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4 实数
第1课时 实数及其性质
[学习目标]
1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类.
2.了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义.
3.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数.
[新知探究]
[任务一 探究实数的概念及分类]
活动1 按要求完成下列各题.
把下列各数分别填入相应的集合内:
,,,π,-,,,-,-,,0,0.373 773 777 3……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)
教师：有理数和无理数统称为实数.
问题1：从实数的概念考虑，实数如何分类？
总结：实数
问题2：无理数和有理数一样,也有正负之分.从符号考虑，你能把上面的数填入相应的集合内吗？
思考：0属于正数吗？0属于负数吗？
问题3：从实数的符号考虑，实数如何分类？
总结：实数
例1将下列各数填入相应的集合中：
﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π
有理数集合：{ 　　……}；
无理数集合：{ 　　……}；
整数集合：{ 　　……}；
分数集合：{ 　　……}．
[即时测评]
1．在实数，0，﹣0.3，3.1415926，4，﹣2022，π中，有理数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列各数中，是负数的是（　　）
A． B．0 C．0.2 D．
3．已知下列实数：
①0，②，③，④，⑤3.2，⑥．（只需填写序号）
其中整数有：　 　，分数有：　 　，无理数有：　 　．
4．把下列各数的序号填在相应的大括号中：
①﹣9；②3.5；③：④，⑤；⑥0.1010010001…（两个1之间的0逐次增加）；⑦．
（1）整数集合：{　 　…}；
（2）分数集合：{　 　…}；
（3）有理数集合：{　 　…}；
（4）无理数集合：{　 　…}．
[任务二 探究实数的性质及运算]
活动2：思考回答下列问题.
问题1：在有理数中,数a的相反数是什么 绝对值是什么 当a不为0时,它的倒数是什么？
问题2：的相反数是什么 的倒数是什么 ,0,-π的绝对值分别是什么
问题3：3-π的绝对值是　　　　.
问题4：a是一个实数,它的相反数是　　　　,它的绝对值是　　　　,当a≠0时,它的倒数是　　　　.
总结：
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0;
(2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数);
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
即|a|=
例2 说出下列各式计算的依据.
（1）
（2）
（3）
（4）（10）－10＝（10－10）＝0＝
[即时测评]
1．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．﹣3与 B．﹣3与
C．﹣3与 D．3与|﹣3|
2．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一个数的绝对值是，则这个数是（　　）
A． B． C．3 D．
4．的平方根是 　 　，的相反数为 　 　，的绝对值为 　 　．
5．的绝对值是 　 　，相反数是 　 　，倒数是 　 　．
6．已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值．
[任务三 探究实数与数轴的关系]
活动3：解答下列各题.
问题1：如图,OA=OB,数轴上A点对应的数是什么 它介于哪两个整数之间
问题2：你能在数轴上找到对应的点吗 与同伴交流.
问题3：实数在数轴上，右边点表示的数与左边的点表示的数哪个大？
总结：全体实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数大.
例3实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|c﹣b|+|c﹣a|﹣2|a|的值．
[即时测评]
1．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（　　）
A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点
2．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 　 　．
3．A，B为数轴上两点，点A表示的数为1，点B到点A的距离是，则点B表示的数为 　 　．
4．已知三个实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示．
（1）判断正负：
a﹣b　 　0，c﹣a　 　0，c+b　 　0，a+b　 　0．
（2）根据（1）中的判断化简：|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|．
[当堂达标]
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A.-1.732 B. 1,414 C. D.3.14
2．已知一个数a的绝对值是，则（　　）
A． B． C．或 D．或
3．的相反数是 　 　.的倒数是 　 　，||＝　 　．
4．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点E在数轴上，且在点A的左侧，AD＝AE，则点E表示的数是 　 　．
5.把下列各数填在相应的括号内：
∣-∣；；；π；0.；﹣；；3；0.13。
有理数集合{ }
无理数集合{ }
整数集合 { }
分数集合{ }
实数集合{ }
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
化简M。
答案：
[任务一 探究实数的概念及分类]
活动1 ：
教师：有理数和无理数统称为实数.
问题1：从实数的概念考虑，实数如何分类？
总结：实数
问题2：无理数和有理数一样,也有正负之分.从符号考虑，你能把上面的数填入相应的集合内吗？
思考： 0既不是正数，也不是负数
问题3：从实数的符号考虑，实数如何分类？
总结：实数
例1解：在﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π中，
有理数有：﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，+10%；
无理数有：4.020020002…，﹣2π；
整数有：﹣7，0，+9；
分数有：﹣22，﹣2.55555……，3.01，+10%．
[即时测评]
1．D
2．A
3．其中整数有：　①③　，分数有：　⑤⑥　，无理数有：　②④　．
4．解：（1）整数集合：{①⑦}；
（2）分数集合：{②}；
（3）有理数集合：{①②⑦}；
（4）故无理数集合{③④⑤⑥}．
[任务二 探究实数的性质及运算]
活动2：
问题1：数a的相反数是-a，绝对值是∣a∣,当a不为0时,它的倒数是。
问题2：的相反数是-的倒数是；,0,-π的绝对值分别是,0,π。
问题3：π-3。
问题4：-a，∣a∣，。
总结：
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0;
(2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数);
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
即|a|=
例2
解：（1）乘法交换律
（2）乘法结合律
（3）合并同类根式
（4）去括号及加法结合律
[即时测评]
1．A
2．A
3．D
4．，，2．
5.，，．
6．解：由题意可得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，
（1）原式122；
（2）原式122，
综上所述：原式的值为或．
[任务三 探究实数与数轴的关系]
活动3：解答下列各题.
问题1：根据勾股定理，OB=＝，因为OA=OB，所以OA＝，它介于1和2两个整数之间.
问题2：（1）如图，在数轴上取OA=2；
（2）过点A作 AB⊥OA且AB=1；
（3）根据勾股定理，得
OB== = ；
（4） 以点O为圆心，以OB为半径画弧，交x轴与点C，
则点C对应的点是 。
问题3：实数在数轴上，右边点表示的数比左边的点表示的数大。
例3解：由数轴得c﹣b＞0，c﹣a＞0，a＜0，
原式＝c﹣b+c﹣a+2a＝2c﹣b+a.
[即时测评]
1．D
2．
3．1或1．
4．解：（1）＜，＞，＞，＜；
（2）|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|
＝﹣（a﹣b）+（c﹣a）﹣（c+b）﹣[﹣（a+b）]
＝﹣a+b+c﹣a﹣c﹣b+a+b
＝﹣a+b．
[当堂达标]
1.C
2．C
3．，，2
4．
5.有理数集合{∣-∣；；0.；﹣；3；0.13...... }
无理数集合{ ；π；；...... }
整数集合 { ∣-∣；；3；...... }
分数集合{ ﹣；...... }
实数集合{ ∣-∣；；；π；0.；﹣；；3；0.13...... }
6解：由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，
∴
＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b）
＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b
＝2a﹣b。

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