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3 探索三角形全等的条件
第2课时 角边角或角角边
【学习目标】
1.经历探索判定三角形全等“角边角”“角角边”条件的过程；
2.掌握并能应用“角边角” “角角边”条件证明两个三角形全等.
3.能用尺规作图：两角及其夹边作三角形.
【自主学习】
预习课本页，思考并完成下列问题.
1.想一想：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有 种可能的情况，每种情况下得到的三角形都全等吗？
2.已学判定三角形全等的方法:
的两个三角形全等.简写成“ ”或“ ”.
【新知探究】
[任务一 探究三角形全等的判定“ASA”]
问题1：如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么这两个三角形全等吗
如图,三角形的两个内角分别是α和β,它们所夹的边为a cm,你能画出这个三角形吗 你画的与同伴的一定全等吗
总结:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA”.
几何语言为在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF（ASA）.
例1 如图,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗 为什么
［即时测评］
1.如图，AC和BD交于点E，∠B＝∠D，BE=DE，ΔABE与ΔCDE全等吗？为什么？
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,试说明：AD=AE.
[任务二 探究“ASA”尺规作图]
例2已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知:线段∠α,∠β,线段c.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
作法:①作∠DAF= ;
②在射线AF上截取线段AB= ;
③以点B为顶点,以BA为一边,作∠ABE= ,BE交AD于点 .
△ABC是所求的三角形.
[即时测评]
1.已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α,且这两内角的夹边等于a.
[任务三 探究三角形全等的判定“AAS”]
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,那么这两个三角形全等吗
如图,三角形的两个内角分别为α和β,一边长为acm,情况会怎样呢
问题：已知两角及一角的对边画三角形时,不容易画,但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时,就可以了.那如何转化呢
总结：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”或“AAS”.
几何语言为在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF（AAS）.
例3如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．
[即时测评]
1.如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？为什么？
2.如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，BE//DF，∠A=∠F，BE=CD. 试说明：AE=FC.
［当堂达标］
1.根据下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　　）
A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF
C.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF D.AB=DE，BC=EF，∠B=∠E
2.如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,
添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（ ）
A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE=CE，AD与CE相交于点F.试说明：△AEF≌△CEB.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC.
(1)试说明：△ABD≌△EDC；
(2)若AB=2，BE=3，求CD的长.
5.如图，已知△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE=CF,那么BD与CD相等吗？
答案
【自主学习】
1.两，全等；
2.三边分别相等，边边边，SSS
[任务一 探究三角形全等的判定“ASA”]
例1解：△AOC与△BOD全等，理由如下：
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA）．
［即时测评］
1.解：在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（ASA）
[任务二 探究“ASA”尺规作图]
例2作法:①作∠DAF=∠α;
②在射线AF上截取线段AB=c;
③以点B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β,BE交AD于点C.
△ABC是所求的三角形.
[即时测评]
1.解：如图，
三角形ABC即为所求．
[任务三 探究三角形全等的判定“AAS”]
问题：因为三角形的内角和为180°,已知两个内角,那么第三个内角就可以求出,这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”了.如图：
例3证明：
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠D＝∠DOC，∠A＝∠DOC，
∴∠A＝∠D，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
[即时测评]
1.解：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
2.解：因为BE // DF，
所以∠ABE = ∠D，
在△ABE 和 △FDC 中，
所以△ABE ≌ △FDC（AAS）
所以AE = FC .
【当堂达标】
1.D 2.B
3.证明 : 因为 ⊥，
所以
因为
所以
所以 ，
所以
在△和△中，
所以
4.
解析 (1)证明：∵ AB∥CD
∵ 在△ABD和△EDC中，
∴△ABD≌△EDC(AAS).
(2)因为△ABD≌△EDC，所以DE=AB=2，CD=BD，所以CD=BD=DE+BE=2+3=5.
5.解：BD＝CD．
理由：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BD＝CD．

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