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(共24张PPT)
积的乘方教学课件
2025
年 级：七年级 学 科：数学（北师版）
目 录
积的乘方概念引入
积的乘方公式推导
积的乘方应用实例
积的乘方练习与巩固
积的乘方常见错误分析
积的乘方的拓展学习
01
02
03
04
05
06
积的乘方的实践应用
07
复习提问
1.同底数幂的乘法：
am · an= （m，n 都是正整数）
2.幂的乘方
(am )n= （m，n 都是正整数）
am+n
amn
积的乘方概念引入
Part.
01
新课引入
地球可以近似地看成球体，地球的半径约为 6×103 km，它的体积大约是多少立方千米
球的体积公式是V= πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。
等于多少呢
这个式子有什么特点
底数为两个因式相乘，积的形式。
思考
（1） (3×5)4 = 3 ( ) · 5 ( )；
（2） (3×5)m = 3 ( ) · 5 ( )。
（1） (3×5)4 =(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)
= 34×54
4
4
= (3×3×3×3)×(5×5×5×5)
乘方的意义
乘法交换律
乘法结合律
同底数幂的乘法法则
思考
（1） (3×5)4 = 3 ( ) · 5 ( )；
（2） (3×5)m = 3 ( ) · 5 ( )。
4
4
= 3m×5m
m
m
（2） (3×5)m = (3×5)×(3×5)×…×(3×5)
m 个 (3×5)
m 个 5
= (3×3×…×3)×(5×5×…×5)
m 个 3
两个数的积的乘方,与这两个数各自的乘方的积相等。
积的乘方公式推导
Part.
02
公式推导
【猜想】 (ab)n=_______（n为正整数）。
anbn
(ab)n = (ab) · (ab) · … · (ab)
= (a · a · … · a)· ( b · b · … · b)
= anbn
n 个 ab
n 个 a
n 个 b
积的乘方等于_______________________。
每个因式分别乘方后的积
公式推导的步骤
积的乘方公式推导主要基于幂运算的基本性质。首先，将多个数相乘的结果表示为一个积，然后对这个积进行幂运算。将积的乘方转化为每个因数分别进行幂运算，再将结果相乘。这一过程不仅验证了积的乘方公式的正确性，也为其应用提供了理论基础。
公式的形式化表达
积的乘方公式可以形式化地表示为：(ab)n = an bn，其中a和b为任意实数，n为正整数。这一公式表明，积的乘方等于各因数分别乘方后的积。通过这一公式，可以将复杂的乘法运算转化为简单的幂运算，从而提高计算效率，减少计算错误。
积的乘方公式的基本形式
积的乘方应用实例
Part.
03
例4 计算：
解：（1） (3x)2 = 32x2 = 9x2；
（2） (– 2b)5 = (– 2)5b5 = – 32b5；
（3） (– 2xy)4 = (– 2)4x4y4 = 16x4y4；
（4） (3a2)n = 3n(a2)n = 3na2n 。
（1） (3x)2； （2） (– 2b) 5；
（3） (– 2xy)4； （4） (3a2)n 。
在实际问题中，积的乘方常用于计算面积和体积。例如，计算长方体的体积时，可以将长、宽、高相乘，再进行幂运算。通过积的乘方公式，可以将这一过程简化为各边长分别乘方后再相乘，从而快速得到结果。这种方法不仅提高了计算效率，也减少了计算错误的可能性。
计算面积和体积
积的乘方在实际问题中的应用
积的乘方在解决增长率问题时也具有重要作用。例如，计算复利时，需要将本金和利率相乘，再进行幂运算。通过积的乘方公式，可以将这一过程转化为本金和利率分别乘方后再相乘，从而快速得到复利结果。这种方法在金融领域具有广泛的应用价值。
解决增长率问题
积的乘方在实际问题中的应用
积的乘方练习与巩固
Part.
04
练一练
1.计算（3m3）2的结果是
2.计算（m3n)2的结果是
3.计算（-4ab2c3)3
积的乘方常见错误分析
Part.
05
混淆积的乘方与幂的乘方
在积的乘方计算中，常常会混淆积的乘方与幂的乘方。积的乘方是指多个数相乘后的结果再进行幂运算，而幂的乘方则是指一个幂再进行幂运算。这两种运算虽然都涉及幂运算，但计算方法和结果截然不同。
积的乘方计算中的常见错误
忽略括号的影响
另一个常见的错误是忽略括号的影响。在积的乘方计算中，括号决定了运算的顺序和范围。如果忽略了括号，可能会导致计算结果错误。例如，计算(2×3)2时，正确的结果应该是36，而如果忽略了括号，直接计算2×32，结果就会变成18。因此，学生需要特别注意括号的作用，确保计算的准确性。
积的乘方计算中的常见错误
积的乘方的拓展学习
Part.
06
拓展
想一想:三个或三个以上的因数的积的乘方等于什么
(abc)n = anbncn（n 是正整数）
幂运算是一种特殊的乘法运算，表示相同因数的连乘。在数学中，幂运算由底数和指数组成，底数是相乘的数，指数是相乘的次数。积的乘方则是指多个数相乘后的结果再进行幂运算，它是幂运算的一种扩展形式，能够简化复杂的乘法运算过程。
幂运算的基本概念
积的乘方指的是将多个数相乘得到的积，再进行幂运算的过程。这一过程可以转化为每个因数分别进行幂运算，然后再将结果相乘。这种转化不仅简化了计算步骤，还使得复杂的乘法运算变得更加直观和易于理解。积的乘方在解决实际问题时具有重要的应用价值。
积的乘方的定义
积的乘方与幂的关系
积的乘方的实践应用
Part.
07
在物理问题中，积的乘方常用于计算力、能量、速度等物理量。例如，计算物体的动能时，需要将质量与速度的平方相乘，再进行幂运算。通过积的乘方公式，可以将这一过程简化为质量和速度分别乘方后再相乘，从而快速得到结果。这种方法在物理计算中具有重要的应用价值。
物理问题中的应用
在化学问题中，积的乘方也发挥着重要作用。例如，计算化学反应的速率时，需要将反应物的浓度相乘，再进行幂运算。通过积的乘方公式，可以将这一过程转化为各反应物浓度分别乘方后再相乘，从而快速得到反应速率。这种方法在化学计算中具有广泛的应用价值。
化学问题中的应用
积的乘方在科学计算中的应用

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