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第六章 一次函数
4　一次函数的应用
第1课时　确定函数表达式
1.了解一个条件确定一个正比例函数，两个条件确定一个一次函数。
2.会用待定系数法求出一次函数和正比例函数表达式。
学习目标
1.什么是正比例函数？什么是一次函数
2.一次函数的图象是什么
3.一次函数具有什么性质
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
V/(米/秒)
t/秒
O
[任务一 探究正比例函数表达式的确定]
做一做吧
（1）v=t．
（2）当t＝3时，v= ×3=．
所以下滑3秒时物体的速度是m/s．
想一想
1.通过上面的例题，确定正比例函数的表达式,
就是要确定哪个值？
k(自变量的系数)
2.需要 (原点除外)几个点坐标呢？
1个
1.如图，直线l是一次函数的图象，求它的表达式.
解：因为图象过原点（0,0）和点（-1,3），
所以可设此函数表达式为y=kx .
将（-1,3）代入，可得3=-k，即k=-3.
所以函数的表达式为y=-3x.
典例精讲
总结
若直线过原点，则该直线是正比例函数图象，可设该函数表达式为y=kx，只要确定直线上一点的坐标，将其代入表达式，即可求得k值，从而得到函数表达式.
1．在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　）
A． B．2 C．6 D．8
2．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　）
A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣2x D．
3．已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），
则这个正比例函数的表达式是 　 　．
即时测评
B
A
y=﹣x
4．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，27）．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若这个图象还经过点A（a，1），求点A的坐标．
解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，图象经过点（﹣3，27）．
∴27＝﹣3k．解得k＝﹣9，
∴正比例函数解析式为：y＝﹣9x；
（2）正比例函数y＝﹣9x图象还经过点A（a，1），
∴1＝﹣9a，
∴a=﹣，
∴A（﹣，1）．
活动2：阅读下面问题并解答。
在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数,某弹簧不挂物体时长时14.5cm，当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式,并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
[任务二 探究一次函数表达式的确定]
解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意知当x＝0时，y＝14.5；
∴b=14.5，
当x＝3时，y＝16，
∴3k+b=16，
∴得出k＝0.5，
∴y＝0.5x+14.5．
（2）当x＝4时，y＝0.5×4+14.5=16.5．
即当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为16.5厘米．
追问1：每挂物体的质量为1kg时，弹簧伸长多少cm？
挂物体的质量为3kg时,弹簧伸长了16-14.5=1.5cm，说明每挂物体的质量为1kg时，弹簧伸长0.5cm。
追问2：你还有其他方法求出出y与x之间的关系式吗？
根据题意可得：弹簧长度=不挂物体时的长度+挂xkg物体伸长的长度，即y＝0.5x+14.5。
(1) 设：设一次函数的一般形式 ；
(2) 列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式；
(3) 解：解方程得 k，b；
(4) 写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式.
y = kx + b (k ≠ 0)
总结：待定系数法求一次函数解析式的步骤：
典例精析
例2如图，已知点A的坐标为（﹣6，0）、点B的坐标为（0，4）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在直线AB上有一点P，满足点P到x轴的距离等于2，求点P的坐标．
解：（1）由题知，
令直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b，
把（0，4）代入表达式得：b=4,
把（﹣6，0）代入表达式得：-6k+b=0，
所以k＝，
所以直线AB所对应的函数表达式为y＝x+4．
（2）因为点P到x轴的距离等于2，
所以yp＝±2．
将y＝2代入y＝x+4得，x＝﹣3，
则点P坐标为（﹣3，2）．
将y＝﹣2代入y＝x+4得，x＝﹣9，
则点P坐标为（﹣9，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣9，﹣2）．
1．一次函数y＝kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是（　　）
A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣2x﹣4
2．一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），
则k＝　 　．
3．已知一次函数y＝kx+b的图象过点（﹣1，0）和点（0，2），
则该一次函数的解析式是 　 　．
即时测评
C
-6
y=2x+2
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别
为（2，0），（0，4）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，
求点P的坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（0，4）代入y＝kx+b，得b=4，
把A（2，0）代入y＝kx+b，得2k+b=0,
解得k=﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）设P（t，﹣2t+4），
∵△AOP的面积为6，
∴2×|﹣2t+4|＝6，
解得t＝﹣1或t＝5，
∴P点坐标为（﹣1，6）或（5，﹣6）．
1．如图，若直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴正半轴交于点B，且△OAB的面积为6，则该直线的解析式为（　　）
A．y=x+6 B．y＝3x+6 C．y=x+3 D．y=x+3
2．平面直角坐标系第二象限内有一点P，它到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则直线OP的表达式是（　　）
A．y=x B．y=x C．y=x D．y=﹣x
B
B
3．若y+1与x﹣1成正比例，且当x＝4时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为　 　．
4．已知是y关于x的一次函数，则一次函数解析式是
　 　．
y＝2x﹣3
y＝6x﹣2
5.如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象.
求：(1)直线l对应的函数表达式；
(2)当y＝2 时，x的值．
解：（1）由图可知，直线l经过点(－2，0)和点(0，3)，将其坐标分别代入函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，得到－2k＋b＝0，b＝3，解得k＝，则直线l对
应的函数表达式为y＝x＋3.
（2）当y＝2时，有2＝x＋3，解得x＝－．
◆
总结
确定正比例与一次表达式的条件
由于正比例y=kx(k≠0)中，只有一个待定系数K，所以只要一个条件（如一组对应的的值）,就可以求出k的值。
一次函数y=kx+b有两个待定系数k、b，需要两个独立的条件确定关于的方程，求得的值，这两个条件通常是两组对应的 x 、y值。
◆
确定一次函数表达式的方法
基础题:1.课后习题第 2题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第4题，下节课在全班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！

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