．若奇函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)＝1，则使得f(x)＋1＜0成立的x的取值范围为___________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，
由f(x)＋1＜0可得f(x)＜－1，
即f(x)＜f(－2)，
又因为函数f(x)是定义在R上的增函数，所以x＜－2.
(－∞，－2)
1．已学习：(1)利用奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．须贯通：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，特别地，利用偶函数f(x)＝f(|x|)能起到化繁为简的效果．
3．应注意：解不等式易忽视函数的定义域．第2课时　函数奇偶性的应用
角度1　求对称区间上的解析式
[例1] 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
【解】　当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x－3.
当x＝0时，f(0)＝0.
故f(x)＝
母题探究　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
eq \a\vs4\al()
已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得到所求区间上的解析式．
[跟踪训练1] 已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1).
答案：x(x＋1)
角度2　构造方程组求解析式
[例2] 已知定义域相同的奇函数f(x)与偶函数g(x) 满足f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)的解析式．
【解】　由f(x)＋g(x)＝可得f(－x)＋g(－x)＝，又f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，所以g(x)－f(x)＝，
由
解得f(x)＝，g(x)＝.
eq \a\vs4\al()
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x).
[跟踪训练2] 已知f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝________．
解析：以－x代替条件等式中的x，则有f(－x)＋g(－x)＝3x2＋x＋1，又f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝3x2＋x＋1.又f(x)＋g(x)＝3x2－x＋1，所以f(x)＝－x，g(x)＝3x2＋1.
答案：－x　3x2＋1
[知识梳理]
以下a，b符号相同：
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a[答案自填] 单调递增　相同　单调递减
相反　－M　N
角度1　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[例3] (1)已知f(x)是奇函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，则f(1)，f()，f(2)的大小关系是(　　)
A.f()C．f(2)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(－3)，f，f的大小顺序是____________．(用“<”连接)
【解析】　(1)由题得f(x)在区间[0，＋∞)上也单调递减，又1<<2，所以f(2)(2)依题意，f(－3)＝f(3)，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
<3<，得f所以f【答案】　(1)B　(2)feq \a\vs4\al()
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小．
[跟踪训练3] 设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
解析：选A.由x1<0，且x1＋x2>0，
得x2>－x1>0.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，
所以f(－x2)角度2　利用函数的奇偶性、单调性解不等式
[例4] 已知奇函数f(x)在定义域(－2，2)上是增函数，且f(3a－1)＋f(a－1)＞0，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，) B．(－，)
C．(，1) D．(，)
【解析】　因为f(x)是定义域为(－2，2)的增函数，且为奇函数，所以由f(3a－1)＋f(a－1)＞0，
可得f(3a－1)＞－f(a－1)＝f(1－a)，
所以解得
即a∈(，1)，
所以a的取值范围是(，1).故选C.
【答案】　C
eq \a\vs4\al()
利用函数的奇偶性、单调性解不等式的步骤
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
[跟踪训练4] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递减，且f(3)＝0，则使f(x)＜0成立的x的取值范围是(　　)
A.(－∞，3) 　
B．(3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞) 　
D．(－3，3)
解析：选D.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
由不等式f(x)＜0，得f(|x|)＜f(3)，所以|x|＜3，解得－3＜x＜3.故选D.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2－x
C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2＋x
解析：选C.因为当x≥0时，f(x)＝x2－x，
当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x(x<0)，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x(x<0)，
即f(x)＝x2＋x(x<0).
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－1)＋f(0)＝(　　)
A．1 B．0
C．－2 D．2
解析：选C.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(12＋1)＝－2，
所以f(－1)＋f(0)＝－2.故选C.
3．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)
解析：选AB.因为f(x)为偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(－3)>f(1)，f(3)>f(－1)都成立．
4．若奇函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)＝1，则使得f(x)＋1＜0成立的x的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，
由f(x)＋1＜0可得f(x)＜－1，
即f(x)＜f(－2)，
又因为函数f(x)是定义在R上的增函数，所以x＜－2.
答案：(－∞，－2)
eq \a\vs4\al()
1．已学习：(1)利用奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．须贯通：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，特别地，利用偶函数f(x)＝f(|x|)能起到化繁为简的效果．
3．应注意：解不等式易忽视函数的定义域．
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