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第三章 数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
新课导入
许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化.早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量,当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化.这两个变量之间存在着函数关系.
学习目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值．
4.能正确使用区间表示数集．
5.会判断两个函数是否为同一个函数．
第1课时 函数的概念（一）
新知学习 探究
一 函数的概念
思考1．初中时,我们已经学习过函数，当时是如何定义的呢？
提示：设在一个变化过程中有两个变量 和,如果对于 的每一个值,都有唯一确定的值与它对应,那么就说 是 的函数.其中 叫自变量,叫因变量.
思考2．对于坐标平面内的点,若,,是否是的函数
提示：是.
思考3．对于坐标平面内的点,若,,是否是的函数
提示：不是.
［知识梳理］
概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数
三要素 对应关系
定义域 _ _ _ _ _ _ 的取值范围
值域 与的值相对应的值的集合
提醒：（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集 中的任意一个（任意性）元素，在非空实数集 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 与之对应；（2）函数符号“”是数学符号之一，不表示 等于 与 的乘积，也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的表示方法；（3）除 外，有时还用，，，等符号表示函数.
【答案】
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 根据函数的定义，定义域中的任意一个可以对应着值域中不同的.（ ）
（2） 已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.（ ）
（3） 在函数的定义中，集合是函数的值域.（ ）
（4） 相同函数的自变量符号一定一样.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题知选项 中图象定义域不满足条件；选项 中图象不满足函数的定义域和值域；选项 中图象满足题目要求；选项 中图象，不是函数的图象.
3．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.结合函数定义可知，对于，，集合 中任意一个元素在集合 中都有唯一确定的元素与之对应，符合函数定义，故，正确；
对于，集合 中元素7在集合 中没有元素与之对应，不符合函数定义，故 错误；
对于，集合 中元素3在集合 中有两个元素与之对应，元素4没有元素与之对应，不符合函数定义，故 错误.
判断一个对应关系是否为函数的方法
（1）图象法：作一条垂直于轴的直线，在定义域范围内任意平移直线，若与图象有且只有一个交点则是函数，否则不是函数.
（2）对应法：非空实数集与是一对一或多对一的关系，且中不能有剩余元素，中可以有.
二 求函数值
［例1］ （对接教材例2）已知，.
（1） 求，的值；
（2） 求，的值；
（3） 当时，求，.
【答案】
（1） 【解】因为，
所以，
因为，
所以.
（2） 由（1）知，，
.
（3） 当 时，，有意义，
，
.
函数的求值方法
（1）已知的解析式，只需用替换解析式中的即得的值.
（2）求的值应遵循由里往外的原则.
提醒用来替换解析式中的数必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.
［跟踪训练1］．
（1） 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
（2） 已知函数，当时，_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.由，
得，
,
所以.
（2） 由题得，
解得.
三 求具体函数的定义域
［例2］ 求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】由题意得 且，即 且，故所求定义域为 且.
（2） 由题意得
解得 且，
故所求定义域为 且.
关于函数定义域的求法
（1）依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等.
（2）应用：如果解析式中含有多个式子，则将所有满足的条件列成不等式组，求交集.
［跟踪训练2］．
（1） 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 函数的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.对于，
有
解得 且，
所以函数 的定义域为
.
（2） 由题意得
解得.
四 构建问题情景
［例3］ 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 【解】设矩形的长为，宽为，
那么，
其中 的取值范围，的取值范围，对应关系 把每一个矩形的长，对应到唯一确定的宽.
（2） 设矩形的长为，周长为，
那么.
其中 的取值范围，的取值范围，对应关系 把每一个矩形的长，对应到唯一确定的周长.
根据函数关系构建问题情境的策略
（1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
（2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时可适当限制的取值范围.
（3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
［跟踪训练3］．试构建一个问题情境，当时，变量与的关系用描述.
解：当 时，那么可以构建如下情境：
某电商2025年利润为15万元，设利润的年平均增长率为，预计2028年利润为 万元，那么，其中 的取值范围是，的取值范围是，
对应关系 把每一个年平均增长率，对应到唯一确定的利润.
课堂巩固 自测
1．（教材P67T2改编）已知，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，
所以.
2．（多选）下列能够表示集合,0,到集合,0,1,2,的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.对于，在 中，当,0,1时，对应的函数值为4,0,，与集合 不对应，故 错误；
对于，在 中，当,0,1时，对应的函数值为2,0,1，都属于集合，故 正确；
对于，在 中，当,0,1时，对应的函数值为0,2,3，与集合 不对应，故 错误；
对于，在 中，当,0,1时，对应的函数值为4,0,1，都属于集合，故 正确.
3．（教材 习题（3）改编）函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】由题意可得，即，解得 或，
所以函数 的定义域为 或.
4．已知函数.
（1） 若函数满足，求实数的值；
（2） 求当时，的值.
【答案】（1） 解：已知，，解得.
（2） 当 时，，
所以.
课堂小结
1.已学习：函数的概念、函数求值、函数的定义域、如何构建问题情境.
2.须贯通：函数定义中的“三性”：任意性、存在性、唯一性，只要有一个不满足，便不能构成函数.
3.应注意：函数符号“”不一定是解析式，还可以是表格或图象，它仅为是的函数的数学表示.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】选.由题意，.
2．已知，当时，的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】选.因为，，
即，解得.
3．下列函数中，定义域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，由，得，错误；
对于，由，得，正确；
对于，由，得，错误；
对于，由，得，错误.
4．若的定义域为，则实数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.由题得 解得 因为函数的定义域为，故，.
5．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（ ）
A. B. , C. D.
【答案】B
【解析】选.当 时，，当 时，，当 时，，当 时，，此时 不在集合 内，因此集合 不可能是,.
6．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.方法一：选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 错误；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 错误；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 正确；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 正确.
方法二：选项 中函数图象与 轴有交点，设交点为，当 时按照选项 中的对应关系 对应函数值为0，而，故选项 错误；选项 中函数图象在区间 上是连续的，所以函数在 处有意义，即 在定义域内，而，故选项 错误；而，中的函数的定义域和值域均符合题设要求.
7．已知函数，,则_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】因为，
所以.
因为,
所以.
8．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】且
【解析】由题意得
解得
所以 的定义域为 且.
9．已知函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】由题得，，解得，所以，
则.
10．（13分）已知函数.
（1） 求的定义域；（3分）
（2） 若，求的值；（4分）
（3） 求证：.（6分）
【答案】
（1） 解：要使函数 有意义，
只需，解得，
所以函数 的定义域为.
（2） 因为，
所以，解得.
（3） 证明：因为，
所以，
而，
所以.
B 能力提升
11．已知，且，则（ ）
A. B. 10 C. 9 D. 11
【答案】A
【解析】选.因为，
且，
所以，得，
所以，
所以.
12．（多选）如图为某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，底面半径为,为常量，油面高度为，油面宽度为，储油量为,,为变量，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的函数 B. 是的函数 C. 是的函数 D. 是的函数
【答案】AD
【解析】选.根据圆柱的体积公式，油面高度为，会影响油面的宽度，从而影响油量，对于，由于 确定，故 确定，就确定，故 正确；对于，，由于 确定，有两个值（上下对称）与之对应，所以 有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故，错误；对于，确定，则 确定，故 正确.
13．（13分）函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地刻画一类事物中的变量关系和规律.
（1） 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式描述；（6分）
（2） 求第（1）问中的函数的最大值，并解释其实际意义.（7分）
【答案】
（1） 解：由 可构建如下情境：
已知 的两条直角边之和为4，分别设两直角边为,，面积即为，
则该直角三角形的面积为，其中.
（2） 因为,,
所以当 时，，此时，即当 的两条直角边相等时，三角形的面积取最大值2.
14．（15分）已知函数.
（1） 求；（5分）
（2） 判断是否为定值，并求出的值.（10分）
【答案】
（1） 解：函数，
则，，
所以.
（2） 依题意，，
所以 是定值3，
.
C 素养拓展
15．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为，的“孪生函数”共有（ ）
A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个
【答案】C
【解析】选.令，解得，
令，解得，
函数解析式为，值域为，的“孪生函数”的定义域中至少含有1和 中的一个数，至少含有2和 中的一个数，可能是，，，，，，，，，，，，，，,1,,,1,,,1,,，共9种不同的情况.故选.
第2课时 函数的概念（二）
新知学习 探究
一 区间的概念
运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.
思考1．如何表示列车运行速度的范围？
思考2．还可以用其他形式表示列车运行速度的范围吗？
【答案】思考1 提示：用不等式可表示为，用集合可表示为.
思考2 提示：还可以用区间表示为.
［知识梳理］
1．一般区间的表示
设，是两个实数，且，规定如下：
集合 名称 区间 数轴表示
闭区间 ①_ _ _ _ _ _ _ _
开区间 ②_ _ _ _ _ _ _ _
半开半闭区间 ③_ _ _ _ _ _ _ _
半开半闭区间 ④_ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ；
2．特殊区间的表示
集合
区间 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 数集都能用区间表示.（ ）
（2） 区间.（ ）
（3） 是最大的数， 是最小的数.（ ）
（4） 区间是有限集.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．若为一确定区间，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】因为 为一确定区间，
所以，解得，
所以实数 的取值范围是，.
3．将下列集合用区间以及数轴表示出来：
（1） ；
（2） 或；
（3） 且；
（4） .
【答案】
（1） 解：用区间表示为，用数轴表示如图：
（2） 或 用区间表示为，用数轴表示如图：
（3） 且 用区间表示为，用数轴表示如图:
（4） 用区间表示为，用数轴表示如图：
用区间表示数集时要注意
（1）区间左端点值小于右端点值.
（2）区间两端点之间用“，”隔开.
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
（4）以“ ”，“ ”为区间的一端时，这端必须用小括号.
二 同一个函数
思考1．函数与函数的定义域一样吗？
提示：不一样，因为 的定义域为，而 的定义域为.
思考2．定义域与值域相同的两个函数,解析式一定相同吗？举例说明.
提示：不一定，如 与 定义域是，值域也是，但解析式不相同.
［知识梳理］
前提条件 如果两个函数的①_ _ _ _ _ _ 相同，并且②_ _ _ _ _ _ _ _ 完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
【答案】定义域； 对应关系
［例1］ （多选）（对接教材例3）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AB
【解析】对于，与 的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于，，定义域为，与 的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于，的定义域为，而 的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数；对于，的定义域为 或，而 的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数.
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
注意（1）在化简解析式时，必须是等价变形；
（2）与用哪个字母表示无关.
［跟踪训练1］．
（1） 下列函数与是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 写出一个与函数的定义域与值域均相同的不同函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） （答案不唯一）
【解析】
（1） 选.对于，函数 的定义域为，与 的定义域不同，不是同一个函数，故 错误；
对于，函数，与 的对应关系不同，不是同一个函数，故 错误；
对于，函数 与 的定义域不同，不是同一个函数，故 错误；
对于，函数，与 的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故 正确.
（2） 由题意可知，函数 的定义域为，值域为，因为函数 的定义域为，值域为，所以 与函数 的定义域与值域均相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
三 函数的值域
［例2］ 求下列函数的值域：
（1） ，；
（2） ，；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为.
（2） （配方法），，结合函数的图象，可得函数的值域为.
（3） （分离常数法），因为，所以，所以，故函数的值域为.
（4） （换元法）设，，
则，，
所以，，结合函数的图象，可得函数的值域为.
求函数值域的常用方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
（2）配方法：若函数是二次函数形式，即可化为型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
（3）分离常数法:函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，利用不等式的性质求解.
（4）换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
（5）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
［跟踪训练2］．
（1） 下列函数中，值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数，的图象如图所示，其中曲线从左至右逐渐上升且与直线无限接近，但永不相交.观察图象可知函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.对于，函数 在 上的值域为，不符合题意；
对于，二次函数 的值域为，不符合题意；
对于，函数 的值域为，符合题意；
对于，函数 的值域为，不符合题意.
（2） 根据题图可知，函数 的值域为.
拓视野 抽象、复合函数的定义域
1.抽象函数的定义
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2.复合函数的概念
若函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，称函数为与在上的复合函数，其中称为自变量,为中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数.
3.抽象函数或复合函数的定义域
（1）函数的定义域是自变量的取值范围，比如：函数的定义域是指的取值范围，函数的定义域也是指的取值范围，而不是的取值范围.
（2），，，四个函数中的，，，在对应关系下的范围相同，在同一对应关系作用下，括号内整体的取值范围相同.
［典例］
（1） 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 因为函数 的定义域为，所以，即，解得，
即 的定义域是.
（2） 由函数 的定义域为，可得，则函数 的定义域为.
抽象函数定义域的求法
（1）已知的定义域为，求的定义域时，不等式的解集即为定义域.
（2）已知的定义域为，求的定义域时，求出在上的范围（值域）即为定义域.
［练习1］．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，解得，由，解得，
故函数 的定义域是.
［练习2］．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为，
所以，
即函数 的定义域为，
则，解得 或，所以函数 的定义域为.
课堂巩固 自测
1．集合用区间可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.集合 用区间可表示为.
2．（多选）（教材P72习题3.1T2改编）下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABC
【解析】选.对于，的定义域为，的定义域为，定义域且对应关系相同,两者是同一个函数，符合题意；
对于，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，符合题意；
对于，的定义域为，的定义域为，且对应关系相同，为同一个函数，符合题意；
对于，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，不符合题意.
3．已知函数的定义域为，则的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 的定义域为，所以，解得.
4．（教材P72T3改编）求下列函数的定义域、值域.
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 解：函数的定义域为,,所以函数 的值域为.
（2） 函数的定义域为，设,则,,
所以,
根据二次函数的图象和性质,函数 的值域为，即函数 的值域为.
（3） 令，解得，可得函数的定义域为，因为，可得，
所以函数的值域为.
课堂小结
1.已学习：区间的表示、同一个函数的概念、函数的值域、抽象函数的定义域.
2.须贯通：（1）函数定义域和对应关系都相同，则为同一个函数；
（2）求函数值域常用的方法：观察法、配方法、换元法等.
3.应注意：区间的本质是数集，区分端点处的开闭.
课后达标 检测
A 基础达标
1．区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.根据区间的定义可知.
2．已知函数的定义域为，0，，则函数的值域为（ ）
A. ， B. C. D. ，
【答案】D
【解析】选.因为,，所以函数 的值域为,.
3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.函数 的定义域为，在 中，由，得，所以 的定义域为.
4．若函数的值域是，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为函数 的值域为，所以，解得.
即函数 的定义域为.
5．已知函数的定义域为，值域为，则实数对的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.画出 的图象如图所示：
由图可知，，
根据选项可知，当 的定义域为，值域为 时，
结合选项可知实数对 的可能值为，，.
6．（多选）下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】AB
【解析】选.对于，函数，的定义域均为，，
中的两个函数为同一函数；
对于，函数，的定义域均为，且这两个函数的对应关系相同，中的两个函数为同一函数；
对于，函数 的定义域为，函数 的定义域为，这两个函数的定义域不相同，中的两个函数不是同一函数；
对于，函数，的对应关系不相同，中的两个函数不是同一函数.
7．已知区间，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .（用区间表示）
【答案】
【解析】依题意得，解得，
所以实数 的取值范围为.
8．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ ；函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】函数 有意义，则，解得，
所以 的定义域为；
在函数 中，，解得，
所以函数 的定义域为.
9．若函数的值域为，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题得
，
因为该函数的值域为，所以.
10．（13分）已知函数，.
（1） 求函数的定义域；（3分）
（2） 求，的值，的值域.（10分）
【解析】
（1） 因为，
所以 解得 且，
所以函数 的定义域为 且.
（2） 由 知，，
，
因为，
所以，即 的值域为.
B 能力提升
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为函数 的定义域为，
则，所以 的定义域为.
又因为，即，所以函数 的定义域为.
12．（多选）已知集合,，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.要使函数 有意义，
则，解得，
所以，即，
因为，
所以，
即，
所以，
，
,故，，正确，错误.
13．（13分）设函数的定义域为集合，集合.
（1） 求；（5分）
（2） 设函数的值域为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：根据题意，可得 或，
因为，
则.
（2） 函数 是反比例函数，由其图象（图略）可知，其值域，且，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
则 解得，
即 的取值范围是.
14．（15分）已知函数.
（1） 当时，求的值域；（4分）
（2） 若的定义域为，求实数的值；（5分）
（3） 若的定义域为，求实数的取值范围.（6分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
所以 的值域为.
（2） 因为 的定义域为，
所以 和1是方程 的两个根，
故,，
解得，经检验符合，故.
（3） 当 时，，定义域为，符合题意；
当 时，，定义域不为，不符合题意；
当 时，由题意，在 上恒成立，
则
解得，
综上所述，实数 的取值范围为.
C 素养拓展
15．规定符号*表示一种运算，即,为正实数且，则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知得，，
解得 或（舍去），
所以.
，
令，则，结合函数的图象（图略），
可得，
所以函数 的值域为.
3.1.2 函数的表示法
新课导入
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图.医生看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果.这就是本节我们学习的函数的表示方法，除了用图象法表示函数,还有哪些表示方法呢
学习目标
1.掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
2.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题.
第1课时 函数的表示法
新知学习 探究
一 函数的表示法
思考1．在初中我们学习了函数的哪些常用表示方法？
提示：解析法、列表法、图象法.
思考2．举例说明，任何函数都能用解析法表示吗？
提示：不一定，如某人的身高与年龄的关系.
［知识梳理］
［例1］ （对接教材例4）某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数为正整数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
【解】（1）列表法：
台 1 2 3 4 5
元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
台 6 7 8 9 10
元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：如图所示.
（3）解析法：,,2,3, ,.
理解函数表示法的三个要点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念.
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以同时用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
［跟踪训练1］．已知函数,,分别用图象法和列表法表示函数.
解：用图象法表示函数，如图所示，
用列表法表示函数，如表所示，
1 2 3 4
二 函数的图象
［例2］ 作出下列函数的图象：
（1） ，；
（2） ，.
【答案】
（1） 【解】这个函数的图象由点组成，这些点都在直线 上,因为,所以，故都为整数点,如图1所示为函数图象的一部分.
（2） 函数,的图象是抛物线 去掉 之间的部分后剩余的曲线，如图2中实线所示.
描点法作函数图象的三个注意点
（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
注意 函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
［跟踪训练2］．作出下列函数的图象，并指出其值域.
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：用描点法作出函数的图象如图1所示.由图可知 的值域为，.
（2） 用描点法作出函数的图象如图2所示.
由图可知 的值域为.
三 求函数的解析式
［例3］ 求下列函数的解析式.
（1） 若，求的解析式；
（2） 已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（3） 已知,求的解析式.
【答案】
（1） 【解】方法一（换元法）:设，，
则，.
所以,
所以.
方法二（配凑法）:因为,所以,所以.
（2） 因为 是一次函数，设,
所以，
所以 解得
故.
（3） 因为,所以将 换成，得，联立两式消去，得，所以.
求函数解析式的四种常用方法
［跟踪训练3］．
（1） 已知函数，则（ ）
A. 1 B. C. 10 D.
（2） 若函数，且，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
（3） 已知是二次函数，且，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
（3）
【解析】
（1） 选.由，
可得，
联立
解得，
所以.
（2） 因为函数，又 的值域为，所以，由，可得，解得.
（3） 设，
因为，可得，
又因为，
可得，
即，所以,,
解得，所以.
课堂巩固 自测
1．（教材P69T3改编）函数的图象是（ ）
A. 一条射线 B. 一条线段 C. 两条射线 D. 一条直线
【答案】A
【解析】选.函数 为一次函数，图象为直线，但是当 时，所得到的图象为一条射线.
2．（教材P72练习T1改编）甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点
【答案】D
【解析】选.由题图知，甲、乙同时出发；甲、乙跑的路程一样，故，错误；
甲跑完全程所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点，则甲速度比乙速度快，故 错误，正确.
3．已知函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】方法一：令，，则，，
故，得.
方法二：令，得，所以.
4．已知函数是一次函数，且满足.
（1） 求的解析式；
（2） 求函数的解析式，并求的值.
【答案】
（1） 解：由题意可设，
代入，
则，
整理可得，解得
所以.
（2） 由，则，
由，则.
课堂小结
1.已学习：函数的三种表示法、函数解析式的求法.
2.须贯通：函数的三种表示法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系，各有优缺点，解决问题时可以选择最合适的方法，实际操作过程中多以解析法为主.
3.应注意：（1）求函数解析式时容易忽视定义域；
（2）图象法没有弄清楚函数图象是“点”还是“线”.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由，可得.
2．若是一次函数，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设，由题设有
解得 所以.
3．已知二次项系数为1的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】选.因为 二次项系数为1，所以由图象可知，
所以.
4．若函数满足关系式，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.在 中，用 替换，可得，联立解得,故.
5．[（2025·大同期中）]如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图象.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学晨练的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，
选项，，中，路线上的点离家距离是变化的，选项 中的路线符合要求.
6．（多选）下列函数中，满足的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.对于,，，所以 正确；
对于,，满足，所以 正确；
对于,，，，不满足，所以 不正确；
对于,，，，不满足,所以 不正确.
7．已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】对于，
令，则，
所以，
则.
8．[（2025·珠海期中）]已知函数的对应关系如表所示，函数的图象如图所示，
1 2 3
4 3
则的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】由题图可知，
所以.
9．已知函数满足：对于任意的实数，总有.若，则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】由，，
令，则，
即，
令，则，即.
10．（13分）作出下列函数的图象并求出其值域.
（1） ,,1,,；（4分）
（2） ,；（4分）
（3） .（5分）
【答案】
（1） 解：用描点法作出函数的图象如图所示.由图可知,,1,,的值域为,,2,.
（2） 用描点法作出函数的图象如图所示.由图可知,的值域为.
（3） ,所以函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为.令，即 得 或.故图象与 轴的交点坐标为，，故函数图象如图所示，由图可知 的值域为.
B 能力提升
11．某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.设公交车行驶速度为，开车的速度为，
则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以 的速度增大，
从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以 的速度减小；
分别后两人之间的距离以 的速度增大，正确.
12．（多选）若函数，则（ ）
A.
B.
C.
D. 且
【答案】AD
【解析】选.令，则，所以，则，故 错误；，故 正确；，故 错误；且，故 正确.
13．（13分）已知，.
（1） 求函数的解析式；（6分）
（2） 设，，求证：.（7分）
【答案】
（1） 解：令，则，
且，
所以，
所以.
（2） 证明：对任意的，，
，
故.
14．（15分）
（1） 已知是二次函数，且满足，，求的表达式；（5分）
（2） 已知，求的表达式；（5分）
（3） 已知，求的表达式.（5分）
【答案】
（1） 解：设，因为，所以.
又因为，所以，
整理得，
所以 解得
所以所求函数的表达式为.
（2） 令，则.所以，
所以所求函数的表达式为.
（3） 在原式中用 替换，
得，
联立
消去，得.
所以所求函数的表达式为.
C 素养拓展
15．对于函数，若，使得成立，则称为的不动点.若二次函数有两个不相等的不动点,，且,，求的最小值为_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】二次函数 有两个不相等的不动点,，且,.
则方程 有两个不相等的正实数根，
即方程 有两个不相等的正实数根，
所以，且,,解得，可得，
所以
，
当且仅当，即 时等号成立，
所以 的最小值为6.
第2课时 分段函数
新知学习 探究
一 分段函数
某市公共汽车的票价按下列规则实施:（1）5千米以内（包含5千米）,票价2元;（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）,已知每两个相邻的公共汽车站之间相距1千米,沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.
思考1．从起点站出发,公共汽车的行程（单位：千米）与票价（单位：元）是函数关系吗？
思考2．与之间有什么特点？
【答案】思考1 提示：是函数关系.
思考2 提示：当 在不同区间内取值时,与 的对应关系不同.
［知识梳理］
1．如果函数,，根据自变量在中不同的取值范围，有着_ _ 的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
【答案】不同
2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集，各段函数定义域的交集是空集.
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 分段函数由几个函数构成.（ ）
（2） 函数是分段函数.（ ）
（3） 分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.（ ）
（4） 分段函数各段上的函数值集合的交集为 .（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） ×
2．设函数则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】选.因为
所以，
所以.
3．若函数且，则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】因为
且，
则（舍去）或
解得.
4．已知函数则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，，图象的对称轴为直线，
当 时，取最小值0；当 时，取最大值1，
所以；
当 或 时，，
综上，，则函数 的值域为.
（1）分段函数求函数值的方法
先确定要求值的自变量属于哪一区间段，然后代入该段的解析式求值.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
（2）已知函数值求参数的步骤
①对参数的取值范围作相应分类；②根据不同范围代入不同的解析式中；③通过解方程求出参数的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
二 分段函数的图象及应用
［例1］ （对接教材例6）已知函数，，令，，即和中的较小者.
（1） 分别用图象法和解析法表示；
（2） 求函数的定义域，值域.
【答案】
（1） 【解】在同一平面直角坐标系中作出函数，的图象如图1.
由图1中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图2.
令，解得 或.
结合图2，得出
（2） 由（1）中图2知，的定义域为，的最大值为，所以 的值域为.
母题探究．在本例中，令，，即和中的较大者.
（1） 分别用图象法和解析法表示；
（2） 求函数的定义域，值域.
【答案】
（1） 解：由例1解析图1中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图.
得出 的解析式为
（2） 由（1）中图象知，的定义域为，值域为.
分段函数图象的画法
（1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
［跟踪训练1］．已知函数.
（1） 用分段函数的形式表示函数；
（2） 画出函数的图象，并写出函数的值域.
【答案】
（1） 解：当 时，；
当 时，；
所以
（2） 由（1）得
由此画出 的图象如图所示，
由图象知，的值域为.
三 分段函数的实际应用
［例2］ （对接教材例8）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满199元的不予优惠；一次购物总额满199元，但不满299元的，减28元；一次购物总额满299元，不满499元的，减48元；一次购物总额满499元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为.
（1） 试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值；
（2） 若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围.
【答案】
（1） 【解】由题知，
即
所以在 上，
在 上 随 的增大而减小，此时，
在 上 随 的增大而减小，此时，
在 上，而
综上，该函数的最大值为.
（2） 由（1）知，
则令，解得，
所以此时；
令，解得，
综上，的取值范围为.
分段函数应用问题的两个关注点
（1）应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数.
（2）注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.
［跟踪训练2］．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）.
阶梯 每户年用水量/立方米 水价 包含费用
自来水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 （含） 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 （含） 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为_ _ 元；污水处理费为_ _ 元.
【答案】314； 272
【解析】设年用水量为 立方米，对应水费为 元.依题意得，
即
依题意得,若，则，解得,不合题意，舍去；若，则，解得,符合题意；若,则，解得,不合题意,舍去.故该用户当年用水量为200立方米.因此，水资源费为（元）,污水处理费为（元）.
课堂巩固 自测
1．（教材P69T2改编）函数的图象是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.易知
因此 的图象为选项.
2．（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.对于 中的函数
当 时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数;对于 中的函数 当 时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；只有，中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.
3．设函数则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；若，则_ _ _ _ .
【答案】0； ；
【解析】；
.
由（舍去）或（舍去）或 解得.
4．（教材P69 T1改编）如图，动点从边长为4的正方形的顶点开始，顺次经过顶点，，绕边界运动，用表示点的行程，表示的面积，求函数的解析式.
解：当点 在 上运动，
即 时，;
当点 在 上运动，
即 时，；
当点 在 上运动，
即 时，
.
综上可知，
课堂小结
1.已学习：分段函数的概念、图象及应用.
2.须贯通：（1）分段函数求值（范围）应先确定求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.常用到分类讨论思想.
（2）明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解.
3.应注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.
（2）作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数则的值为（ ）
A. 11 B. 0 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】选.由题可得,
.
2．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选..
3．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题设知
根据各选项图象知，符合要求.
4．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.令，解得；
令，解得，不符合题意，
所以需要等待的时间为.
5．已知函数若，则（ ）
A. 2 B. 或2 C. 0或2 D. 或0或2
【答案】B
【解析】选.若，则，
解得；
若，则，
解得 或（舍去）.
综上所述，或.
6．（多选）已知函数若，则实数的可能取值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D. 7
【答案】CD
【解析】选.当 时，，，，不合乎题意；
当 时，，，，不合乎题意；
当 时，，，，合乎题意.
7．[（2024·上海卷）]已知函数则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 故.
8．若函数且，则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】,
,解得.
9．设函数若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得 或
解得.
10．（13分）已知函数.
（1） 把函数写成分段函数的形式；（6分）
（2） 画出函数的图象，并写出函数的值域.（7分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
当 时，，
当 时，，
所以
（2） 的图象如图所示：
由图象知所求值域为.
B 能力提升
11．[（2025·虹口期末）]设,,则（ ）
A. 函数的最大值为3，最小值为1
B. 函数的最大值为，无最小值
C. 函数的最大值为，无最小值
D. 函数的最大值为3，最小值为
【答案】C
【解析】选.在同一平面直角坐标系中先画出 与 的图象，的图象如图中实线所示，由图象可知，当 时，取得最大值，此时，所以由，解得（舍去）或，
即当 时，函数 有最大值，无最小值.
12．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为_ _ _ _ _ _ _ _ .（写成区间形式）
【答案】
【解析】当 时，
设，
将 代入得，，
解得，
则，
由，
解得，即；
当 时，设，
将，代入得 解得 则，
由，
解得，即.
综上所述，教师在 时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
13．[（2025·长沙期中）]（13分）已知函数
（1） 求的值；（5分）
（2） 求的最大值.（8分）
【答案】（1） 解：因为，所以.
（2） 当 时，，
当 时，取得最大值；
当 时，，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
则 的最大值为.
综上，的最大值为40.
14．（15分）某超市引进，两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下，类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克.若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克.已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完.假设该超市，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中类有机蔬菜进货千克.假设，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克.
（1） 试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式；（7分）
（2） 若，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：当，
时，；
当，时，.
故
（2） 当，时，由，解得；
当，时，由，解得.
故 的取值范围是.
C 素养拓展
15．函数在上取得最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得
即 则作出函数 图象如下，
根据图象可得当 时，令，解得；
当 时，令，解得，
所以.
阶段提升（五） 函数的概念及其表示（范围：3.1）
题型一 函数的概念与表示法
1．（多选）下列所给图形可以是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.由函数的概念可知，
对于，当 时，每一个 的值对应两个不同的 值，因此不是函数；
对于，当 时，有两个值，因此不是函数；
对于,，每一个 的值对应唯一的 值，因此是函数.
2．已知下列表格表示的是函数，则_ _ _ _ .
0 2
3 2 1 0
【答案】0
【解析】依题意，有.
3．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的图象为折线段，且,,，
故可设
且,,，
所以，，
所以
当 时，不等式 可化为，
即，解得（舍去），
当 时，不等式 可化为，
即，解得.
所以不等式 的解集是.
4．
（1） 已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2） 已知，求函数的解析式.
【答案】
（1） 解：设,，
则，
所以 解得
所以.
（2） 对题中等式用 代替，并联立
可得 可得，
故.
函数是两个数集之间的一种确定的对应关系，当函数的定义域、对应关系确定时，函数唯一确定.分段函数在自变量不同取值范围内对应关系不同，分段函数是一个而不是几个函数.
题型二 函数的定义域、值域
1．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意 解得 且.
2．写出一个定义域为，值域为的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为 的定义域为，值域为，图象关于 对称，
所以定义域为，值域为 的一个函数为.
3．若函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为，所以，，
所以函数 的定义域为，
所以要使函数 有意义，
则有
解得，所以函数 的定义域为.
4．求下列函数的值域.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：由题意得，即，所以函数定义域为，
由二次函数性质可得，
所以 的值域为.
（2） 因为，所以
，当且仅当，即 时，等号成立.
当 趋于 时，趋于 .
故函数的值域为.
函数的定义域、值域的关注点
（1）函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，实际问题还要注意自变量的实际意义.
（2）函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用不等式的性质或函数的图象求值域.
题型三 函数的图象
角度1 平移变换
［例1］ 用平移图象的方式作出的图象，并说明函数的值域.
【解】 首先作出 的图象，如图1，向右平移1个单位得到 的图象，如图2，再向上平移2个单位得到 的图象，如图3，
从图3可以看出 的值域为.
角度2 对称变换
［例2］ 已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：
（2） 函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：
角度3 翻折变换
［例3］ 已知，请作出，的图象，并说明是怎么作出的.
【解】 当 时，，此时 的图象为函数 图象在 轴及右侧图象，
当 时，，此时 的图象为函数 在 轴右侧图象关于 轴对称而得，则函数 的图象如图，
当 时，，此时 的图象为函数 图象在 轴及上方图象，
当 时，，此时 的图象为函数 在 轴下方图象关于 轴对称而得，则函数 的图象如图，
作函数图象的方法
（1）描点法：求定义域、化简、列表、描点、连线.
（2）变换法：熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转变换.
①平移（其中，）
②对称
（3）翻折变换
①下翻上：；
②右翻左：
［跟踪训练］．
（1） 若函数的图象如图所示，函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知的图象为图1，把经过适当的变换得到，其图象为图2，那么用可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 选.函数 的图象关于 轴对称可得函数 的图象，再向右平移2个单位得函数，即 的图象.
（2） 选.的图象关于原点对称，的图象关于 轴对称，而图1到图2 y轴左边的没有变化，右边的是图象沿 轴翻折得到的，故.
阶段小测（五）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列可以作为集合到集合的一个函数的是 （ ）
A. ,,
B. ,,
C. ,,
D. ,,
【答案】D
【解析】选.对于，当 为负数时，中没有元素与之对应，故 不正确；
对于，当 为零时，中没有元素与之对应，故 不正确；
对于，一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故 不正确；
对于，多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故 正确.
2．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】选.依题意可得
解得 且，
则定义域为 且.
3．已知函数，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以 的图象与 的图象关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图象如图，
从而可得 的图象为 选项.
4．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为函数 图象的对称轴为直线，
则当 时，，
当 时，，即.
5．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题可知 的定义域为，
为使 有意义，
得 解得，
所以 的定义域为.
6．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.根据函数图象可知 和 不在函数 的定义域内，
因此 和 是方程 的两根，
可得，
又易知，可得，
即，
所以.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．某工厂12年来某产品总产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示，下列四个选项中正确的是（ ）
A. 前三年总产量增长的速度越来越快
B. 前三年总产量增长的速度越来越慢
C. 第3年后至第8年这种产品停止生产了
D. 第8年后至第12年间总产量匀速增加
【答案】BCD
【解析】选.观察图象知，前三年总产量增长速度越来越慢，即 错误，正确；第 年总产量未发生变化，即停止生产，正确；第 年体现为匀速增长（直线模型），正确.
8．设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”.下列函数中，为“循环函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.若，
则，得 为“循环函数”，故 正确；
若，则，得 不是“循环函数”，故 错误；
若，则，
得 为“循环函数”，故 正确；
若，则，得 为“循环函数”，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．设函数，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，，解得.
10．若函数的最小值为2，则函数的最小值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由于 的图象是由 的图象向右平移2 025个单位所得，所以 的最小值即是 的最小值为2.
11．设，令,，若存在实数，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】易知函数，的值域为，
若函数 的值域为，存在实数，
则 的值域不为，
则函数，的值域为 的真子集.
利用二次函数性质可知当 或 时，函数值为0，如图：
所以根据图象可知，即 的取值范围为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）求下列函数的解析式.
（1） 已知函数，求；（6分）
（2） 已知函数是一次函数，若，求.（7分）
【答案】
（1） 解：令，则，由于,
所以，则，
所以.
（2） 设，
则，
即 解得 或
所以 或.
13．（本小题满分15分）某企业生产某种产品的年固定成本为1 000万元，每生产千件，需另投入生产成本（单位：万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（年利润年总收入-生产成本-固定成本）
（1） 写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式；（7分）
（2） 当年产量为多少千件时，企业所获得的年利润最大？最大年利润是多少？（8分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
当 时，，
所以
（2） 当 时，，
所以当 时，利润 取最大值300，
当 时，，
当且仅当，即 时等号成立，此时利润 取最大值330，
因为，所以该企业年产量为120千件时，所获得的年利润最大，为330万元.
14．（本小题满分15分）已知函数
（1） 求，，的值；（3分）
（2） 若，求的值；（5分）
（3） 作出函数的大致图象，并求时，的值域.（7分）
【答案】
（1） 解：由题知，
，
.
（2） 当 时，，所以；
当 时，，所以；
当 时，，所以 或（舍去）.
综上所述，的值为 或1或.
（3） 函数 的图象，如图所示：
当 时，
，
当 时，
，
综上所述，结合图象可得当 时，的值域为.
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
新课导入
德国著名的心理学家艾宾浩斯对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律.此曲线从左至右是逐渐下降的，我们如何用数学观点进行解释 这就是本节所讲的内容.
学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明函数的单调性．
2.理解函数的单调区间的概念并会求函数的单调区间，会判断函数单调性．
3.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
4.能利用函数的最值解决相关的实际应用问题．
第1课时 函数的单调性
新知学习 探究
一 函数的单调性
下图为某地区24小时内的气温变化图.
思考1．从左向右看，图象是如何变化的？
思考2．气温在哪些区间上升？哪些区间下降？
【答案】思考1 提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降.
思考2 提示：气温在区间 内上升，在区间 和 内下降.
［知识梳理］
1．增函数与减函数
函数 增函数 减函数
定义 设函数的定义域为，区间，如果，
当时，都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数 当时，都有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是③_ _ 的 自左向右看图象是④_ _ 的
【答案】； ； 上升； 下降
2．单调区间
如果函数在区间上单调⑤_ _ 或单调⑥_ _ ,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性,区间叫做的单调区间.
【答案】递增； 递减
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 所有函数在定义域上都具有单调性．（ ）
（2） 因为，所以函数在上是增函数．（ ）
（3） 若为上的减函数，则．（ ）
（4） 若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，由，则该函数在 上单调递增，故 错误；
对于，由，则该函数在 上单调递减，故 正确；
对于，由，则该函数在 上单调递减，在 上单调递增，故 错误；
对于，由，则该函数在 和 上单调递减，故 错误.
3．已知函数，则的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】和
【解析】因为函数
作出函数 的图象，如图所示：
由图可知，函数的单调递减区间为 和.
求函数单调区间的方法
（1）若所给函数是一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间.
（2）若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象,根据图象写出其单调区间．
注意 单调区间必须是函数定义域的子集，当函数在多个单调递增（或递减）区间端点处不满足单调递增（或递减）时，单调区间之间不能用“ ”连接，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
二 定义法证明函数的单调性
［例1］ （对接教材例1）讨论函数在区间上的单调性．
【解】 任取,，且,
，
则，
当 时，，
即，
函数 在区间 上单调递减；
当 时，，
即，
函数 在区间 上单调递增．
利用定义证明函数单调性的步骤
注意判断（证明）函数的单调性的关键是判断差式的正负.
［跟踪训练1］．已知函数，且．
（1） 求；
（2） 根据定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】
（1） 解：因为，
所以，所以.
（2） 证明：由于，
任取，,且，
则，
因为,，
所以，,,
所以，
即，
故 在 上单调递增.
三 函数单调性的简单应用
角度1 比较大小或解不等式
［例2］
（1） 函数在区间上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（1） 对于，因为，所以不能判断,的大小关系，因此 不正确；
对于，因为0,，且函数 在区间 上单调递减，
所以，因此 不正确,正确；
对于，因为，所以不能判断,的大小关系，因此 不正确.
（2） 因为函数 是定义域为 的增函数，且，
得，解得，即 的取值范围为 ,.
母题探究．本例（2）中的条件“”变为“”，其余不变，则的取值范围是 （ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.因为 是定义在 上的增函数，且，
则 解得，所以 的取值范围是,.
利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小，在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
角度2 求参数的取值范围
［例3］ 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 在 上具有单调性，
所以 或，解得 或，即实数 的取值范围是.
已知函数的单调性求参数的值（范围）的方法
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的值（范围）；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围.
［跟踪训练2］．
（1） 函数在上是减函数．则（ ）
A. B. C. D.
（2） 若函数在上单调递增，则下列关系式中成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
（3） 已知函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） B
（2） D
（3）
【解析】
（1） 选.根据题意，函数 在 上是减函数，则有，解得.
（2） 选.因为 在 上单调递增，且，
所以.
（3） 当 时，，所以 在 上单调递增，
当 时，，所以 在 上单调递减，
由函数 在区间 上不具有单调性，可得.
拓视野 复合函数的单调性
若函数在内单调，在内单调，且集合,.
（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数，
（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.
习惯上，我们称为外层函数，为内层函数.
［典例］ 已知函数，.
（1） 判断的单调性；
（2） 求的单调区间.
【答案】
（1） 【解】的定义域为，
设,,且,则
，
所以，即 在 上单调递增.
（2） 由题意，，令，解得 或，
而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 在 上单调递增，
因此函数 的单调递增区间是，单调递减区间是.
解决此类问题遵循以下步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：令内层函数为，借助函数单调性定义或其图象，确定其函数的单调性；
第三步：借助函数单调性定义或其图象，判断外层函数的单调性；
第四步：利用结论同增异减判断.
［练习1］．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，得.又因为 在 上是增函数，在定义域上是增函数，所以 的单调递增区间是.
［练习2］．函数的单调增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
解得，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线，
函数 在 上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.
课堂巩固 自测
1．（教材P85习题3.2T1改编）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. , D. ,
【答案】C
【解析】选.函数 的图象在区间 和 是下降的，在区间 和 是上升的，故该函数的单调递减区间为,．
2．（多选）下列判断中，正确的是（ ）
A. ，且时，，则是减函数
B. 函数是增函数
C. 函数是增函数
D. 函数的单调递减区间为，
【答案】AD
【解析】选.对于，由函数单调性的定义可知 在 上是减函数，故 正确；
对于，由二次函数的性质可知，在 上单调递减，在 上单调递增，故 错误；
对于，由反比例函数单调性可知，在 和 上单调递增，故 错误；
对于，函数 的图象是由 的图象向右平移一个单位得到的，由反比例函数 单调性可知，的单调递减区间是，，故 正确．
3．（教材（3）改编）函数在上单调递增，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由二次函数性质可知，要使函数 在 上单调递增，
只需，解得，
即 的取值范围为.
4．判断并证明函数在区间上的单调性.
解：函数 在 上单调递减，证明如下：
任取，且，
则.
因为，
所以 且，，
所以，
所以，
所以 在 上单调递减.
课堂小结
1.已学习：函数单调性的判断及应用、单调区间的求解.
2.须贯通：明确函数的单调性定义中,的三个特征以及函数的单调区间为定义域子集的性质，利用函数图象求单调区间体现了数形结合思想.
3.应注意：利用函数的单调性求参数的取值范围时不能忽略函数的定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，即，而 在 上是增函数，则.
2．设，则“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.函数 在 上单调递减，则.
所以“”是“函数 在 上单调递减”的充分不必要条件.
3．函数（ ）
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
【答案】C
【解析】选.因为，函数 的图象可由 的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．所以函数 在 上单调递增.
4．已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由，
得，,
因为函数 在 上是减函数，
所以,，
则，，
.
所以，错误，正确，无法判断.
5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
【解析】选.当 时，，在 上单调递增，满足题意；
当 时，函数 图象的对称轴为直线，
由题意得 解得，
综上，.
6．（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于，，在 上是减函数，且，故，，正确，错误；
对于，，因为，，所以，，正确，错误.
7．函数，的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由二次函数的性质可知 图象的对称轴为直线，开口向上，所以当 时，单调递增区间为.
8．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由函数 在 上是减函数，，可得，解得，所以实数 的取值范围是.
9．已知是上的单调函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意，是 上的单调函数，
且，
所以 在 上单调递减.
又因为 可化为，
则，解得，
所以不等式 的解集为.
10．（13分）已知函数,．
（1） 用分段函数的形式表示该函数并作出该函数的图象；（9分）
（2） 写出此函数的单调区间（不需要写过程）（4分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
当 时，，
当 时，，
所以
作出函数图象如下：
（2） 由函数的图象可知，函数 的单调递减区间为，无单调递增区间．
B 能力提升
11．已知函数对任意的,，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得函数 在 上是减函数，
由函数的图象与性质可知,实数 需满足 解得，
所以.
12．函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,和
【解析】由 可得 且，
所以函数 的定义域为，
因为 的图象开口向下，其对称轴为直线，
所以 的单调递减区间为,和，
因为函数 在，上均单调递减，
所以函数 的单调递增区间为,和．
13．[（2025·天津市西青区期末）]（15分）已知函数，不等式的解集为或.
（1） 求函数的解析式；（5分）
（2） 设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明.（10分）
【答案】
（1） 解：由题意得,3是 的两根，
故 解得，
所以.
（2） 在 上单调递增，证明如下：
，
任取，,且，
，
因为 所以，
又因为，,所以,所以,所以,即,所以 在区间 上单调递增.
14．（15分）函数对任意的,，都有，并且当时，．
（1） 求证：是上的增函数；（6分）
（2） 若，解不等式（9分）
【答案】
（1） 解：证明：设,，且，
则，所以．
因此．
所以．故 是 上的增函数．
（2） 因为对任意的,，都有，
所以，所以．
所以．因为 是 上的增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为.
C 素养拓展
15．[（2025·潍坊期中）]已知函数的定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 ,
【解析】因为，所以，
即，即 在 上单调递增.
又，所以.
由，即.
所以.
第2课时 函数的最大（小）值
新知学习 探究
一 函数的最大（小）值
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况.
思考1．该天的最高气温和最低气温分别是多少？
思考2．设该天某时刻的气温为，则在哪个范围内变化？
思考3．从函数图象上看，气温的最大值、最小值在什么时刻取得？
【答案】思考1 提示：该天的最高气温为，最低气温为.
思考2 提示：该天某时刻的气温 的变化范围是.
思考3 提示：气温的最大值在 处取得，气温的最小值在 处取得.
［知识梳理］
最值 最大值 最小值
条件 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
,都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,都有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
,使得③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,使得④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
结论 是函数的最大值 是函数的最小值
【答案】； ； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 任何函数都有最大值或最小值．（ ）
（2） 函数的最小值一定比最大值小．（ ）
（3） 若函数恒成立，则的最大值为1.（ ）
（4） 若是函数的最大值，则是图象上的最高点．（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．（多选）如图是函数,的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减
B. 在上单调递增
C. 在区间上的最大值为3，最小值为
D. 在上有最大值3，有最小值
【答案】BD
【解析】选.对于，，由函数 图象可得，在 和 上单调递减，在 上单调递增，故 错误，正确；
对于，由图象可得，函数 在区间 上的最大值为3，无最小值，故 错误；
对于，由图象可得，函数 在 上有最大值3，有最小值，故 正确.
3．已知函数,则函数的最大值是_ _ _ _ ，值域是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】函数
的图象如图所示,
由图象知，函数 的最大值为2，没有最小值，所以其值域为.
图象法求最值的一般步骤
二 利用函数的单调性求函数的最值
［例1］ （对接教材例5）已知.
（1） 判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2） 求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】
（1） 【解】在 上单调递增.证明如下：
任取,，且，
.
因为,,
所以,,
所以函数 在 上单调递增.
（2） 由（1）知函数 在 上单调递增.
所以 最大值为，最小值为.
（1）利用函数的单调性求最值
首先判断函数的单调性，然后利用单调性求出最值.
（2）函数的最值与单调性的关系
①若函数在区间上单调递减，则在上的最大值为，最小值为；
②若函数在区间上单调递增，则在上的最大值为，最小值为.
［跟踪训练1］．已知函数．
（1） 判断点是否在的图象上，并说明理由；
（2） 当时，的最大值为，最小值为，求的值．
【答案】（1） 解：，所以点 不在 的图象上.
（2） 设，
，
因为，
所以，，
即，则，
所以函数 在区间 上单调递减，
，，
所以.
三 二次函数的最值
［例2］ 已知二次函数的最小值为1，．
（1） 求的解析式；
（2） 若，试求的最小值．
【答案】
（1） 【解】因为 是二次函数，且，
所以 图象的对称轴为直线．
又 的最小值为1，
所以设．
又，所以．
所以．
（2） 由（1）知，函数 图象的对称轴为直线．
①若，则 在 上单调递增，；
②若，即，则 在 上单调递减，；
③若，即，
则．
综上所述，函数 的最小值
求二次函数最值的解决方法及常见类型
（1）求二次函数的最值，主要利用配方法，借助二次函数的单调性求解.
（2）对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
①区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；
②对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；
③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
提醒 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
［跟踪训练2］．已知二次函数,.
（1） 若，求在上的值域；
（2） 求在上的最小值.
【答案】
（1） 解：当 时，.
图象的对称轴为直线.当 时，取得最小值.
当 时，，当 时，.所以 在 上的最大值为4，最小值为0，值域为.
（2） 函数 图象的对称轴为直线.
当 时，函数 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值；
当 时，在 处取得最小值，
所以；
当 时，函数 在 上单调递减，
所以.
综上，在 上的最小值
四 实际应用中的最值问题
［例3］ （对接教材例4）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买斤，每斤的售价降低元；第二种方案，顾客买斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
（1） 分别求函数，的解析式；
（2） 已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
【答案】
（1） 【解】根据题意，，，
，.
（2） 由（1）可得，，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元，
则乙花费 元，
若乙按照方案一购买，则，解得 或，又，
所以，即乙可以购买2斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，则，解得，
所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子.
求解实际应用问题的步骤
［跟踪训练3］．某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为件，当时，年销售总收入为万元；当时，年销售总收入为260万元．该工厂生产并销售完这种产品所得的年利润（单位：万元）关于的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；年利润的最大值为_ _ 万元．（年利润年销售总收入-年总投资）
【答案】； 156
【解析】当 时，；
当 时，.
故．
当 时，，所以当 时，；
而当 时，，
故当 时所得年利润最大，最大年利润为156万元．
即当该工厂的年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润是156万元．
课堂巩固 自测
1．（教材P81T3改编）函数在区间上单调递减，则的最小值是（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】选.由函数 在区间 上单调递减，可知当 时，函数 取最小值为.
2．（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的单调递减区间为
B. 的最大值为2
C. 的最小值为
D. 的单调递增区间为和
【答案】ACD
【解析】选.对于，由题图可知，的单调递减区间为，正确；
对于，当 时，，错误；
对于，当 时，，正确；
对于，由题图可知，的单调递增区间为 和，正确．
3．（教材P86T4改编）将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个，为获得最大利润，则售价应为元.最大利润为_ _ _ _ 元.
【答案】70； 9 000
【解析】设售价为 元，利润为 元，则单个涨价 元，销量减少 个，
销量为 个，
则
，.
故当 时，.
即当售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元．
4．已知函数．
（1） 求函数的最小值；
（2） 若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】（1） 解：设，所以当 时函数的最小值为2.
（2） 在 上单调递增，
因为 的图象是对称轴为直线，开口向上的抛物线，所以，
，因为，
所以，所以．
课堂小结
1.已学习：（1）函数最大（小）值的概念.
（2）求解函数最值及最值的应用.
2.须贯通：利用函数的单调性、图象求最值，体现了分类讨论、数形结合的数学思想.
3.应注意：利用单调性求最值时，函数的定义域优先考虑.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】选.因为 在 上单调递减，所以.
2．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值是（ ）
A. 2 B. C. 2或 D. 0
【答案】C
【解析】选.方法一：当 时，由题意得，则；
当 时，，则；
当 时，不满足题意.
综上，.
方法二：令，,由题意得，即，化简得，解得.
3．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.函数 图象的对称轴为直线，
由函数 在区间 内存在最大值，得，
解得，
所以 的取值范围是.
4．某大型家电商场在一周内计划销售，两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，且该家电商场进货的台数不高于的台数的2倍，且进货至少2台，而，的售价分别为12 000元/台和 12 500元/台，若该家电商场每周进货，的总数为6台，所进电器都能销售出去，则该商场在一周内销售，电器所得总利润（利润售价-进价）的最大值为（ ）
A. 1.2万元 B. 2.8万元 C. 1.6万元 D. 1.4万元
【答案】D
【解析】选.设该家电商场在一周内进货 的台数为，则一周内进货 的台数为，设该商场在一周内销售，电器的总利润为 万元，由题意可得 解得，且，
，函数 在 上单调递增，故（万元）.故选.
5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，，,当且仅当 时取等号，
由 对任意实数 恒成立，得，解得，
所以实数 的取值范围为.
6．（多选）已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A. 若，则
B. 函数在定义域内是减函数
C. 若，则的值域是
D. 若，则函数有最小值也有最大值
【答案】AD
【解析】选.对于，由，可得，
解得，故 正确；
对于，的定义域为，
所以 在 上单调递减，且，
在 上单调递减，且，
故 在 上不是单调函数，故 错误；
对于，由 可得，当 时，
，
当 时，，所以 的值域是，
当 时，无意义，故 错误；
对于，当 且 时，
，
当 且 时，，
所以若，则函数 有最小值也有最大值，故 正确.
7．已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】令，则，则，
故,则 在区间 内单调递增，
则，
解得，则，
则．
8．函数在上的最大值为1，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为 的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到，
即 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以，解得.
9．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的图象如下，
当 时，令，
得（舍去），，
当 时，令，
得，（舍去），
结合图象可得.
10．（13分）已知函数，点，是图象上的两点.
（1） 求，的值；（4分）
（2） 求函数在上的最大值和最小值.（9分）
【答案】
（1） 解：因为点，是 图象上的两点，
所以 解得
（2） 由（1）得，设，
则
，
因为，
所以，，
则，即，
所以函数 在 上单调递减.
故，.
B 能力提升
11．（多选）若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】选.因为函数 的图象是开口向上，以直线 为对称轴的抛物线，所以函数 在区间 上单调递减，上单调递增.
当 时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为，符合题意；
当 时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为，符合题意；
当 时，函数的最小值为，
因为，
所以最大值为，所以函数的值域为，符合题意；
当 时，最小值为，
因为，
所以最大值为，得函数的值域为，
综上可得区间 不可能为.
12．，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】在同一平面直角坐标系内作出直线，，，
由 取，，三个函数值中的最小值，
得 的图象为图中实线构成的折线图，
则 的最大值即为 图象的最高点对应的纵坐标值，
观察图象知，图象的最高点是直线 与 的交点，
由 得 因此 图象的最高点是，
所以 的最大值为2.
13．（13分）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（单位：台）与零售价（单位：元）间满足：，已知第1，2月份销售情况如表所示：
月份 1月 2月
零售价元 6 000 6 500
月销售量台 60 55
（1） 若厂家某月将该按摩椅定价为6 700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？（6分）
（2） 若厂家生产一台按摩椅的成本为4 000元，则该厂家应该如何定价才能使月利润最大？最大利润是多少？（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知，将,和,分别代入，
得
解得
故．
当 时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅．
（2） 由，得,
设月利润为 元，则，，
当 元时，，故当该按摩椅定价为8 000元/台时，月利润最大，最大利润为160 000元．
14．（15分）已知二次函数,,.
（1） 求函数的解析式；（4分）
（2） 若函数在区间上不单调，求的取值范围；（5分）
（3） 求函数在区间上的最大值（6分）
【答案】
（1） 解：因为二次函数 满足，且，
故函数图象的对称轴为直线，且 的最大值为16，
可设函数,，
根据，解得，
故．
（2） 函数 图象的对称轴为直线，
要使函数 在区间 上不单调，
则，
即，
解得，所以 的取值范围为.
（3） 由（1）知，函数 图象的对称轴为直线，且开口向下，
当 时，函数 在 上单调递减，此时最大值；
当，即 时，函数 在 上单调递增，
此时最大值；
当，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时最大值；
综上所述，
C 素养拓展
15．设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】选.,,当,即 时，单调递减，在 上的最小值；
当，即 时，,；
当,即 时，单调递增，在 上的最小值为，
因此
可得当 时，取得最大值为1．
3.2.2 奇偶性
新课导入
生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧．
对称美在数学中更是体现得淋漓尽致，今天就让我们一起来探究函数图象中的对称美吧．
学习目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．
2.能判断函数的奇偶性，运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题．
3.会根据函数的奇偶性求函数值、参数或函数的解析式．
4.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决简单的综合问题．
第1课时 函数奇偶性的概念
新知学习 探究
一 函数奇偶性的概念
思考1．二次函数的图象关于什么对称？
提示： 轴.
思考2．反比例函数的图象关于哪一点对称？
提示：原点.
［知识梳理］
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数的定义域为，如果,都有
结论 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _
图象特点 关于③_ _ _ _ _ _ 对称 关于④_ _ 对称
【答案】； ； 轴； 原点
［例1］ （对接教材例6）判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 【解】方法一:函数 的定义域为，关于原点对称，且，所以函数 为偶函数．
方法二:其图象如图所示，
可以看出，函数 在 上的图象关于 轴对称，所以函数 是偶函数.
（2） 由题意得 解得，
即函数 的定义域为，
关于原点对称，
则，
所以函数 既是奇函数也是偶函数．
（3） 由
得 且，
即函数 的定义域为，关于原点对称，且．
因为，，所以函数 是奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
注意 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据的取值范围代入相应的函数解析式.
［跟踪训练1］．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ，；
（3）
【答案】
（1） 解：因为，
所以 解得，所以 的定义域为，不关于原点对称，
所以 既不是奇函数也不是偶函数.
（2） 函数 的定义域为，关于原点对称．
又因为，所以 是偶函数．
（3） 方法一:函数 的定义域关于原点对称.当 时，，
则；
当 时，，则．
综上，对任意，都有，所以 为奇函数.
方法二:画出函数 的图象如图所示，
从图象可以看出，函数 在定义域上的图象关于原点对称，
即 为奇函数.
二 奇（偶）函数的图象特征
［例2］ 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示.
（1） 请补全函数的图象；
（2） 根据图象写出函数的单调递增区间.
【答案】
（1） 【解】由题意，函数 的图象如图所示.
（2） 由图可知，函数 的单调递增区间为,.
母题探究．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：（1）由题意，函数 的图象如图所示.
（2）由图可知，函数 的单调递增区间为.
（1）利用奇偶性作函数图象的步骤：
①确定函数的奇偶性；
②根据奇（偶）函数的图象关于原点轴对称作出函数在或上的图象.
（2）根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
［跟踪训练2］．图中给出了奇函数的局部图象，已知的定义域为.
（1） 求的值；
（2） 试补全其图象；
（3） 比较与的大小．
【答案】（1） 解：是定义在 上的奇函数，故.
（2） 图象如图所示.
（3） 由函数图象可以看出 在 上单调递增，故.
三 函数奇偶性的简单应用
角度1 利用奇偶性求函数值
［例3］
（1） 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D. 3
（2） 已知函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 7
【解析】
（1） 由题意可知，
因为函数 是奇函数，
所以.
（2） 令，
则 是奇函数，
所以，
又，所以，
又，
所以.
利用奇偶性求值的解题策略
若自变量的取值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值（区间）转化为已知的值（区间），必要时需构造奇（偶）函数便于求值.
角度2 利用奇偶性求参数
［例4］
（1） [（2024·上海卷）]已知，,且是奇函数，则_ _ _ _ ．
（2） 已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） 0
（2） 或1
【解析】
（1） 因为 是奇函数，
故,
即，故.
（2） 由题知，函数 的定义域关于原点对称，
即，
解得 或.
经验证，满足.
所以 或.
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
（1）定义域含参数：奇、偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数.
（2）解析式含参数：根据或列式，比较系数即可求解.
［跟踪训练3］．
（1） 已知函数,是偶函数，则（ ）
A. 0 B. C. D. 1
（2） 若函数为奇函数，则_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 3
【解析】
（1） 选.因为函数,是偶函数，
所以，解得.
由，
得，解得.
所以.
（2） 设，则，
则，，
因为 是奇函数，
则，
即，
可得，
即
所以.
课堂巩固 自测
1．函数的图象关于（ ）
A. 轴对称 B. 直线对称
C. 原点对称 D. 直线对称
【答案】C
【解析】选.因为 定义域为，关于原点对称，且，所以 为奇函数，函数图象关于原点对称.故选.
2．（多选）（教材P85T2改编）下列函数中，是奇函数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】选.易知 是奇函数，是奇函数，是偶函数，不是奇函数，故，正确，错误；
令，其定义域为，关于原点对称.因为，所以 是奇函数，即 是奇函数，故 正确.
3．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】方法一：在 中，令，得，又，，所以.
方法二：由题意可得，，所以.
4．已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示．
（1） 请在坐标系中补全的图象；
（2） 求不等式的解集．
【答案】
（1） 解：因为 是定义在 上的奇函数，所以图象关于原点对称，补全如图所示.
（2） 由 得 或
所以由图可知 或，
故不等式 的解集为.
课堂小结
1.已学习：函数奇偶性的概念、奇（偶）函数的图象特征.
2.须贯通：函数的奇偶性是一个函数本身具有的“整体”性质，既可以通过定义判断，也可以根据函数图象的对称性判断.
3.应注意：奇函数、偶函数的定义域都关于原点对称

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