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3．1.3　函数的奇偶性
新课导入 学习目标
　　生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧．

这种对称美在我们学习的函数中也有所体现，数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性． 1.掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
2．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
3．理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式．
一　函数奇偶性的判断
思考1　二次函数y＝x2的图象关于什么对称？
提示：y轴．
提示：原点．
[知识梳理]
类别 偶函数 奇函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有______，且____________ 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且_______________
定义域
特征 关于________对称
图象
特征 关于________
对称 关于________
对称
－x∈D　
f(－x)＝f(x)
－x∈D　
f(－x)＝－f(x)　
原点　
y轴
原点
[例1] (对接教材例1)判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
【解】　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3－x＝
－x3－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝x2－3|x|；
【解】　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＝x2－3|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
【解】　方法一：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－x＋1＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
方法二：作出函数f(x)的图象如图．此函数的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)是偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
注意　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的取值范围代入相应的函数解析式．
[跟踪训练1] (1)下列图象对应的函数中具有奇偶性的是(　　)
√
解析：选项A中图象均不关于原点或y轴对称，故排除；选项C，D中图象对应函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其对应的函数是偶函数．
解：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
②f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为对 x∈R，都有f(－x)＝
|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
二　奇、偶函数图象的特征
[例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
【解】　由题意作出函数图象如图所示．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间．
【解】　由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
母题探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1).
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
[跟踪训练2]　已知函数f(x)是定义在[－3，－1]∪[1，3]上的奇函数，其部分图象如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
解：由于函数f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解：观察图象，知f(3)三　利用函数的奇偶性求值
[例3] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，那么f(－1)＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【解析】　因为当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，所以f(1)＝1×2＝2，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
√
【解析】　由题意得，a－1＋(－2a)＝0，可得a＝－1，
所以f(x)＝－x2＋bx＋4，其定义域为[－2，2]，
由f(－x)＝f(x)可得，－x2－bx＋4＝－x2＋bx＋4对于x∈[－2，2]恒成立，所以2bx＝0，b＝0，则a＋b＝－1.故选B.
√
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
[跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
解析：由题知f(－x)＋f(x)＝0，即a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
0
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝________．
解析：方法一：由已知得
f(－1)＝－a＋b－3＝7，
所以a－b＝－10，
所以f(1)＝a－b－3＝－10－3＝－13.
－13
方法二：令g(x)＝ax3－bx，
由于g(－x)＝－g(x)，
则g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)－3，
又f(－1)＝g(－1)－3＝－g(1)－3＝7，
所以g(1)＝－10，
所以f(1)＝g(1)－3＝－10－3＝－13.
课堂巩固自测
1．已知y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则f(x)的图象是(　　)
√
解析：因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，根据题目所给的一部分图象可知，符合题意的只有D项．故选D.
2．已知函数f(x)为奇函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．－2
C．－4 D．4
解析：由奇函数的性质得f(－2)＝－f(2)＝－4.故选C.
√
3．(2025·日照月考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
所以f(1)＋g(1)＝1.
1
解：方法一：因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
所以f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x).
当x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，
综上可知，函数f(x)为奇函数．
方法二：作出函数f(x)的图象，如图所示的实线部分．由图可知，该函数为奇函数．
1．已学习：函数奇偶性的概念及判断、奇(偶)函数的图象特征．
2．须贯通：函数的奇偶性是一个函数本身具有的“整体”性质，既可以通过定义f(－x)＝±f(x)判断，也可以根据函数图象的对称性判断．
3．应注意：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．3．1.3　函数的奇偶性
新课导入 学习目标
　　生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧．这种对称美在我们学习的函数中也有所体现，数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性． 1.掌握函数奇偶性的判断和证明方法．2．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．3．理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式．
第1课时　函数的奇偶性
思考1　二次函数y＝x2的图象关于什么对称？
提示：y轴．
思考2　反比例函数y＝的图象关于什么对称？
提示：原点．
[知识梳理]
类别 偶函数 奇函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有______，且____________ 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且____________
定义域特征 关于________对称
图象特征 关于________对称 关于________对称
[答案自填] －x∈D　f(－x)＝f(x)
－x∈D　f(－x)＝－f(x)　原点　y轴
原点
[例1] (对接教材例1)判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝x2－3|x|；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＝x2－3|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
(3)由题意得解得x＝±2，即函数的定义域为{x|x＝±2}，关于原点对称，则f(x)＝＋＝0，
所以函数f(x)既是奇函数也是偶函数．
(4)方法一：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－x＋1＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
方法二：作出函数f(x)的图象如图．此函数的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)是偶函数．
eq \a\vs4\al()
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
注意　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的取值范围代入相应的函数解析式．
[跟踪训练1] (1)下列图象对应的函数中具有奇偶性的是(　　)
解析：选B.选项A中图象均不关于原点或y轴对称，故排除；选项C，D中图象对应函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其对应的函数是偶函数．
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝；
②f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
③f(x)＝.
解：①函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
②函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为对 x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
③由得－3≤x≤3且x≠0，
即f(x)的定义域为[－3，0)∪(0，3].
因为f(x)＝＝＝，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
[例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间．
【解】　(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
母题探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1).
eq \a\vs4\al()
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
[跟踪训练2]　已知函数f(x)是定义在[－3，－1]∪[1，3]上的奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)由于函数f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)[例3] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，那么f(－1)＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx－4a是偶函数，其定义域为[a－1，－2a]，则a＋b＝(　　)
A．1 B．－1 C． D．0
【解析】　(1)因为当x＞0时，f(x)＝x(x＋1)，所以f(1)＝1×2＝2，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
(2)由题意得，a－1＋(－2a)＝0，可得a＝－1，
所以f(x)＝－x2＋bx＋4，其定义域为[－2，2]，
由f(－x)＝f(x)可得，－x2－bx＋4＝－x2＋bx＋4对于x∈[－2，2]恒成立，所以2bx＝0，b＝0，则a＋b＝－1.故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
eq \a\vs4\al()
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
[跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
解析：由题知f(－x)＋f(x)＝0，即a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
答案：0
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝________．
解析：方法一：由已知得
f(－1)＝－a＋b－3＝7，
所以a－b＝－10，
所以f(1)＝a－b－3＝－10－3＝－13.
方法二：令g(x)＝ax3－bx，
由于g(－x)＝－g(x)，
则g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)－3，
又f(－1)＝g(－1)－3＝－g(1)－3＝7，
所以g(1)＝－10，
所以f(1)＝g(1)－3＝－10－3＝－13.
答案：－13
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．已知y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则f(x)的图象是(　　)
解析：选D.因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，根据题目所给的一部分图象可知，符合题意的只有D项．故选D.
2．已知函数f(x)为奇函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．－2
C．－4 D．4
解析：选C.由奇函数的性质得f(－2)＝－f(2)＝－4.故选C.
3．(2025·日照月考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
所以f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
4．(教材P114T2改编)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x－；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解：(1)f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
方法一：因为f(－x)＝(－x)－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x－是奇函数．
方法二：因为f(x)＋f(－x)＝x－＋(－x)－＝x－－x＋＝0，所以f(x)＝x－是奇函数．
(2)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
(3)方法一：因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
所以f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x).
当x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，
综上可知，函数f(x)为奇函数．
方法二：作出函数f(x)的图象，如图所示的实线部分．由图可知，该函数为奇函数．
eq \a\vs4\al()
1．已学习：函数奇偶性的概念及判断、奇(偶)函数的图象特征．
2．须贯通：函数的奇偶性是一个函数本身具有的“整体”性质，既可以通过定义f(－x)＝±f(x)判断，也可以根据函数图象的对称性判断．
3．应注意：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
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