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人教版 八年级上册
14.2（第5课时）
第十四章 全等三角形
斜边直角边
复习回顾
FU XI HUI GU
思考
前面我们学习了哪些判定三角形全等的方法？
SAS
ASA
AAS
SSS
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
4. 两个直角三角形中，直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
如图，已知 AC = A’C’，AB= A’B’，∠C = ∠C’=90°，△ABC≌△DEF 吗？
我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理.
我们可以通过画图试试看.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
探究
已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
2cm
3cm
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于2cm ;
2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺);
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;
4.连结BC.△ABC即为所求.
A B
C
M
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
思考
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.
如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C,
∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM′
>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB,可知点A′与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形.
注
意
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
格式要求：
第一个三角形的名称和对应的判定条件
第二个三角形的名称和对应的判定条件
指明范围
说明依据
得出结论
全等三角形的对应字母要写在对应的位置，顺序不能错
三个条件必须按照
斜边
直角边
的顺序进行书写
范围和结论中
必须写明Rt△
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
出现直角要认真观察，到底是用“AAS”、“ASA”还是“HL”.
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
将隐藏的直角找到！
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
已知：如图，AB=CD，D、B到AC的距离DE=BF.求证：AB//CD．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，
DE=BF
AB=CD
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)，
∴∠DCE=∠BAF，
∴AB//CD．
先找到全等的三角形！
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC=∠D=90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中
AC=BC
AE=CD ,
∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)，
∴CE=BD=2，CD=AE=7，
∴DE=CD-CE=7-2=5.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
A
F
C
E
D
B
如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
AB = CD，
AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
思考如何通过证明三角形全等得到对应边相等
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF.
证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，
∠CAB＝∠EAD.
∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即
∠DAC＝∠BAE.
在△ACD和△AEB中，
AC＝AE，
∠DAC＝∠BAE，
AD＝AB， ∴△ACD ≌△AEB(SAS)．
通过两次证明三角形全等得到，同学们要灵活使用全等三角形的性质和判定！
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF.
∴CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.
又∵∠ACB＝∠AED，
∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，
即∠DCF＝∠BEF.
在△CDF和△EBF中，
∠DFC＝∠BFE，
∠DCF＝∠BEF，
CD＝EB， ∴△CDF≌△EBF(AAS)． ∴CF＝EF.
同学们还能想到更简洁的方法吗？
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
能否证明DF=BF从而得出结论？
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.求证：CF＝EF.
法二：连结AF.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴CB＝ED，AB＝AD.
在Rt△ADF和Rt△ABF中，
AF＝AF，
AD＝AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)．
∴DF＝BF.
∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF.
课堂小结
QING JING YIN RU
内容
斜边、直角边
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
前提
在直角三角形中
注意
只须找除直角外的两个条件即可
(两个条件中至少有一个是一对边相等)
Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),从而DE=EC.
当堂练习
QING JING YIN RU
1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．SSS　 B．ASA
C．SSA　 D．HL
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，
BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
D
C
当堂练习
QING JING YIN RU
3.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (H.L.).
CE=BD,
BC=CB .
设BD于EF交于点G，即证EG=FG.
当堂练习
QING JING YIN RU
∴BF＝DE
∴△GBF≌△GDE (AAS)
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
4.如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
A
F
C
E
D
B
G
证明：在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
AB = CD，
AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
在 △GBF 和 Rt△GDE 中，
BF＝DE
∴GF=GE，即BD平分EF.
当堂练习
QING JING YIN RU
证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
5.如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE.
AB＝AB，
AD＝AF，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.

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