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人教版 八年级上册
14.3（第1课时）
第十四章 全等三角形
角的平分线
复习回顾
FU XI HUI GU
什么是角的平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？
可以用量角器、圆规、对折等方法.
实际生产应用中，又应该如何找到零件或者材料的角平分线呢？
思考
思考
思考
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中，
AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴ ∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上,∴AE是这个角的平分线.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
A
B
O
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
探究
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，
交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为
半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
A
B
O
M
N
C
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，
等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
为什么要以适当长为半径画弧线？
以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
A
B
O
M
N
C
思考
为什么要以大于 MN的长为半径画弧？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接
OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
两弧交点在什么位置？
应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
A
B
O
M
N
C
思考
第（3）步能否说成“连接OC”？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
根据以上测量，你能得到什么猜想？
次数 PD的长度 PE的长度
第1次
第2次
第3次
第n次
猜想：PD=PE
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
探索：角的平分线的性质
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
能否根据全等的知识来证明上述结论？
证明：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD = PE.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
角的平分线的性质
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
证明线段相等.
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
定理的作用：
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
证明几何命题的一般步骤
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，
则点P到OB的距离为3
O
B
A
C
P
D
图3
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
┐
判断下列命题是否正确：
（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.
（OC不是∠AOB的平分线）.
（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
角的平分线的性质的标准条件
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD，
DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B
D
F
E
┐
┐
=DE+DB+EB=
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长.
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.
又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE.
∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路、铁路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何处？
解：∵集贸市场到公路和铁路的距离相等
∴集贸市场应该在公路和铁路的角平分线上
不妨设公路和铁路的交点为O
作∠AOB的平分线OP
在OP上找一点S，使得OS=500m
点S即为集贸市场
A
B
O
P
看见距离，就想角的平分线！
回顾：三角形的三条角平分线交于一点如何证明？
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
证明：过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D，
作PF⊥AC于点F，
∵BM、CN分别平分∠ABC、∠ACB
∴PD=PF
由于三角形三条角平分线交于一点
故点P也在∠A的平分线上
∴PD=PF=PE
∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等
回顾三角形的三边关系.
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
∴ PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
∴ BE+PF>PB.
∵ AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB， PF⊥AC，
解：
证明线段和差关系一般用截长补短
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
M
证明：作CM⊥AB于点M.
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
CM = CD，
AC = AC，
∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM（HL）.
∴ AD = AM. 同理， BE = BM.
又 AB=AM +BM， ∴ AB=AD +BE.
课堂小结
QING JING YIN RU
尺规作图
一个点：角平分线上的点
二距离：点到角两边的距离
两相等：两条垂线段(距离)相等
角的
平分线
基本要素
属于基本作图，必须熟练掌握
辅助线
过角平分线上一点向两边作垂线段
当堂练习
QING JING YIN RU
1.
B
A
M
当堂练习
QING JING YIN RU
4.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
D
A
M
当堂练习
QING JING YIN RU
32.5°
12
当堂练习
QING JING YIN RU
8. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
当堂练习
QING JING YIN RU
9.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D.
求证：(1)∠ECD=∠EDC； (2)OC=OD.
证明 (1)∵ 点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC.
∴ ∠ECD=∠EDC.
∴ △EDC 是个等腰三角形.
(2)在Rt△OED和Rt△OEC中，
OE= OE，
ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
当堂练习
QING JING YIN RU
10.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14.
(1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)；
A
B
C
P
D
(2) 求△PDB 的周长.
∴ AB · PD = 7m.
解：由角平分线的性质，可知 PD = PC = m，
=
解：由题意可证 △ACP≌△ADP，
∴ AC = AD.

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