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2 简单的轴对称图形
第2课时　角平分线的性质
[学习目标]
1．探索角的轴对称性及其相关性质．
2．会用尺规作角的平分线．
3、能运用角平分线的性质解决实际问题.
[新知探究]
[任务一 探究角平分线的性质]
活动1：按以下步骤折纸:如图,
(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB,沿角的两边剪下,将这个角对折,使角的两边重合.
(2)在折痕(即角平分线)上任意找一点C.
(3)过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中点D是折痕与OA的交点,即垂足.
(4)将纸打开,新的折痕与OB边交点为E.
问题1:角是轴对称图形吗
活动2：如图， OP是∠A0B的平分核，点C是OP上的任意一点、在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和，连接CD和C.
（1）你认为线段CD与C之间有什么关系？说说你的理由.
（2）若改变点D的位置，按照操作，你认为线段CD和C之间有什么关系系？
（3）特别地，当CD⊥0A时（如图2-20）.C与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和C之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到一个什么结论？
总结归纳：角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的 相等.
几何语言:如图,点P是∠AOB平分线上的任意一点,且PN⊥OB于N,PM⊥OA于M,则PM=PN.
问题：你能用你学过的知识解释它吗？
例1（2024 青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
[即时测评]
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABC的面积为（　　）
A．13 B．19 C．20 D．26
3．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是 　 　．
4．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
[任务二 探究角平分线的尺规作图]
例2 利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.
思考：（1）为什么要以大于线段DE的长为半径画弧？
（2）若连接 CE、CD后你发现了什么？
（3）改变条件，使CE⊥OB,CD⊥OA，你能画出符合题意的图形吗？
[即时测评]
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若CD＝4，AB＝10，则△ABD的面积是（　　）
A．40 B．22 C．20 D．10
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 　 　．
[当堂达标]
1．如图，点P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，若点N到∠AOB的两边距离相等，且PN＝NQ，则点N一定是（ ）．
A．∠AOB的平分线与PQ的交点
B．∠OPQ与∠OQP的角平分线的交点
C．∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点
D．线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点
2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是　 　．
4.如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 　　．
5．如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P, 使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN,有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请说明理由，并通过作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹.
答案：
[任务一 探究角平分线的性质]
问题1 角是轴对称图形
活动2：（1）CD=C
（2）CD=C
（3）C⊥OB CD=C
总结归纳：距离
问题：解：因为OP平分∠AOB，
所以∠AOP =∠BOP．
又PN⊥OB,PM⊥OA，
所以∠OMP =∠ONP,
所以 △OMP ≌△ONP（AAS）．
所以 PM =PN．
例1 C
[即时测评]
1．D
2．A
3．2
4．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB×DEAC×DF，
∴S△ABC（AB+AC）×DE，
即（16+12）×DE＝28，
解得DE＝2（cm）．
[任务二 探究角平分线的尺规作图]
例2作法:如图,
（1）在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;
(2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C;
(3)作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线.
思考：（1）大于线段DE的长为半径画弧，两弧有交点；
（3）连接 CE、CD后你发现CE=CD;
（3）如图：
[即时测评]
1．C
2．120°
[当堂达标]
1．C．
2．A
3．3
4.3
5．答：这位同学说的对，理由如下：
因为角平分线上的点到这个角两边的距离相等，而线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以只要作出∠BAC的平分线，再作出线段MN的垂直平分线，两条直线的交点P就是茶水供应点的位置．

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