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人教版 八年级上册
13.3.2
第十三章 三角形
三角形的外角
情境引入
QING JING YIN RU
假期，果果到爷爷的农田中帮忙，其中有一块田是三角形形状的.果果沿着这块三角形农田周围的小路，按逆时针行走.小明每从AC小路到AB小路时，身体转过的角度是多少？
1
A
B
C
40°
70°
D
由三角形内角和易得
∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 70°，
所以∠BAD = 180°－∠BAC= 110°.
像∠BAD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
三角形的外角
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
D
② 角的一边是三角形的一边
① 角的顶点是三角形的顶点
③ 另一边是三角形中一边的延长线
三角形的外角应具备的条件
思考三角形的外角应具备的条件
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
F
A
B
C
D
E
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
每个顶点处有几个外角？它们有何关系？
如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等.
思考
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
三角形共有几个外角？
A
B
C
每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角.
每一个三角形都有 6 个外角．
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？
∠BCD =∠A+∠B .
∠BCD 与∠ACB 互补.
你会证明这个结论吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
三角形的外角
A
C
B
D
不相邻的内角
求证：∠BCD =∠A+∠B .
证法一：
由三角形的内角和可知
∠A+∠B+∠ACB=180°
由邻补角的定义可知
∠BCD +∠ACB=180°
∴∠BCD =∠A+∠B .
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
求证：∠BCD =∠A+∠B .
证法二：
D
A
B
C
1
2
E
过 C 作 CE∥AB，
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
由推论可知
∠BCD =∠A+∠B
因此
∠BCD >∠A,
∠BCD >∠B .
三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？
三角形的一个外角大于任何一个
与它不相邻的内角.
即∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C.
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
想想三角形的内角和与外角！
求出下列图形中∠1 的度数.
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
∠1=
∠1=
∠1=
90
85
95
180°-30°-60°
120°-35°
45°+50°
能否找出其中的外角？
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°，20°，30°，求∠1的度数.
B
3
2
1
A
C
D
E
解：∵∠2 是△ACD 的一个外角，
∴∠2 =∠3+∠C=110°，
∵∠1 是△BDE 的一个外角，
∴∠1=∠B +∠2=130°.
能否找出其中的外角？
典例精析
DIAN LI JING XI
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列.
解：∵∠2 是△ACD 的一个外角，
∴∠2 =∠3+∠C，
即有∠2 >∠3，
∵∠1 是△BDE 的一个外角，
∴∠1=∠B +∠2，
即有∠1 >∠2，故∠1 >∠2>∠3.
变式1
B
3
2
1
A
C
D
E
利用三角形的外角求解
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
利用三角形的内角和求解
如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°,
∠BAC=70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解:（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角，
所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°.
又因为∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°÷2＝40°.
（2）在△ABC 中，因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
所以∠C＝180°－∠B－∠BAC
＝180°－40°－70°＝70°
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
在△ADC中利用外角求出∠BDF.
利用外角进行转化
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1 是△FBE 的外角，
∴∠1 = ∠B + ∠E，
同理∠2 = ∠A + ∠D.
在△CFG 中，
∠C +∠1 +∠2 = 180°，
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°.
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数.
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
思考三角形的外角和其不相邻内角的数量关系.
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
思考三角形的外角和其相邻内角的数量关系.
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°.
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
能否利用平行线来转化？
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解法三：过 A 作 AM 平行于 BC，
则易得∠3＝ ∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3 ＝
∠1＋ ∠4＋ ∠BAM = 360°.
M
D
E
F
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
三角形的外角和
三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和.
结论：三角形的外角和等于 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
2
1
3
和五角星模型一样，利用外角进行转换
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = .
360°
解：∵∠1 是△ABN 的外角，
∴∠1 = ∠B + ∠A，
同理∠2 = ∠C+ ∠D,
∠3 = ∠E+ ∠F,
根据三角形的外角和为360°，
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 360°.
课堂小结
QING JING YIN RU
定义
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角于与它不相邻的任意一个内角
三角形的外角
角一边必须是三角形的一边，另一边
必须是三角形另一边的延长线
外角和
三角形的外角和等于 360°
当堂练习
QING JING YIN RU
1.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( )
F
A
B
E
C
D
A. 26° B. 63°
C. 37° D. 60°
A
2.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，
若∠C =∠F=90°，∠A =45°，∠D =30°，
则∠α+∠β等于（ ）
A.180° B.210°
C.360° D.270°
B
E
B
C
A
F
D
α
β
1
2
3
4
当堂练习
QING JING YIN RU
3.判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
×
×
×
√
4.(1)如图，∠BDC 是________的外角，也是 的外角；
(2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则
∠AEC 的度数为 .
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
101°
当堂练习
QING JING YIN RU
5.求出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
解：由三角形的内角和为180°，
得∠1 = 180°-60°-80°=40°.
∵∠2 是△ABC 的一个外角，
∴∠2=∠A+∠B=140°.
解：∵∠DAB 是△ABC 的一个外角，
∴∠1+32°=50°，即∠1 = 18°.
由三角形的内角和为180°，
得∠2 = 180°-32°-18°=130°.
D
当堂练习
QING JING YIN RU
6.如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°，
∴∠BFC = 88°.
F
A
C
D
E
B
当堂练习
QING JING YIN RU
7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
E
解：延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
当堂练习
QING JING YIN RU
8.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
当堂练习
QING JING YIN RU
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
)
2
F
8.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数.

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