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八年级人教版数学上册 第十五章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际题．
（难点）
学习目标
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
情景导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？
可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，如果把线段AB沿着直线l对折，线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B…都是重合的，因此它们也分别相等.
1.线段垂直平分线的性质
新知探究
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？
证明：∵直线l垂直平分线段AB,
∴AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°.
在△P1AO和△P1BO中，
AO=BO
∠P1OA=∠P1OB，
P1O=P1O，
∴△P1AO≌△P1BO（SAS）.
∴P1A=P1B.
新知探究
1.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
l
┐
O
P
符号语言：
∵直线l⊥AB，AO=BO，
∴PA=PB.
线段的垂直平分线的性质：
概念归纳
例1.如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长.
典例剖析
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
解：∵ DE为BC的垂直平分线，
∴ CD＝BD.
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝8 cm.
∵ AB＝5 cm，∴ AC＝3 cm.
1. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9 cm
B. 7.8 cm
C. 3.2 cm
D. 4.6 cm
B
练一练
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵l⊥AB，
∴∠POA=∠POB=90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，
PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL)
∴AO=BO.
∵∠POA=∠POB=90°，
∴P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
l
┐
O
你能得出什么结论呢？
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
2.线段垂直平分线的判定
新知探究
思 考:
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什 么关系 你还学习过其他具有类似关系的命题吗
命题1：
线段垂直平分线上的点
与这条线段两个端点的距离相等
命题2：
与线段两个端点距离相等的点.
在线段的垂直平分线上
思考：原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？请举出一些反例.
【归纳】题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上 面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立， 它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
新知讲解
【归纳】如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
如：上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
互为逆定理
【小结】(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
例2.如图AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
典例剖析
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
∵ AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS). ∴ DE＝DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
证明：如图连接DE，DF.
例2.如图AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
2. 如图，AB＝AD，BC＝DC，点E是AC上一点. 求证：
练一练
(1)BE＝DE；
证明：连接BD.∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
又∵BC＝DC，∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线．
∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.
(2)∠ABE＝∠ADE.
解：易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE.
　解：∵　AD⊥BC，BD =DC，
∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC．
1.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
∵　点C 在AE 的垂直平分线上，∴　AC =CE．
　∴　AB =AC =CE．
∵　AB =CE，BD =DC，
∴　AB +BD =CD +CE．
即　AB +BD =DE ．
课本练习
解：∵　AB =AC，
∴　点A 在BC 的垂直平分线上．
∵　MB =MC，
∵　点M 在BC 的垂直平分线上，
∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
2.如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
课本练习
3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
课本练习
解：(1)逆命题为“同位角相等，两直线平行”，成立．
(2)逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，不成立．
(3)逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，不成立．
1. 如图，在四边形 PABC 中， PD 垂直平分 AB ， PE 垂直平分 BC ，若 PA 的长为7，则 PC 的长为(　C　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
(第2题)
C
分层练习-基础
2. 三条公路将 A ， B ， C 三个村庄连成一个如图所示的三角
形区域，如果在这个区域附近修建一个公园，要使公园到
三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△
ABC 的(　B　)
B
A. 三条高线的交点
B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中线的交点
3. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E ，连接 CE . 求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
【证明】∵ DE ⊥ AB ，∴∠ AED ＝90°＝∠ ACB .
又∵ AD 平分∠ BAC ，
∴∠ DAE ＝∠ DAC ， DE ＝ CD .
又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD ，
∴ AE ＝ AC .
∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
4. 如图，已知线段 AB ，分别以点 A ， B 为圆心，5为半径
作弧相交于点 C ， D . 连接 CD ，点 E 在 CD 上(与点 C ，
D 不重合)，连接 CA ， CB ， EA ， EB . 若△ ABC 与
△ ABE 的周长之差为4，则 AE 的长为(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
分层练习-巩固
5. 如图，线段 AB ， BC 的垂直平分线 l1， l2相交于点 O . 若
∠ OEB ＝46°，则∠ AOC ＝(　B　)
A. 92° B. 88°
C. 46° D. 86°
(第9题)
B
6. 如图，已知△ ABC 中 BC 边的垂直平分线与 BC 交于点 D ，与∠ BAC 的平分线交于点 E ， EF ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 F ， EG ⊥ AC 于点 G .
(1)求证： BF ＝ CG ；
【证明】如图，连接 BE 和 CE .
∵ DE 所在直线是 BC 的垂直平分线，∴ BE ＝ CE .
∵ AE 平分∠ BAC ， EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，
∴∠ BFE ＝∠ EGC ＝90°， EF ＝ EG .
在Rt△ BFE 和Rt△ CGE 中，
∴Rt△ BFE ≌Rt△ CGE (HL)，∴ BF ＝ CG .
(2)若 AB ＝6， AC ＝8，求 AF 的长度.
【解】由题意知∠ AFE ＝∠ AGE ＝90°，
∠ FAE ＝∠ GAE . 在△ AFE 和△ AGE 中，
∴△ AFE ≌△ AGE (AAS)，
∴ AF ＝ AG . ∵ BF ＝ CG ，
∴ AB ＋ AC ＝ AF － BF ＋ AG ＋ CG ＝2 AF .
∵ AB ＝6， AC ＝8，∴ AF ＝7.
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
课堂小结
互逆命题
逆定理

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