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人教版 八年级上册
14.3（第2课时）
第十四章 全等三角形
角的平分线的判定
复习回顾
FU XI HUI GU
角的平分线的性质
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
证明线段相等.
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
定理的作用：
复习回顾
FU XI HUI GU
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
思考
利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？
思考
你能写出已知和求证分别是什么吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
复习回顾
FU XI HUI GU
角的平分线的判定
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角的平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
　
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；
判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的
平分线上．
角的平分线的性质与判定定理有何关系？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
归纳总结
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部，
这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
┐
A
A
B
B
C
C
A
B
C
画出三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
分析：AD是∠BAC的平分线.
（角的平分线的判定）
DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF.
（三角形全等的判定）
Rt△DEB≌Rt△DFC.
（直角三角形全等”HL“）
BE=CF，DB=DC.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，
且OF=OD=OE.
（角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
（角的平分线的性质）
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA.
（三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
证明：∵OF=OD=OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.
面积如何求？与角的平分线有何联系？
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO.
解：∵OA,OB,OC为三条角平分线，
∴点O到AB,AC,BC的距离相等为r，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= ·AB·r： ·BC·r： ·AC·r
=4:5:6.
M
N
H
┐
┐
┐
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
在∠AOB的平分线上
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A
解：到∠AOB两边距离相等的点在∠AOB的平分线上
由网格可知，∠AOB的平分线为射线l，
而点M在射线l上，故选A.
l
看到角的平分线就要想其性质
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
解：如图，作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，
在Rt△PDC和Rt△PEC中，
PD＝PE，
PC＝PC，
∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC(HL)，
∴CD＝CE.同理可证BD＝BF.
∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.
将三角形面积的表达式写出来再思考
如图，在△ABC中，请证明：
(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴S△ABD∶S△ACD＝（ AB DE）∶（ AC DF）
＝AB∶AC.
这是三角形的角平分线的又一重要性质，请牢记！
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
和第（1）问的条件与结论互换，你还会证明吗？
如图，在△ABC中，请证明：
(2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
则AD为∠BAC 的平分线．
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.

∴ （ AB DE）∶（ AC DF） ＝AB∶AC，
在图中作出来
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.
求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
┐
┐
∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
┐
A
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
解：如图所示，即为所求.
课堂小结
QING JING YIN RU
内容
角的平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
结论
判断一个点是否在角的平分线上
作用
三角形的角平分线相交于内部一点，
该点到三角形三边的距离相等
根据轨迹识别尺规作图：角的平分线
和
当堂练习
QING JING YIN RU
B
B
当堂练习
QING JING YIN RU
3.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；
②点P在∠BCE的平分线上；
③点P在∠BAC的平分线上.
其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
当堂练习
QING JING YIN RU
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.
∵E是BC的中点， ∴EC=EB.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
4.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
E
D
┌
┌
F
┌
当堂练习
QING JING YIN RU
5.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，点 P 在 AD 上，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，
∴ 点 D 在∠EPF 的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵ PE∥AB，PF∥AC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴ AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
当堂练习
QING JING YIN RU
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中，
∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
当堂练习
QING JING YIN RU
7. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵ OD 平分∠POQ，
∴∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 与△BOD 中，
OA = OB，
∠AOD =∠BOD，
OD = OD，
∴△AOD≌△BOD (SAS).
又∵ CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N，
∴ CM = CN.
∴∠ADO =∠BDO.

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