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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小
新课导入
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，形象地展现了庐山的雄奇壮丽，生活中这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等关系.
学习目标
1.通过具体情境，体会在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．
2.了解不等式（组）的实际背景．
3.初步会用作差法比较两个数或代数式的大小．
新知学习 探究
一 不等关系与不等式
在日常生活中，我们经常看到下列标志：
思考1．其含义分别是什么？
思考2．能用不等式表示上述关系吗？
【答案】思考1 提示:题图1装载高度 不得超过;题图2限制行驶速度 不得低于;题图3装载总质量 不得超过.
思考2 提示:题图1：;题图2：;题图.
［知识梳理］
1.不等式关系
用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言
［例1］ 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.
【解】 设购买 型汽车 辆，型汽车 辆，
根据题意可得
用不等式（组）表示不等式关系的步骤
（1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语.
（2）适当的设未知数表示变量.
（3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）.
［跟踪训练1］．一个盒子中红、白、黑三种球的数量分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来.
解：由黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的，所以，
又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以，且由题意知球的个数应为正整数，
故满足题意的不等关系为
二 实数（式）的大小比较
思考．我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示 设，是两个不相等的实数，它们在数轴上所对应的点分别是，，
那么当点在点的左边时，；当点在点的右边时，.
［知识梳理］
基本事实
文字表示 符号表示
如果是正数，那么①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _
如果等于0，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _
如果是负数，那么⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ；
［
例2 ］ （对接教材例1）
（1） 比较与的大小.
（2） 已知，都是正实数，比较与的大小．
【答案】
（1） 【解】，
故.
（2）
，
因为，，故，，
当 时，，
即；
当 时，，
即.
作差法比较大小的步骤
注意上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差与0的大小”是目的，“变形”是关键.变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，设，，比较与的大小.
（2） 设，,,比较与的大小.
【答案】
（1） 解：因为
，
所以．
（2） 解：，
因为，所以，
又因为，
当且仅当，
即 时等号成立，
又，所以，
所以，所以.
三 重要不等式
如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图2的形式.设直角三角形的两条直角边的长为，，那么正方形的边长为.
思考1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？
思考2．当中间的四边形缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？
【答案】思考1 提示：正方形 的面积.
思考2 提示：.
［知识梳理］
一般地，,，有①_ _ _ _ ,当且仅当②_ _ _ _ _ _ 时，等号成立.
【答案】；
［例3］ 已知，求证：.
【证明】 方法一：利用.因为,
所以,当且仅当 时，等号成立.
方法二：因为，所以.
在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质.
［跟踪训练3］．已知，求证：.
证明：因为，，，所以，所以，
即.
因为，所以，
所以，即，当且仅当 时，等号成立.
课堂巩固 自测
1．若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. ,大小不确定
【答案】B
【解析】选.
，
所以.
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 某人月收入（单位：元）不高于2 000元可表示为“”
B. 小明的体重为，小华的体重为，则小明比小华重表示为“”
C. 某变量至少为可表示为“”
D. 某变量不超过可表示为“”
【答案】BCD
【解析】选.某人月收入（单位：元）不高于2 000元可表示为“”，故 错误；
小明的体重为，小华的体重为，则小明比小华重表示为“”，故 正确；
某变量 至少为 可表示为“”，故 正确；某变量 不超过 可表示为“”，故 正确.
3．（教材（3）改编）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，若以后平均每天至少加工个零件，才能在规定的时间内超额完成任务.则此问题应满足的不等关系式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】该车工3天后平均每天加工 个零件，则加工 天共加工 个零件，
15天里共加工 个零件，则．
故不等关系表示为．
4．（教材P43T3改编）已知,，比较与的大小．
解：
，
因为，
所以，，
当 时，，即，
当 时，，即，
当 时，，即.
课堂小结
.已学习：不等关系与不等式、作差法比较大小及重要不等式.
2.须贯通：作差法比较大小，本质是差与零的大小比较，如有变量，还需考虑变量取值范围的限制.
3.应注意：实际问题中变量的实际意义.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下面能表示“与的和是非正数”的不等式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为非正数小于等于0，则能表示“与 的和是非正数”的不等式为.
2．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是，人跑开的速度为，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到以外的安全区，导火线的长度（单位：）应满足的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.导火线燃烧的时间为，人在这段时间跑开的路程为．
由题意可得.
3．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，可得，
又，
故得.
4．已知四个实数,,,.当时，这四个实数中最大的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由，得，则；
，则；
，则，
所以这四个实数中最大的实数是.
5．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.因为，
，
所以，
即，充分性成立.
当 时，即，显然，时成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
6．（多选）下列不等式中恒成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，所以，正确；，当且仅当 时，等号成立，错误；，当且仅当，时，等号成立，错误；，当且仅当 时，等号成立，正确.
7．某商品包装上标有重量克，若用（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】根据题意知该重量与500克作差的绝对值小于等于1，所以含绝对值的不等式表示为.
8．设，且，则_ _ .（填“ ”“ ”“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】，由于，且，
则，故.
9．某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免.
如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元.
【答案】201（答案不唯一，在中任取一个实数作为答案即可）
【解析】设购买的商品的标价为 元，则.使用优惠券1时减免 元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免 元.
由题意，且，解得．
10．（13分）
（1） 已知,，设,，比较与的大小；（5分）
（2） 已知且,比较与的大小.（8分）
【答案】
（1） 解：因为,，
所以，当且仅当 时等号成立，
故.
（2） 因为，当 时，，所以；当，即 时，，所以；当 且，即 或 时，，所以.综上，当 时，；当 时，;当 或 时，.
B 能力提升
11．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.若 最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得；
若 最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得，
综上可得，的取值范围是.
12．已知实数，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以.由，,得,所以，所以,所以.
13．是互异的四个正数，，，中最大的数，且，则_ _ .（填“ ”“ ”“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】因为 是互异的四个正数，，，中最大的数，所以，，又，则，
所以，所以.
14．（13分）用一段长为的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长，仓库平行于墙的一条边长为.
（1） 若仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系；（6分）
（2） 若矩形仓库的长、宽都不能超过，求的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由题可得，
则矩形仓库的另一条边长为，
所以仓库的面积，
故该题中的不等关系可表示为
（2） 因为矩形仓库的长、宽都不能超过，
所以，,
解得.
C 素养拓展
15．（15分）对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序对”.
（1） 对于2，3，7，11，试求的“下位序对”.（5分）
（2） 设，，，均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系．（10分）
【答案】（1） 解：由，可得 的“下位序对”为.
（2） 因为 是 的“下位序对”，
所以，
因为，，，均为正数，
故，
所以，
同理，即，
综上所述，．
第2课时 等式性质与不等式性质
新课导入 学习目标
楼房的采光率有一种简单的计算方法:设楼房的建筑面积为，窗口的面积和为,则楼房的采光率为（其中）.显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好,那么如何用不等式来表示这个事实呢 这就是我们这节课所讲的知识. 1.了解等式的基本性质． 2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题．
新知学习 探究
一 等式的基本性质
思考．解方程的一般步骤是什么？
提示：一是移项，使方程左边只剩含 项，右边是常数项；二是把 的系数变为1.
［知识梳理］
性质1 如果，那么①_ _ _ _ _ _ _ _ ；
性质2 如果，，那么②_ _ _ _ _ _ _ _ ；
性质3 如果，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
性质4 如果，那么④_ _ _ _ _ _ _ _ ；
性质5 如果，，那么⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ； ； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 若，则.（ ）
（2） 若，则.（ ）
（3） 若，则或.（ ）
（4） 若，且，则.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） √
2．利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.
（1） 若,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；
（2） ；
【解析】
（1） 根据等式的性质3，等式两边同时加3，得.再根据等式的性质5，等式两边同时除以2，得.
（2） 根据等式的性质3，等式两边同时减，得.再根据等式的性质5，等式两边同时除以3，得.
3．设，求关于的方程的解集.
解：当 时，方程 无解，此时解集为 ；
当 时，方程 的解为，此时解集为.
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为.
（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性.
（2）性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性,运算中的不变性就是性质.
二 不等式的性质
思考．我们都知道：克糖水中含克糖,再加克糖,全部溶解后,糖水会变得更甜.你能用一个不等式来表示这个现象吗
提示：浓度越大，糖水越甜，即.
［知识梳理］
性质1 如果，那么；如果，那么.即.
性质2 如果，，那么.
即, ①_ _ _ _ _ _ _ _ .
性质3 如果，那么.
由性质3可得 ②_ _ _ _ _ _ _ _ .
性质4 如果，，那么；
如果,，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ .
性质5 如果，，那么④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
性质6 如果，，那么⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
性质7 如果，那么.
【答案】； ； ； ；
［例1］ （多选）如果，,那么下面一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于，取，,,,满足由，,但，故 不一定成立；对于，由,，
得，,
根据不等式的性质有，故 一定成立；对于，因为，,根据不等式的性质有，故 不成立；对于，因为，,根据不等式性质有，故 一定成立.
利用不等式的性质判断不等式是否成立的注意点：
（1）要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意构造性质.
（2）采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值简单，便于验证计算.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）已知，，，均为实数，下列不等关系推导不成立的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若,，则
（2） 已知，，请用恰当的不等号或等号填空：_ _ .
【答案】（1） ABC
（2）
【解析】
（1） 选.对于，若,,则，所以,但 与 的大小关系无法判断，可知 不成立，故 符合题意；
对于，若，则，可知 不成立，故 符合题意；
对于，若，，，则,,可知 不成立，故 符合题意；
对于，若，，则，,，所以，可知 成立，故 不符合题意.
（2） 因为，，则，由不等式的基本性质可得.
三 利用不等式的性质证明不等式
［例2］ 已知，且，求证：.
【证明】 因为，
且，可得，，
所以，
所以，可得，
又因为，
所以，
所以，所以，
因为，由不等式的性质，可得，故．
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
［跟踪训练2］．若，，证明：．
证明：因为，
所以，
又因为，所以，
所以，
则有，
又因为，
所以．
四 利用不等式的性质求代数式的取值范围
［例3］ 已知，，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为，，
所以，，
所以；
因为，所以，
即，
又因为，所以，
即.
母题探究．本例条件不变，证明：.
证明：因为，所以，
又，
所以，，
所以，所以.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
［跟踪训练3］．若，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题知，则，又，所以.
课堂巩固 自测
1．若,,且，则一定是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
【答案】C
【解析】选.因为,，所以,.又因为,所以,则,所以 一定是负数.
2．（多选）（教材P43T8改编）下列命题正确的是 （ ）
A. 若，,则
B. 若,，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】选.对于，若，，则，即 正确；
对于，若,，,，则,,所以，即 错误；
对于，因为，在 时，随 增大而减小，所以，即 正确；
对于，当 时，此命题并不成立，即 错误.
3．（教材P43T5改编）设实数,满足：,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，
所以，
即.
4．已知，，求证：．
证明：因为，要证，只需证明，
展开得，即,
则，
因为 成立，
所以 成立．
课堂小结
1.已学习：等式的基本性质、不等式的性质及其应用.
2.须贯通：不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足.
3.应注意：（1）不等式的性质成立的条件；
（2）不等式的性质是否具有可逆性.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知,都是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.当 时，,无意义，
当 时，由不等式性质可得.所以“”是“”的必要不充分条件.
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，由 移项通分，可得，即，展开移项得,故 一定成立；
对于，，，当 时，由 可得，故，，故，,不一定成立.
3．已知，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，
所以，，，
所以，所以.
4．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 的解集为，所以，且，
所以，
所以，
所以.
5．如果，，满足且，那么下列选项中一定不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.对于，因为 且，则，，必有，故 一定成立；
对于，因为，所以，又由，则有，故 一定成立；
对于，当 时，,当 时，，故 一定不成立；
对于，因为 且，所以，所以，故 一定成立.
6．（多选）已知，下列说法正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.对于，由，，得，所以 正确；
对于，由，得，所以 正确；
对于，由，,得，所以 错误；
对于，由，得，所以 错误.
7．已知，,且，则_ _ .（填“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】由题意知，，则，
又，所以.
8．已知，，为实数，能说明“若，则”为假命题的一组，，的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,（答案不唯一）
【解析】当,,时，，，
此时满足，但是.
9．已知且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，,
所以，.
由 得，
则，解得；
由 得，整理得，
解得；
由 得，
综上可得.
10．（13分）
（1） 已知，，，求证：；（6分）
（2） 已知,.求证： .（7分）
【答案】
（1） 证明：由，，得，
即，
又，所以．
（2） 因为,所以.
所以.
又因为,
所以.
所以 ,
即,
两边同乘以,得 .
B 能力提升
11．实数，，在数轴上对应的点，，如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，由题图可得，，，
所以，，
则，故 错误；
对于，由，，
，得，故 错误；
对于，因为，即，
又，
所以，
又，所以，故 错误；
对于，因为，，且由题图可知，即，
所以，又，所以，故 正确．
12．（多选）下列命题正确的有（ ）
A. 若，且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】选.对于，因为，所以.因为，所以，若使，则，故 正确；
对于，因为，所以，则，，
由不等式性质得到，故 错误；
对于，，
因为，所以,，故，
所以，正确；
对于，，
因为，
所以，，
所以，
即，,，
所以，故，正确.故选.
13．给出下列三个论断：；；且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】若，且，则
【解析】若选择①③作为条件，②作为结论：若，且，则，故选择①③作为条件，②作为结论的命题正确；
若选择①②作为条件，③作为结论：若，，则，故，但 也可能大于0或等于0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；
若选择②③作为条件，①作为结论：若，且，则，故，但 与 大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确.
14．（15分）
（1） 实数,满足，，求，，的取值范围；（7分）
（2） 实数,满足，，求的取值范围．（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得，，
所以，所以；
所以，，
所以；
所以，
所以.
故，，
.
（2） 设，
所以
解得
所以.
因为，
则，
因为，
则，
所以，
即．
C 素养拓展
15．（15分）
（1） 生活经验告诉我们，克糖水中有克糖,,且，若再添加克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式:，趣称之为“糖水不等式”.请证明这个不等式.（6分）
（2） 若，，为的三边长，证明：（9分）
【答案】
（1） 证明：因为,，
所以，
所以.
（2） ,,为 的三边长，则有，，，
由（1）知：，，，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
新课导入
某金店有一架天平，左右两臂长略有不等，直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量和，然后以作为项链的质量来计算，试问：顾客吃亏还是店主吃亏 本节课就让我们一起来探究吧！
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程，掌握基本不等式．
2.能用基本不等式解决简单的最值问题，掌握几种求最值的技巧．
3.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题．
4.能够利用基本不等式解决实际问题．
新知学习 探究
一 基本不等式
思考1．我们已学习了重要不等式：，，有，当且仅当时，等号成立.当，时，用，分别代替重要不等式中的，可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？
提示：，当且仅当 时，等号成立.
思考2．对于思考1的结论，你还有其他证明方法吗？
提示：因为，所以，当且仅当，即 时，等号成立.
［知识梳理］
如果，，那么_ _ _ _ _ _ ,当且仅当时，等号成立.
其中，叫做正数，的算术平均数，叫做正数,的几何平均数.
【答案】
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 若，且，则.（ ）
（2） 不等式与成立的条件是相同的．（ ）
（3） .（ ）
（4） .（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由，得，，则，因此.
3．中等号成立的条件是_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由 及基本不等式得，当且仅当 时，等号成立．
4．正实数，，若与的几何平均数为2，那么与的算术平均数的最小值为_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当，即，时，等号成立.
对基本不等式的理解
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的一端是“和式”，而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决.
二 利用基本不等式求简单的最值问题
［例1］ （对接教材例1、例2）
（1） 若实数，，且，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
（2） 已知，则在_ _ _ _ 时，取得最小值_ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2） 3；6
【解析】
（1） 方法一： , , ,
由基本不等式得，当且仅当 时，等号成立.
方法二： 由，得，即，当且仅当 时，等号成立.
（2） 因为，所以，当且仅当，即 时，等号成立，即在 时，取得最小值6.
（1）利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则求解.
①一正：基本不等式成立的前提条件为,.
②二定：不等式的一边转换为定值.
③三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.
以上三点缺一不可.
（2）两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
常用结论①,当且仅当时，等号成立.
②,,都是正数，当且仅当时，等号成立.
［跟踪训练1］．
（1） 若,都是正数，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2） 已知，则的最大值为_ _ _ _ _ _ ，此时_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2） ；
【解析】
（1） 选.因为,都是正数，则,，
所以，当且仅当，即 时，等号成立.
则 的最小值为3.
（2） 因为,所以，
所以，
当且仅当，即 时，等号成立.
即当 时，取得最大值，最大值为.
三 利用基本不等式证明不等式
［例2］ 设，，均为正数，且，证明：.
【证明】 由，
得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，,,，
当且仅当 时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当 时，等号成立.
利用基本不等式证明不等式的注意点
（1）利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果.
（2）注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
［跟踪训练2］．若，，求证：．
证明：由基本不等式有，当且仅当，即 时，等号成立；
同理，
当且仅当，即 时，等号成立.
故，
即，
当且仅当 时，等号成立.
课堂巩固 自测
1．的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】选.由于，，当且仅当，即 时，等号成立，故最大值为.
2．（多选）（教材P46T2改编）下列不等式正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.对于，当 时，，故 错误；
对于，当 时，，故 错误；
对于，因为，所以，当且仅当 时，等号成立，故 正确；
对于，因为，所以，当且仅当 时等号成立，故 正确.
3．（教材P46T3改编）的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题知，
所以，当且仅当，即 时，等号成立.
4．已知，，，求证：.
证明：由，，得
，
当且仅当，即,时，等号成立.
所以.
课堂小结
1.已学习：（1）基本不等式的推导与证明；（2）求简单代数式的最值；（3）利用基本不等式证明等．
2.须贯通：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小及基本不等式的常见变形．
3.应注意：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】选.因为，根据基本不等式可得，
当且仅当，即 时，等号成立.所以 的最小值为5.
2．已知，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】D
【解析】选.当 时，,所以，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最大值为3.
3．若在处取得最小值，则（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】选.由，得，则，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以当 时，取得最小值2，
因此.
4．如果，那么的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.若，则，则，所以 当且仅当，即 时，等号成立，
所以 的最大值为.
5．已知,且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
【答案】D
【解析】选.,且，则，
当且仅当，即,时，等号成立，
所以当,时，的最小值为8.
6．（多选）已知,，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由,，则，得，当且仅当 时，等号成立，故 恒成立；
由,，取,，则，故 不恒成立；
由于,，在 两边同时加上，得，所以，当且仅当 时，等号成立，故 恒成立；
由于,，在 两边同时加上，得，两边再同时乘，得，即，当且仅当 时，等号成立，故 恒成立.
7．若，,且，则的最大值为_ _ ．
【答案】100
【解析】依题意，,,，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为100.
8．已知正实数，满足，则的最小值为_ _ _ _ ．
【答案】2
【解析】正实数，满足，则，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为2.
9．已知,，,则的最大值为_ _ _ _ ．
【答案】2
【解析】因为,，，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为2.
10．（13分）已知，是互不相等的正数，求证：.
证明：因为，是互不相等的正数，则由基本不等式可得，，
所以，
当且仅当 时，等号成立，
又，所以，得证.
B 能力提升
11．（多选）若，,,则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，，
当且仅当 时，等号成立，故 正确；
对于，，故，当且仅当 时，等号成立，正确；
对于，由 可知，故 错误；
对于，，结合 中的，得，即，当且仅当 时，等号成立，正确.
12．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】}
【解析】由，，当且仅当，即 时，等号成立，
命题“，使得 成立”是真命题，所以，
所以，
所以实数 的取值范围为}.
13．（13分）
（1） 求的最小值；（6分）
（2） 求的最大值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,,，
所以，当且仅当，即 时，等号成立.
所以所求最小值为.
（2） 当 时，，
所以，当且仅当，即 时，等号成立，
所以所求最大值为.
14．（15分）
（1） 已知，，都是正数，求证：；（7分）
（2） 已知正实数,,，且，用综合法证明：.（8分）
【答案】
（1） 证明：因为,,，
所以，，，当且仅当 时，等号成立，
所以,
所以.
（2） 因为，且，
可得，当且仅当 时，等号成立，
同理可得，当且仅当 时，等号成立，，当且仅当 时，等号成立，
三个式子相加，可得，当且仅当 时，等号成立.
C 素养拓展
15．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】选.，，，而,重合时取等号，因此有．
第2课时 基本不等式的应用
新知学习 探究
一 利用基本不等式求最值的常用变形技法
角度1 配凑法求最值
［例1］
（1） 的最大值为（ ）
A. 3 B. C. D.
（2） 的最小值为_ _ _ _ ，此时的值是_ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2） 4；1
【解析】
（1） ，当且仅当，
即 时，等号成立.
（2） 因为,所以，
当且仅当，即 时，等号成立.故所求最小值为4，此时 的值是1.
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
角度2 常数代换法求最值
［例2］
（1） 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
（2） 已知，则的最小值为．
【答案】（1） B
（2） 25
【解析】
（1） 因为，，且，
则，
当且仅当，即当 时，等号成立，故 的最小值为9.
（2） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即 时不等式取等号.
母题探究1．本例（1）中，条件“”变为“”，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为，所以，，，
则，
当且仅当，即当 时，等号成立，故 的最小值为3.
母题探究2．本例（1）中，若，，且，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】由,且
可得，
所以
，
当且仅当，即 时，等号成立.
常数代换法的应用技巧
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
角度3 消元法求最值
［例3］
（1） 已知正实数，满足，则的最大值为_ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知正数，满足，则的最小值为_ _ _ _ ．
【答案】（1）
（2） 3
【解析】
（1） 依题意正实数，满足，，则，，当且仅当，即，时，等号成立．
（2） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
对于含有两个变量或多个变量的问题，从简化问题的角度来思考，消去一个或几个变量，转化为只含有一个变量的代数式，然后再利用基本不等式或函数的观点求解，注意所保留变量的取值范围．
［跟踪训练1］．
（1） 已知,为正实数，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
（2） 已知,，且，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
（3） 已知正数，满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） C
（3）
【解析】
（1） 选.因为,为正实数，所以，当且仅当，即 时，等号成立.故 的最小值为6.
（2） 选.由 得，即，
当且仅当，即，时,等号成立.
（3） 由题知，,
所以，当且仅当，即，时,等号成立.
二 基本不等式的实际应用
［例4］ 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/.
（1） 设此蓄水池的总造价为元，求关于的函数关系式；
（2） 如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考.
【答案】
（1） 【解】长方体蓄水池的底面面积为，
长方体底面的另一条边长为，
故，.
（2） 因为，故由基本不等式得
，
当且仅当，即 时，等号成立，此时，
故当蓄水池的高为，底面长宽分别为 和 时，总造价最低.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
［跟踪训练2］．
（1） 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加入药品后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则池水中药品的浓度达到最大需经过（ ）
A. B. C. D.
（2） 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，则该新生产线年平均利润最大为万元．
【答案】（1） B
（2） 30
【解析】
（1） 选.由题知，故，当且仅当，即 时，等号成立，因此经过 池水中药品的浓度达到最大．
（2） 由题意年平均利润为，
当且仅当，即 时，等号成立.
拓视野 基本不等式链
若实数，，则有，当且仅当时取等号．其中，叫做正实数，的调和平均数，叫做正实数，的几何平均数，叫做正实数，的算术平均数，叫做正实数，的平方平均数．
证明：若实数，.
（1），所以即证，即证，即证，即证，显然上式成立．所以（当且仅当 时取等号）.
（2）由基本不等式得，成立（当且仅当 时取等号）.
（3）要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，显然上式成立．
所以（当且仅当 时取等号）.
综上可得，若实数，，
则有 成立，
当且仅当 时取等号．
［典例］ （多选）若，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由基本不等式链:,
可得.
对于，，可变形为
，
即，即，
从而，
当且仅当 时，，
当且仅当 时，，所以 错误，正确；
对于，由 可变形为，解得，当且仅当 时取等号，所以 正确；
对于，当,时，满足，，所以 错误.
基本不等式链丰富了基本不等式的内涵，实现了正实数，的倒数和、乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当.
［练习1］．若正实数,满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，，,
所以，
即，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为.
［练习2］．已知,,,都是正实数，且，,则与的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当 时，等号成立．而，所以，当且仅当 时，等号成立．所以．
课堂巩固 自测
1．已知，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 10
【答案】B
【解析】选.因为，所以，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值为9.
2．已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】选.因为正数，满足，所以 解得，
故，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最大值为.
3．某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨.若每次的运费为5 000元，一年的储存费用为元，则每次购买吨原材料，总费用（运费和储存费之和）最低，且最低的总费用为万元.
【答案】10； 10
【解析】由题意可得总费用为，，
所以，
当且仅当，即 时，等号成立.即每次购买10吨原材料，总费用最低，且最低的总费用为10万元．
4．已知正数,满足,.
（1） 求的最大值；
（2） 求的最小值.
【答案】
（1） 解：由，得，当且仅当 时，等号成立，
则，得，即 的最大值为1.
（2） 由，得，
得
，当且仅当，即 时，等号成立.
故 的最小值为.
课堂小结
1.已学习：利用基本不等式求最值的各种技巧及方法、解决实际问题．
2.须贯通：（1）利用基本不等式求最值时能根据条件选择合适的方法技巧；
（2）能把实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式解决．
3.应注意：解决实际问题时，忽略变量的实际意义对取值范围的限定．
课后达标 检测
A 基础达标
1．若，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】选.，当且仅当，即 时，等号成立.
2．已知，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】选.因为，，，则，，
可得，当且仅当，即,时，等号成立，
所以 的最大值是.
3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：）之间满足的关系为，则当最小时，（ ）
A. 2 080 B. 20 C. D. 400
【答案】B
【解析】选.依题意，，则，
当且仅当，即 时，等号成立，所以当 最小时，.
4．已知负实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 4
【答案】B
【解析】选.根据题意有，故，当且仅当，即,时，等号成立．
5．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】B
【解析】选.因为，
所以，
所以
，
当且仅当，即 时，等号成立，故所求最小值为25.
6．（多选）已知正数,满足，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于，因为，则，当且仅当，
即,时，等号成立，故 正确；
对于，，
当且仅当，即,时，等号成立，故 错误；
对于，由 可知，所以，
当且仅当，即,时，等号成立，故 正确；
对于，因为，当且仅当，即,时，等号成立，这与，均为正数矛盾，故，故 错误.
7．已知，则取最小值时，实数的值是_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为，
当且仅当，
即 时，等号成立.
8．已知实数，，满足，则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由，得，所以，
当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为1.
9．已知，，且满足，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
10．（13分）
（1） 已知正实数,满足，求的最小值；（6分）
（2） 设，求的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为正实数,满足，
所以
，
当且仅当 且，
即，时，等号成立，
所以 的最小值为.
（2） 由题意，设，则，
则，
当且仅当，即，即 时，等号成立，
所以 的最小值为.
B 能力提升
11．某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ）
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
【答案】B
【解析】选.由题意知，
则，,
，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以当车速为60公里/小时时，车流量最大.
12．已知正实数，满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为正实数，满足，所以，
又，
当且仅当，
即 时，等号成立，
即，所以 的最小值为.
13．（15分）已知，，．
（1） 求的最小值和的最小值；（7分）
（2） 求的最小值．（8分）
【答案】
（1） 解：因为，，，
所以，所以
解得，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以 的最小值为5；
又，当且仅当，即，时，等号成立，
所以 的最小值为8.
（2） 因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以 的最小值为5.
14．（15分）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长，宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为.
（1） 用，表示文字宣传区域面积和；（6分）
（2） 如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？（9分）
【答案】（1） 解：依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为,的矩形，所以.
（2） 依题意，，由（1）知，
,
当且仅当，即，
时，等号成立,
所以纸张的长和宽分别为,时，文字宣传区域面积和 最大，最大面积为.
C 素养拓展
15．若,,表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.设，,，
则，，，
因为，,则得．又因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，则，故,,的最小值为2.
阶段提升（三） 不等式性质及基本不等式
（范围：）
题型一 不等式及其性质
1．若，,则（ ）
A. B.
C. D. ,的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】选.因为，所以.
2．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【解析】选.对于，若，则，为假命题；
对于，若，则，,故，
所以，为真命题；
对于，若，则，故，为真命题；
对于，不妨设,，满足，但，为假命题.
3．已知,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为，
所以，
又，所以.
当 时，，又，所以，得；
当 时，因为，
所以；
当 时，.
综上可得.
4．生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用,表示为一个不等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设原有汤为，其中含盐，则盐的浓度为，
则加入盐为 后可得盐的浓度为，此时，理由如下：
因为,，
所以，所以，
所以将题中所述事实用,表示为一个不等式为.
不等式及其性质的两个关注点
（1）作差法是比较两个实数大小的基本方法.
（2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法.
题型二 基本不等式
1．已知，，，则的最小值为 （ ）
A. 4 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】选.由于，，所以，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为.
2．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A. 16 B. C. D. 18
【答案】A
【解析】选.由已知，满足，得，
则，
当且仅当，
即 时，等号成立，
所以 的最小值是16.
3．已知，则的最小值为，此时.
【答案】21； 11
【解析】由于，所以，
所以
，
当且仅当，
即 时，等号成立.
所以 的最小值为21，
此时.
4．[（2025·宿迁期中）]古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边,．若以斜边为直径的半圆弧长为 ，则周长的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】设，，，，，，以斜边 为直径的半圆弧长为 ，
则 ，所以，
因为 为直角三角形，
所以，
即，
则，即，
当且仅当 时，等号成立，
则，即 周长的最大值为.
基本不等式的关注点
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.
（2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
（3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
题型三 利用基本不等式求参数的值（范围）
［典例］ [（2025·福州期中）]当，时，，则实数的最大值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 4 D. 1
【答案】A
【解析】因为当，时，，
可得，
又因为，
当且仅当，即 时，等号成立，
可得，所以实数 的最大值为9.
求参数的值或取值范围的一般方法
（1）分离参数,转化为求代数式的最值问题；
（2）观察题目特点,利用基本不等式确定有关最值成立条件,从而求得参数的值或取值范围；
（3）注意等号的取舍,防止失误.
［跟踪训练］．[（2025·青岛期末）]已知对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由，可得，
又由
，
当且仅当，即 时，等号成立，
因为对任意，不等式 恒成立，
所以，解得，
所以实数 的最小值为.
阶段小测（三）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若,,且，则下列不等式成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，易知当,时，满足，但 不成立，故 错误；对于，当,时，显然 不成立，故 错误；对于，当 时，，因此 不成立，故 错误；对于，易知，由 可得，故 正确.
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以.已知，，两个不等式相加，得到.
3．若在处取最小值，则（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】选.由题意，，而，当且仅当，即 时，等号成立，所以．
4．[（2025·成都期末）]已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ）
A. 20个 B. 30个 C. 40个 D. 50个
【答案】C
【解析】选.由题设，总成本为,则每个面包的总成本，当且仅当，即 时取等号，故为使每个面包的总成本最小，每天应制作40个.
5．已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 6 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】选.由，，可得，且，得，当且仅当，即,时取等号，因此，所以 的最大值为2.
6．设,，且恒成立，则的最大值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】选.因为,所以 等价于，，当且仅当 时，等号成立．故,，则 的最大值是4．
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
7．若，，则下列结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.对于，因为，，则，，所以，故 错误；
对于，因为，
所以，
因为，所以，
所以，
则，，
所以，故 正确；
对于，因为，则，又，则，故 正确；
对于，因为，，所以，故 正确.
8．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.已知，，，取,，所以，故 错误；因为,,，所以，所以，所以，所以，所以，故 正确；因为，所以，当且仅当，即,时取等号，故 正确；，当且仅当，即,时取等号，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
9．比较大小：_ _ .（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】，，
因为，
可得，
所以.
10．已知，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】设，
则
解得
即.
又，，故，，
则，
即 的取值范围是．
11．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立，则的最小值为．
【答案】49
【解析】由题意得，，，
所以，当且仅当，即 时，等号成立，则 的最小值为49.
四、解答题（本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本小题满分13分）
（1） 已知，，，求证：；（5分）
（2） 已知，，都是正实数，且，求证：.（8分）
【答案】
（1） 证明：因为，则，
又因为，则，
可得，又，所以.
（2） 因为，，都是正实数，且，
则
，
当且仅当,,，
即 时，等号成立，
所以.
13．（本小题满分15分）已知,，且满足.
（1） 求的最小值；（7分）
（2） 若恒成立，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：，
当且仅当，即,时，等号成立，
即 的最小值为.
（2） 由,,，得，
即，,
不等式 恒成立，即 恒成立，所以 恒成立，
.
当且仅当，即 时，等号成立，
因此当,时，取得最小值12，则，
所以 的取值范围为.
14．（本小题满分15分）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2 900元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.
（1） 当时，求草坪面积；（6分）
（2） 当为何值时，最小 并求出这个最小值.（9分）
【答案】
（1） 解：四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为，
当 时，，故草坪面积为.
（2） 花坛的造价为 元，花岗岩地面的造价为 元，四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为，
故草坪的造价为
（元），
故
，
当且仅当，即 时，等号成立，故 时，最小，最小值为65 000元.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
新课导入
汽车在行驶中，由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素.一般来说,刹车距离与车速是二次函数关系,我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速.
学习目标
1.理解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．
2.了解三个“二次”间的关系，能借助一元二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，并能用集合表示其解集．
3.熟练掌握分式不等式的解法，能把分式不等式转化为一元二次不等式处理．
4.构建一元二次函数模型，解决实际问题．
第1课时 一元二次不等式的解法
新知学习 探究
一 一元二次不等式
给出下面四个不等式：
（1）；（2）；
（3）；（4）为常数.
思考1．以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
思考2．对于（4）的不等式，二次项系数与一次项系数对调后，还是一元二次不等式吗？
【答案】思考1 提示：含有一个未知数，未知数的最高次数是2.
思考2 提示：二次项系数与一次项系数对调后变为，当 时，是一元一次不等式；当 时，是一元二次不等式.
［知识梳理］
1．一般地，我们把只含有①_ _ 未知数，并且未知数的最高次数是②_ _ 的不等式，称为一元二次不等式.
【答案】一个； 2
2．一元二次不等式的一般形式是③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,其中,,均为常数，.
【答案】；
3．一般地，对于二次函数,我们把使的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做二次函数的零点.
【答案】实数
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 是一元二次不等式．（ ）
（2） 为一元二次不等式．（ ）
（3） ，.（ ）
（4） ，.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据一元二次不等式的定义可得，解得.
3．若是函数的一个零点，则的另一个零点为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为 是函数 的一个零点，
则，
解得，则.
令，
解得 或，
所以 的另一个零点为1.
一元二次不等式概念中的关键词
（1）一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）.
（2）二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
二 不含参数的一元二次不等式的解法
如图是函数的图象及部分对应值表：
0 1 2 3 4
6 0 0 6
思考1．方程的实根是多少？它的实根与二次函数的图象与轴的交点有什么关系？
思考2．根据图表，写出不等式和的解集.
【答案】思考1 提示： ，；这两个根正好是二次函数 的图象与 轴交点的横坐标.
思考2 提示： 的解集为，或；的解集为.
［知识梳理］
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
类别
的图象
的根 有两个不相等的实数根, 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _
的解集 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ ⑥_ _
【答案】,或； ； ； ； ；
［例1］ （对接教材例 例3）解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 【解】对于方程，因为，解得，.
二次函数 的图象开口向上，与 轴有两个交点 和，如图所示．结合图象可得，原不等式的解集为，或．
（2） 原不等式可化为，即，二次函数 的图象如图所示，结合图象可得，原不等式的解集为．
（3） 原不等式可化为.
对于方程，因为，所以二次函数 的图象开口向上，与 轴无交点，如图所示．结合图象可得，原不等式的解集为.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；
（2）判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算一元二次方程的判别式；
（3）求实根：根据判别式说明方程有无实根，若有实根则求出相应的一元二次方程的根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
［跟踪训练1］．解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 解：
易知方程 的两个实数根分别为，，作出二次函数 的图象，如图1所示.由图可得原不等式的解集为.
（2） 原不等式可化为，因为，所以方程 无实数根，作出二次函数 的图象，如图2所示.根据图象得不等式 的解集为 .因此，原不等式的解集为 .
（3） 原不等式可化为，因为，所以方程 有两个不相等的实数根，解得，.
作出二次函数 的图象，如图3所示.根据图象得不等式 的解集为，或.因此，原不等式的解集为
，或.
三 含参数的一元二次不等式的解法
［例2］ 已知关于的不等式.
（1） 当时，求不等式的解集；
（2） 当时，求不等式的解集.
【答案】
（1） 【解】当 时，不等式为，即，
解得 或，
所以不等式的解集为
.
（2） 当 时，不等式可化为，即，
若，则不等式为，不等式的解集为 ；
若，则，解不等式得，不等式的解集为；
若，则，
解不等式得，
不等式的解集为.
综上，当 时，不等式的解集为
;
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）讨论二次项系数：若二次项系数含有参数，则应讨论该参数与0的大小关系．若等于0，则直接代入求解；若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式再求解.
（2）判断方程根的个数：讨论判别式 与0的大小关系.
（3）写出解集：确定方程无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，判断两根的大小关系，从而确定解集.
注意 求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式 ，用求根公式计算.
［跟踪训练2］．求关于的不等式的解集：.
解：由 可得，
当，即 时，由 知，；
当，即 时，解得；
当，即 时，解得.
综上，当 时，解集为；
当 时，解集为；
当 时，解集为.
课堂巩固 自测
1．（教材P53T1改编）不等式的解集为（ ）
A. B. ，或
C. D. ，或
【答案】B
【解析】选.由，得，解得 或，则不等式 的解集为，或.
2．（多选）不等式的解集为，则正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.，故，错误；，故，正确；，故，错误；，故，正确.
3．（教材P55习题2.3T2改编）要使有意义，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可得，
可转化为，
解得.
所以 的取值范围为.
4．求不等式的解集．
解：不等式，
可化为，
即，
令，
解得，，
当 时，，不等式的解集为
；
当 时，，
不等式的解集为；
当 时，，不等式的解集为
.
课堂小结
1.已学习：（1）二次函数的零点；（2）一元二次不等式的概念及解法；（3）含参数的一元二次不等式的解法.
2.须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法，结合图象即可写出一元二次不等式的解集；解含参数的一元二次不等式需要分类讨论.
3.应注意：解含参数的一元二次不等式时参数的分类讨论标准.
课后达标 检测
A 基础达标
1．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
【答案】A
【解析】选.由，得，即，解得，所以不等式 的解集为.
2．已知集合,,0,1,2,，则（ ）
A. ,0,1,2, B. ,0,1, C. ,0, D.
【答案】C
【解析】选.因为,,0,1,2,,所以,0,.
3．[（2025·济宁期末）]已知函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ）
A. B. ，或
C. D. ，或
【答案】D
【解析】选.由题意可得
解得
所以代入不等式得，
整理可得，
即，
所以不等式的解集为，或.
4．[（2025·昆明期中）]设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由，即，解得，对比选项，只有 是 的真子集，
可知不等式 成立的一个充分不必要条件是.
5．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】选.因为，
所以，
令，则，所以，解得 或.
因为，,所以，所以，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为4.
6．（多选）下列不等式中解集非空的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.对于，因为，抛物线 开口向上，与 轴无交点，所以不等式 无解，即解集为空集，所以 不符合题意；
对于，由，得，得，所以不等式的解集为，所以 符合题意；
对于，因为，抛物线 开口向下，与 轴只有一个交点，所以不等式 无解，即解集为空集，所以 不符合题意；
对于，因为，所以抛物线 与 轴有两个不同的交点，因为抛物线 开口向上，所以不等式 的解集非空，所以 符合题意.
7．要使有意义，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】要使 有意义，
则，解得 或，
故 的取值范围为
.
8．若 ，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】当 时，不成立， ，符合题意，故；
当 时，由 ，
得 解得，
所以 的取值范围为.
9．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为不等式 的解集为，
所以，,即，
所以，
解得，
即不等式 的解集为.
10．（13分）解下列不等式：
（1） ；（4分）
（2） ；（4分）
（3） （5分）
【答案】（1） 解：不等式可化为,即,所以,即不等式的解集为.
（2） 不等式可化为，无解,
即不等式的解集为 .
（3） 不等式可化为,
即,所以,
即不等式的解集为.
B 能力提升
11．（多选）已知关于的不等式的解集为，且，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】BD
【解析】选.因为，
所以当 时，不等式 的解集为，
又不等式 的解集为，所以，解得；
当 时，不等式 的解集为 ，不符合题意；
当 时，不等式 的解集为，
又不等式 的解集为，所以，解得，
所以实数 的值为.
12．[（2025·泉州期中）]已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为_ _ _ _ ．
【答案】5
【解析】由不等式，
得，
显然，否则原不等式解集为空集.
当 时，解得，要使原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与 为正整数矛盾；当 时，解得，要使原不等式的解集中恰有两个整数，则，
所以正整数 的值为5.
13．（13分）解关于的不等式：.
解：当 时，得，解得；
当 时，由，
得.
当 时，解，
得 或；
当 时，解，
得；
当 时，无解；
当 时，解，
得.
综上所述，当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为
；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为
.
14．（15分）设集合,.
（1） 若，求,；（7分）
（2） 若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．（8分）
【答案】
（1） 解： 时，由，解得，即．
由，解得，
即.
所以，
，或，
则，或.
（2） 由题意得，，
因为,，
所以，
由（1）知，
所以 解得，
即实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．[（2025·杨浦期中）]若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或或或
【解析】①当 时，由题意知方程 有唯一的实数根2，此时，且，
得不等式，
即，
则当 时，；
当 时，.
②当 时，由题意知方程 有唯一的实数根2，
即二次函数 的图象与 轴只有一个交点，
当 时，不等式 的解集为；
当 时，不等式 的解集为.
综上所述，不等式 的解集为 或 或 或.
第2课时 一元二次不等式的应用
新知学习 探究
一 简单的分式不等式
［例1］ 解下列不等式：
（1） ；
（2） ．
【答案】
（1） 【解】因为，所以，等价于 解得，
所以原不等式的解集为．
（2） 移项得，通分化简得到分式不等式，等价于，解得.所以原不等式的解集为.
简单分式不等式的解法
注意 对于不等号右边不为零的分式不等式,先移项再通分（不要去分母）,使之转化为不等号右边为零的分式不等式,然后再用上述方法求解.
［跟踪训练1］．
（1） 不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
（1） 因为 等价于，
解得 或，
所以不等式 的解集是
.
（2） 由，得，
即
解得 或.
又，所以 或，
即 或，
解得.
综上，的取值范围是 或.
二 三个“二次”之间的关系
［例2］ 若关于的一元二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【解】 方法一：由题意知
所以
代入不等式 中得
，
即,
化简得,
解得.所以所求不等式的解集为
.
方法二：由题意得方程 的两根分别为,,且，
所以,,
由 得,
即,即,
解得，所以所求不等式的解集为
.
母题探究．若将本例中“”改为“”,其他条件不变，如何求解
解：由题意知
所以
代入不等式,
得，
即，
化简得，
解得 或.
所以所求不等式的解集为，或.
三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
［跟踪训练2］．
（1） （多选）已知不等式的解集为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. ，2是方程的两个实数根
C.
D. 不等式的解集为，或
（2） 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） BD
（2）
【解析】
（1） 选.因为不等式 的解集为，
所以 和2是方程 的两个实数根，
有 解得 故，错误，正确；不等式 即，可得解集为，或，故 正确.
（2） 由题图得，1,3是一元二次方程 的两个实数根，且，
所以 解得
所以，即，化简得，
解得 或，
所以所求不等式的解集为.
三 一元二次不等式的实际应用
［例3］ （对接教材例4、例5）某网店销售一批新款削笔器，进价为10元/个.经统计，该削笔器的日销售量（单位：个）与售价（单位：元）满足如图所示的函数关系.
（1） 为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样确定这批削笔器的售价？
（2） 为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，求售价的取值范围.
【答案】
（1） 【解】根据题图可设，
将 和 代入解得,，故，
设日利润为 元，
则，
所以当 时，日利润最大.
所以为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的售价应定为每个20元.
（2） 由（1）可知，当 时，，
要使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，
则，
即，
对于方程,，
方程的两个实数根为,，
所以 的解为，
所以为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，
则售价 的取值范围是.
解不等式应用题的步骤
［跟踪训练3］．为配制一种药液，进行了两次稀释，先在容积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中纯药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】第一次将桶中纯药液倒出5升后，桶中纯药液还有 升，
则加满水后纯药液含量占容积比例为.
第二次倒出的4升液体中，纯药液有 升，
则加满水后纯药液含量占容积比例为
，
由题有，整理得，解得，又因为第一次将桶中纯药液倒出5升，结合实际知.
综上，.
课堂巩固 自测
1．不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.不等式 可转化为，即，等价于
解得.
2．（多选）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】BCD
【解析】选.因为关于 的不等式 的解集为，所以方程 有两个相等的实根，因此，解得，所以 可取到的数为0，1，3.
3．某种汽车在水泥路面上的刹车距离单位：和汽车刹车前的车速单位：之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得汽车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为．
【答案】65
【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有，整理得，解得 或（舍去），所以这辆汽车刹车前的车速至少为．
4．已知不等式的解集为．
（1） 求的值；
（2） 解不等式．
【答案】
（1） 解：由题意，和3为方程 的根，
则 解得
所以.
（2） 由（1）知，,，
所以不等式，
即为，
即，即，
解得 或，
所以不等式 的解集为
.
课堂小结
1.已学习：（1）简单的分式不等式的解法；
（2）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系及应用；
（3）一元二次不等式的实际应用.
2.须贯通：已知不等式解集逆求参数的一般思路：
（1）将不等式解集转化为相应方程根；
（2）将方程根代入方程求得参数值.
3.应注意：（1）解分式不等式要等价变形；
（2）实际问题中变量的实际意义.
课后达标 检测
A 基础达标
1．不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.易知，则 即为，解得.
2．已知，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】选.因为，所以，等价于
解得.
3．[（2025·张家口期中）]“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由，得，解得，不等式“”的一个充分不必要条件应是 的真子集，选项中只有 是 的真子集.
4．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，得 解得，故，，所以，，故 正确，，，错误.
5．某服装公司生产的衬衫，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题可知，提价后每年可销售 万件，，所以，代理商每年收取的代理费为，整理得，解得.
6．（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】.对于，由题意，结合二次函数 的图象知，抛物线开口向下，则，故 错误；对于，依题意，，且一元二次方程 的两根为 和3，由根与系数的关系，得 故 即，故 正确；对于，由 可得，故 正确;对于，由 可得，故 正确.
7．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：由不等式，得，即，解得，
所以原不等式的解集为.
方法二：由题得，
解得.
8．设方程的两根是,，若不等式的解集是，则.
【答案】19
【解析】由不等式 的解集是 可知，
的两根为，2，
所以,，
所以,，
所以，即为,
则，，
所以．
9．已知关于的不等式的解集为，则的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，和2是方程 的两个根，且，
所以 解得
所以不等式 可化为，
即，
该不等式等价于
解得，
即不等式 的解集为
.
10．[（2025·衢州期中）]（13分）已知集合，．
（1） 判断是否为集合中的元素，并说明理由；（6分）
（2） 若全集，求，（7分）
【答案】
（1） 解：不是集合 中的元素，理由如下：
由 可得，
解得 或，
所以，或，
因此.
（2） 因为，
所以，或，
又因为，
故.
B 能力提升
11．[（2025·苏州期中）]已知集合，，若，则整数的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选.由不等式，得 解得.故集合，若，则，所以，则整数 的最小值为3.
12．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知，且1和2是方程 的两根，所以 解得 所以，即为，可化为，即，解得.所以所求不等式的解集为.
13．（15分）已知关于的不等式的解集为.
（1） 求实数，的值；（6分）
（2） 若正实数，满足，求的最小值.（9分）
【答案】
（1） 解：因为关于 的不等式 的解集为，
所以 和1是方程 的两根，
由根与系数的关系得
解得
（2） 由（1）得，
，
当且仅当，即 时取等号，
所以 的最小值为，
即 的最小值为.
14．（15分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、通信等新兴技术；在应用层面，包括新零售、新制造、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数.
（1） 该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？（7分）
（2） 若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润售价×销量-成本.（8分）
【答案】
（1） 解：设平均每个人形机器人的成本为 万元，根据题意有
，
当且仅当，即 时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2） 设月利润为 万元，则有，
由题知，整理得，解得 或（舍去）.
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
C 素养拓展
15．已知关于的不等式的解集为，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为关于 的不等式 的解集为，
所以 且方程 的解为,，则,，
所以，
因为，所以,，
则，所以，
所以，，
则
，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
阶段提升（四） 一元二次不等式（范围：2.3）
题型一 解一元二次不等式
1．解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 解：原不等式可以化为，因为,所以方程 无实数根.又函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
（2） 依题意，，解得 或，
所以不等式的解集为，或.
（3） 依题意，即为，
解得 或，
所以不等式的解集为
.
（4）
解得 或，
所以不等式的解集为，或.
2．已知关于的不等式.
（1） 若不等式的解集为，求，的值；
（2） 若，解不等式.
【答案】
（1） 解：原不等式可化为，由题知，，是方程 的两根，
由根与系数的关系得
解得
（2） 当 时，原不等式化为，
当，即 时，
解原不等式可得；
当，即 时，原不等式即为，解得；
当 时，即 时，解原不等式可得.
综上所述，当 时，不等式的解集为
；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为
.
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受二次项系数、判别式 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系.
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常根据“二次项系数”“判别式 ”“两个根的大小”对参数进行分类讨论.
题型二 在上恒成立问题
［例1］ 若关于的不等式：对恒成立，求的取值范围.
【解】 当 时，，满足题意；当，则满足
即 解得.
综上所述，的取值范围是.
求解一元二次不等式解集为 的情况：
恒成立
恒成立
恒成立
恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
［跟踪训练1］．若函数中的取值范围为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知 恒成立，
当 时,符合题意；
当 时，
解得.
综上,.
题型三 在特定范围上恒成立问题
［例2］ 若当时，恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】方法一:设，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线，当 时，随 增大而增大，所以当 时，一元二次不等式 恒成立，即当 时，，
据题意得,解得．
方法二：当 时，恒成立，即当 时，恒成立，
设，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，当 时，随 增大而减小，所以当 时，一元二次不等式 恒成立，即当 时，，
据题意得,
解得.
在给定区间上的恒成立问题
（1）当时，在上恒成立在 ， 时的函数值同时小于0.
（2）当时，在上恒成立在 , 时的函数值同时大于0.
提醒在求此类问题可选用分离参数法.
［跟踪训练2］．
（1） 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.若不等式 对任意 恒成立，
则对任意，恒成立，
而，当且仅当，
即 时取等号，因此，
所以实数 的取值范围是.
（2） 令，抛物线开口向上，当 时，一元二次不等式 恒成立，则当 时函数值，且当 时函数值.
得 解得.
阶段小测（四）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
【答案】B
【解析】选.不等式可化为，即，解得．
2．已知集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.分式不等式 等价于，解得，
即，又，所以.
3．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.不等式 的解集为，则需满足，解得.
4．“，”恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.若，，则 对 恒成立，
即，
由 可得，
所以，
所以，
由于 是 的真子集，故 符合题意.
选项，是必要不充分条件，是充要条件.
5．若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】选.由题意知，,2为方程 的两实数根，
故 即
则，当且仅当，即 时取等号，
即 的最小值为4.
6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即,时，等号成立，
所以由 恒成立，得，所以.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
7．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由 得 解得，所以，
由 得，解得，所以，
对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于，,或，所以，故 正确；对于，,或，所以 ，故 正确.
8．已知,是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.不等式 的解集是，其中，所以，且,是一元二次方程 的解，
所以,，
所以,，故，正确；又因为，所以 错误；又方程 的解是1和，且不等式 的解集为，
所以，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
9．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，或
【解析】原不等式即为，由，解得 或；由，即，解得.综上，原不等式的解集为，或.
10．不等式组的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
得，
化简得，即，
得 解得.①
又，所以 或，解得，或.②
由①②解得.
则不等式组 的解集为.
11．设命题对任意，不等式恒成立.若为真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为对任意，不等式 恒成立，所以对任意，成立，又因为，所以，即.
即若 为真命题，
则实数 的取值范围是.
四、解答题（本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本小题满分13分）已知全集为，集合,．
（1） 求集合和；（6分）
（2） 将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解．（7分）
【答案】
（1） 解：由，得 或，解得 或，
故.
由，得，
等价于，解得 或，
故，或.
（2） 题图中阴影部分表示的集合为 或，
因为，
故图中阴影部分表示的集合为.
13．（本小题满分15分）
（1） 解关于的不等式；（7分）
（2） 当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：不等式
可化为，
①当 时，解不等式得；
②当 时，，解不等式得；
③当 时，解不等式得.
综上，当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为.
（2） 由题意，不等式 即 恒成立，
所以,，
又，
当且仅当，即 时，等号成立，所以实数 的取值范围为.
14．（本小题满分15分）已知函数.
（1） 若，求不等式的解集；（4分）
（2） 是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在,求出的值，若不存在，请说明理由；（5分）
（3） 若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围.（6分）
【答案】
（1） 解：当时，，由，得，
即，
整理得，
解得，
则不等式 的解集为
.
（2） 不存在实数 符合题意，理由如下：
由，得，
若存在实数 使得方程 有两个不相等的实数根且 成立，
则，，，，由根与系数的关系得
由，得，
则，解得，
此时方程为，
即，解得，
因此，不存在实数 符合题意.
（3） 由，得，整理得，
当，即 时，不等式为，此时不等式恒成立，符合题意；
当，即 时，由不等式的解集是实数集，
得
解得，
综上所述，实数 的取值范围为.
章末综合检测（二）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由，可得，，又因为，所以.
2．若正数,满足，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】选.因为，所以，所以，当且仅当，即,时，等号成立.所以 的最小值是4.
3．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. ,0, D.
【答案】D
【解析】选.因为，，
所以.
4．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意知，甲的常数 正确，由根与系数的关系可知，故；乙的常数 正确，故，故.所以原不等式为，即，解得，所以解集为.
5．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.当 时，恒成立，
当 时，则
解得，
综上所述，不等式 恒成立时，
，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是.
6．已知不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题知2，3是方程 的两个根，
则 解得
所以不等式
即为，
即，
解得.
所以不等式 的解集为.
7．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设花卉带的宽度为，则，
所以，即，可得，
又 解得，故，而，则 可能取值为2.
8．已知命题,，命题，，若命题,都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】选.因为命题,为真命题，所以，
又因为,所以，当且仅当，即 时，等号成立，所以.
因为命题,为真命题，
所以,
所以 或，
因为命题，都是真命题，
所以 或．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为 的解集非空，显然当 时恒成立，又由 解得，综上，的解集非空的充要条件为.由选项知 的一个必要不充分条件为.
10．若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.由 且 得，所以,，正确；
，所以，，正确；
取，，，则，错误；
由 得，
所以，
因为，所以，正确.
11．设正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为2 D. 的最小值为8
【答案】CD
【解析】选.对于，因为，，且，
所以，
当且仅当，即,
时，等号成立，
所以 的最小值为，故 错误；
对于，因为，，且，所以，当且仅当 时，等号成立，
所以，当且仅当 时，等号成立，
所以，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为，故 错误；
对于，因为，，且，所以，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为2，故 正确；
对于，因为，，且，
所以，当且仅当 时，等号成立，
所以，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为8，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
12．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 即为，
即 故，
即不等式的解集为.
13．能够说明“设,,是任意实数，若，则”是假命题的一组整数,,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,0（答案不唯一）
【解析】若，当 时，；
当 时，；当 时，.
“设,,是任意实数，若，则”是假命题的一组整数,,的值依次为,,0.
14．若，，，均为正实数，则的最小值为_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】,
当且仅当，
即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）已知二次函数，.
（1） 若，求不等式的解集;（6分）
（2） 若，求关于的不等式的解集.（7分）
【答案】
（1） 解：当 时，.
，即，
所以，
所以 或.
所以 的解集为，或.
（2） ，
即，
所以，
所以.
因为，所以，
所以不等式 的解集为.
16．（本小题满分15分）已知，.
（1） 求的最小值；（7分）
（2） 若，求的最小值.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，则，
由题意得
，
当且仅当，
即 时，等号成立.
故 的最小值为3.
（2） 由，得，
则
，
当且仅当，
即,时，等号成立.
故 的最小值为1.
17．（本小题满分15分）已知,,，关于的一元二次不等式的解集为.
（1） 求，的值；（6分）
（2） 若为非负实数，解关于的不等式.（9分）
【答案】
（1） 解：因为不等式 的解集为
，
所以 和 是方程 的两个根.
由根与系数的关系，可得，
，解得，.
（2） 由（1）知，，则不等式为，即.
当 时，不等式化为，解得；
当 时，，
不等式的解为；
当 时，不等式化为，
即，此时不等式无解；
当 时，，
不等式的解为.
综上可得，当 时，解集为；
当 时，
解集为；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为.
18．（本小题满分17分）为提高自主研发的能力，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1） 要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多多少人？（7分）
（2） 是否存在这样的实数，使得技术人员在

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