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第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
新课导入
公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，该学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
学习目标
1.理解次方根、根式的概念．
2.能正确运用根式运算性质化简求值．
3.会对根式和分数指数幂进行转化．
4.掌握有理数指数幂的运算性质．
新知学习 探究
一 次方根与根式
思考1．由和，我们可得到9的平方根是什么？由以及，我们可以得到125和的立方根分别是什么？
提示：9的平方根是3和，125的立方根是5，的立方根是.
思考2．实数的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？
提示：当实数 时，没有平方根，当实数 时，平方根是0，当实数 时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根.
［知识梳理］
1．次方根
定义 一般地，如果，那么叫做的①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其中，且
性质 是奇数 仅有一个值，记为②_ _ _ _ _ _ _ _
是偶数 有两个值，且互为相 反数，记为③_ _ _ _ _ _ _ _
在实数范围内不存在
【答案】 次方根； ；
提醒 0的任何次方根都是0，负数没有偶次方根.
2．根式
（1）定义：式子④_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做根式，这里叫做⑤_ _ _ _ _ _ ，叫做⑥_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）根式的性质，且
⑦_ _ _ _ ；
【答案】； 根指数； 被开方数； ；
提醒（1）是一个恒有意义的式子，不受的奇偶限制.
（2）其中实数的取值由的奇偶决定，要保证有意义，其运算结果恒等于.
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 任意实数的奇次方根只有1个．（ ）
（2） 的运算结果是.（ ）
（3） 当时，有意义．（ ）
（4） .（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．100的平方根为_ _ _ _ _ _ ;已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】；
【解析】因为，所以100的平方根为；因为，所以.
3．（对接教材例1）化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） 当 时，.
（4） .
当 时，；
当 时，.
所以当 时，；
当 时，.
根式化简与求值的思路及注意点
（1）思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.
（2）注意点：①正确区分与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论.
二 分数指数幂
思考．观察下列各式，你能得出什么结论？
①；
②.
提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
［知识梳理］
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂 ①_ _ _ _ _ _ _ _
负分数指数幂 ②_ _ _ _ _ _ _ _
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂③_ _ 意义
【答案】； ； 没有
2．有理指数幂的运算性质
（1）④_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
（3）.
【答案】；
［例1］ 用根式或分数指数幂的形式表示下列各式其中.
（1） ;
（2） ;
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3） .
（4） .
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数化为分数指数的分母，
被开方数（式）的指数化为分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
［跟踪训练1］．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.对于，，故 错误；对于，，故 正确；对于，，故 正确；对于，，
且 无意义，故 错误.
三 有理数指数幂的综合运算
［例2］ 求值或化简：
（1） 计算：；
（2） 化简（用分数指数幂表示）.
【答案】（1） 【解】.
（2） .
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.
（2）在明确根指数的奇偶（或具体次数）时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算.
（3）如果化简求值的结果中含有字母，一般用分数指数幂的形式表示.
［跟踪训练2］．求值或化简：
（1） 计算：；
（2） 化简：.
【答案】
（1） 解：
.
（2）
.
课堂巩固 自测
1．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，所以
2．（多选）（教材P107T1改编）已知,则下列各等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.，，，，则，错误，，正确.
3．若有意义，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 有意义，所以 解得 且，
所以 的取值范围为.
4．（教材P107T2，T3改编）化简求值:
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 解：.
（2） .
课堂小结
1.已学习：次方根、根式的概念与性质；分数指数幂；有理数指数幂的综合运算.
2.须贯通：（1）根式与分数指数幂之间的相互转化；
（2）进行根式与分数指数幂的化简与运算时，根式先转化为指数幂，其次确定运算层次（先乘方、再乘除、后加减），最后按照指数幂运算性质进行变形计算.
3.应注意：（1）与的区别；
（2）对于，切记为偶数时，应满足.
课后达标 检测
A 基础达标
1．计算（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】选.
2．将写成根式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选..故选.
3．已知，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以.
4．若，，则（ ）
A. 24 B. 12 C. D.
【答案】A
【解析】选..
5．瑞士数学家伯努利提出了一个重要的不等式：设实数,，则，该不等式被称为“伯努利不等式”.当比较接近于0时，，常被用于估值问题，则方程的根的近似值为（结果保留四位小数）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.方程 的根为.
6．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】BD
【解析】选.因为，又，所以，
故，又，
所以 或.
7．若，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用的分数指数幂表示）
【答案】
【解析】因为，所以.
所以，即.
8．求值：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
9．若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知
，
又,,所以 且，即 且，
所以.
10．（13分）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）
（1） ；（4分）
（2） ；（4分）
（3） ．（5分）
【答案】
（1） 解：
.
（2） .
（3） ．
B 能力提升
11．若正数，满足，则的最小值为 （ ）
A. 6 B. 9 C. 27 D. 81
【答案】B
【解析】选.因为,，所以，当且仅当 时取等号，所以，则 的最小值为9.
12．（多选）已知，则的取值可能是 （ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】BCD
【解析】选.因为，
当，即 时，，满足题意;
当，即 时，，满足题意;
当 且 时，由 可得，所以，，满足题意.
所以 的取值可能是2或 或0.
13．若，,则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由题意，，，
所以，
又，,
所以原式.
14．（13分）求下列各式的值:
（1） ；（5分）
（2） 已知,,，化简.（8分）
【答案】（1） 解：由题意可得.
（2） 因为,
所以,,
当 是奇数时，
原式;
当 是偶数时，原式.
综上所述，且，.
C 素养拓展
15．（15分）
（1） 若，，为正实数，，，其中,,,求;（7分）
（2） 已知,，且，试探究：与是否相等？证明你的结论.（8分）
【答案】
（1） 解：设，
则，，，，
因此.
（2） 与 相等，证明如下：
由 知，，
则，
即 与 相等.
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
新课导入
上节我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
学习目标
1.了解无理数指数幂及其运算性质．
2.通过对实数指数幂，且，含义的认识，了解指数幂的拓展过程．
3.掌握实数指数幂的运算性质．
新知学习 探究
一 无理数指数幂的运算
思考1．阅读教材探究，思考是否是一个确定的实数？
提示：当 的不足近似值 和过剩近似值 逐渐逼近 时，和 都趋向于同一个数，它是一个确定的实数.
思考2．能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？
提示：可以.
［知识梳理］
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（， 为无理数）是一个确定的_ _ .
【答案】实数
2.实数指数幂的运算性质
（1）.
（2）.
（3）.
［例1］ 计算下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
关于无理数指数幂的运算
（1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
（2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
［跟踪训练1］．计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
二 实数指数幂的综合运用
［例2］ 已知，求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】，两边平方得，所以.
（2） 设，两边平方得，
因为，所以，即.
母题探究1．本例的条件不变，求的值.
解：由 平方可得，所以.
母题探究2．本例的条件不变，求的值.
解：设，
两边平方得，
因为，所以，
即.
又，所以，.
利用整体代换法求分数指数幂
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：
，，.
［跟踪训练2］．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】
（1） 解：将 两边平方，
得，即.
（2） 将 两边平方，得，即.
,
所以.
三 实际问题中的指数运算
［例3］ 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）
A. 0.015克 B. 克
C. 0.925克 D. 克
【答案】D
【解析】设每年减少的比例为，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余 克，依题意得，所以，3年后剩余 克，将 的值代入，得结果为.
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
［跟踪训练3］．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为，第二年的增长率为，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得，
解得.
课堂巩固 自测
1．[（教材P109练习T1改编）]计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选..
2．（多选）已知，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为，即，所以，所以 或.
3．[（教材P110T6改编）]某口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设这一年该口罩厂产量的月平均增长率为，去年12月份的产量为1.
因为今年12月份的产量是去年12月份产量的 倍，所以，
即，即.
4．计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 解：原式．
（2） 原式
.
课堂小结
1.已学习：无理数分数指数幂及其性质；实数指数幂的综合运用；实际问题中的指数运算.
2.须贯通：有理数指数幂扩充到实数指数幂，使指数幂的运算性质得到进一步扩充，体现了类比的思想方法；解决条件求值问题，要从整体上把握已知条件和所求代数式之间的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值.
3.应注意：用整体代换法解决分数指数幂的计算时，不能挖掘隐含条件，导致错误.
课后达标 检测
A 基础达标
1．的值为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】选.
2．已知，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】选.因为，
所以,所以，解得.
3．为实现碳达峰、碳中和，要求2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（ ）
A. 0.036 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低为，则2025年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，故，解得．
4．设，，已知，，，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】选.因为,
所以,
又，则，
所以，
所以，
解得.
5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】D
【解析】选.由题意，，所以，
，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为24.
6．（多选）下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 已知，则
【答案】BC
【解析】选，故 错误；，故 正确；，故 正确；因为，所以，则，故 错误.故选.
7．若，,则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】原式．
8．使等式成立的一个实数的值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】1（答案不唯一，即可）
【解析】由已知，
即，
则，即.
9．若，且，则的值为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，且，
所以，
所以
.
10．（13分）已知，求的值.
解：因为，
所以
，
又因为
，
所以原式.
B 能力提升
11．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长与公转周期有如下关系：，其中为太阳质量，为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍
【答案】B
【解析】选.设火星的公转周期为，长半轴长为，水星的公转周期为，长半轴长为，则，
且
由 得，
所以，即，故火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的4倍.
12．（多选）已知，则，满足的关系是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.由，则，，
即，，两式相乘得，
所以，则，正确，错误；
由，得，
则，错误，正确.
13．（13分）已知，是方程的两根，且，求的值.
解：因为，是方程 的两根，所以，且.
所以.
因为，所以，所以，
所以.
14．（15分）化简并求值：
（1） 若，，求的值；（7分）
（2） 设，求的值．（8分）
【答案】
（1） 解：原式
.
当，时，
原式.
（2） 因为，
所以，
所以
．
所以．
C 素养拓展
15．对于正整数,,和非零实数,,,，若，,则,,的值分别为_ _ _ _ .
【答案】2,5,7
【解析】因为,所以.同理可得,，
所以，又，，
所以，又,,为正整数，且,所以,,均不为1，
又因为，所以,,.
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
新课导入
百万富翁杰米与韦伯签订了一份奇怪的合同：韦伯每天支付杰米10万元，而杰米只需第一天给韦伯1分钱，以后每天给的钱是前一天的2倍.合同生效了，杰米由一开始的欣喜若狂，到一个月之后的被迫破产，你明白其中的道理吗？这节课就让我们学习内含的指数函数吧！
学习目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性．
2.了解指数增长型和指数衰减型函数模型在实际问题中的应用．
新知学习 探究
一 指数函数的概念
同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张纸连续对折，设折叠次后对应的层数为.
思考1．折叠5次后有多少层？
思考2．折叠次后与之间存在什么关系？
思考3．对折后的面积（假设原面积为1）与折叠的次数有什么关系？
【答案】思考1 提示：（层）.
思考2 提示：.
思考3 提示：.
［知识梳理］
一般地，函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.
点拨 （1）指数函数的特征：底数，且.
（2）指数幂的系数为1.
【答案】
［即时练］
1．（多选）下列函数中，是指数函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.形如，且 形式的函数为指数函数，满足条件的为，.
2．若函数是自变量是指数函数，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】,
【解析】因为函数 是自变量 是指数函数，所以
解得 且.
3．若函数,且是指数函数，则_ _ _ _ ,_ _ _ _ .
【答案】4； 4
【解析】因为 是指数函数，
所以 解得
判断一个函数是否为指数函数的方法
（1）底数，且.
的系数是否为1.
（3）指数是否符合要求.
二 求指数函数的解析式或求值
［例1］ （对接教材例1）已知指数函数满足，求和.
【解】 因为 是指数函数，
所以可设,且，
所以，
解得（负值已舍去），
于是.
所以，
.
（1）求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式.其中,掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
（2）求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
［跟踪训练1］．已知指数函数的图象过点，则_ _ _ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】设，且，
由函数 的图象过点，
得，又，解得，
所以，则.
三 指数型函数的实际应用
［例2］ （对接教材例2）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，
即，即.
关于函数模型 的构建与求解
（1）函数,且；,且是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型,一般当时,若,则刻画指数增长变化规律;若,则刻画指数衰减变化规律.
（2）解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
［跟踪训练2］．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据复利计算利息的方式可知，当存期数为1时，本利和为,
当存期数为2时，本利和为，
……
所以当存期数为 时，本利和为.
课堂巩固 自测
1．（教材P115 T1改编）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为指数函数的形式为,且，所以 是指数函数，即 正确.而选项，，中的函数都不满足要求，故，，错误.
2．（多选）若指数函数的图象过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.设，且，则，解得，所以，所以.
3．若函数为指数函数，则_ _ _ _ ．
【答案】2
【解析】因为函数 为指数函数，
所以，且，解得.
4．（教材P115 T3改编）在某个时期，某湖泊中的蓝藻数量为，且每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过天后，该湖泊的蓝藻数与的函数关系式是什么？
解：由题意得，
所以经过 天后该湖泊的蓝藻数量约为.
即湖泊的蓝藻数 与 的函数关系式是.
课堂小结
1.已学习：指数函数的概念、求指数函数的解析式以及指数型函数模型的应用.
2.须贯通：（1）待定系数法求指数函数的解析式；（2）函数用来刻画指数增长或指数衰减变化规律时，注意底数与1的关系.
3.应注意：指数函数的底数的限制条件：,且.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知指数函数的图象过点，则（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 27
【答案】C
【解析】选.设,且，将 代入得，
解得，所以，
所以.
2．若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】选.点 在函数 的图象上，所以，即，所以，解得，所以.故选.
3．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.设 且，则，解得 或（舍去），
所以，令，又，所以.
4．某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减.现医生为某病人注射了该药物，那么小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例递减，给某病人注射了 该药物，小时后病人血液中这种药物的含量为.
5．已知函数若，则实数的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】选.因为，且，所以，
若，则，不满足题意，
故，则，解得，满足题意.
所以实数 的值为.
6．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】选.设指数函数 且，于是，即，因此，函数，正确，错误；显然，正确；
又，正确.
7．已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知，设，且，又函数图象过点，即，解得，所以.
8．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可知，由于 为奇函数，所以.
9．已知指数函数和幂函数的图象都过点,，若，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】依题意，设 且，，
代入,得，，,
解得,.
所以，，由，，
解得，,所以.
10．（13分）已知函数，且的图象过点,.
（1） 求的值；（6分）
（2） 计算.（7分）
【答案】
（1） 解：由已知可得
解得，则，
所以.
（2） 由（1）得原式.
B 能力提升
11．某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度（单位：）与时长（单位：）的关系为且，为最初污染物浓度．如果前消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知，当 时，，可得．设，则，解得，因此，污染物消除至最初的 还需要．
12．（多选）设指数函数,且，则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.对于，，，
所以，故 正确；
对于，，，
所以，故 正确；
对于，，，
所以，故 正确；
对于，，
，
所以，故 错误.
13．（13分）已知函数是指数函数．
（1） 求的表达式；（6分）
（2） 判断的奇偶性，并加以证明.（7分）
【答案】
（1） 解：因为函数 是指数函数，所以，且，
可得 或（舍去），
所以.
（2） 是偶函数,
证明如下：，，关于原点对称，
因为，
所以 是偶函数．
14．（15分）退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜地造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，2025年1月底的生物量为，到了4月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且与．
（1） 分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式；（7分）
（2） 若测得2025年5月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适．（8分）
【答案】
（1） 解：若，由题意有
解得
所以，
若，由
解得 所以.
（2） 若用，
当 时，,若用，
当 时，,
所以用模型 更合适.
C 素养拓展
15．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码的系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文.现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数.具体传输过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”.若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】设加密密钥为幂函数 为常数，则由题意得，所以,即.
设解密密钥为指数函数，且，则，所以,即，故接受方得到明文“9”，则，所以,则,所以，即发送方发送的明文为4.
4.2.2 指数函数的图象和性质
新课导入
《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完.形象地说明了事物具有无限可分性.你能从函数的角度说明这个问题吗？这就是我们这节所讲的指数函数的图象与性质问题.
学习目标
1.掌握指数函数的图象和性质．
2.会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题．
3.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式．
4.能解决与指数函数有关的综合问题．
第1课时 指数函数的图象和性质
新知学习 探究
一 指数函数的图象和性质
思考1．给出指数函数与，如何作出它们的图象？
提示：依次进行列表、描点、连线三个步骤，作出下列图象：
思考2．比较指数函数与的图象,有哪些相同点和不同点？两个函数之间有什么联系？
提示：相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性均相同，都经过点；
不同点：单调性、函数值的变化不同；
联系：与 这两个底数互为倒数的函数图象关于 轴对称.
思考3．再选取底数，，，，在同一个直角坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？
提示:
共同的性质：（1）当 时，函数在 上单调递增；当 时，函数在 上单调递减.（2）函数的图象恒过点.
［知识梳理］
类别
图象
性质 定义域
值域 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
最值 无最值
过定点 过定点②_ _ _ _ _ _ _ _ ，即③_ _ 时，④_ _
函数值的变化 当时，⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ；当时，⑥_ _ _ _ _ _ 当时，⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ；当时，⑧_ _ _ _ _ _
单调性 在上是⑨_ _ _ _ _ _ 在上是⑩_ _ _ _ _ _
奇偶性 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
对称性 指数函数与的图象关于 _ _ _ _ _ _ 对称
【答案】； ； 0； 1； ； ； ； ； 增函数； 减函数； 非奇非偶函数； 轴
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 若指数函数是减函数，则.（ ）
（2） 对于任意的，一定有.（ ）
（3） 指数函数的图象一定在轴的上方．（ ）
（4） 且是单调函数．（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） √
2．函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，，由于函数 是增函数，图象应该呈上升趋势，所以，错误；对于，因为，所以直线在 轴上的截距大于1，故 错误.
3．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线_ _ _ _ ．（填曲线序号）
【答案】②
【解析】由指数函数的单调性可知，函数 和 的图象分别是曲线③④中的一条，当 时，，所以曲线③是函数 的图象，
函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以 的图象是曲线②.
解决指数函数图象问题的关注点
（1）熟记当底数和时，图象的大体形状.
（2）在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
二 指数函数图象的简单应用
［例1］
（1） 函数,且的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
（2） 若函数在上单调递增，则实数的最小值为_ _ _ _ ．
【答案】（1） B
（2） 3
【解析】
（1） 令，
则，，
所以图象恒过定点.
（2） 因为
作函数 的图象如图，
结合图象可知，函数 在 上单调递增，
所以，则实数 的最小值为3.
与指数函数相关的图象问题
（1）定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
（2）平移问题：对于横坐标满足“左加右减”，对于纵坐标满足“上加下减”.
（3）对称问题：的图象由的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，在轴及上方的部分不变得到；的图象由的图象在轴及右侧的部分不动，轴右侧的部分关于轴对称得到轴左侧的部分.
［跟踪训练1］．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.当 时，的图象是指数函数图象的右半部分且单调递增，的图象关于 轴对称.
三 与指数函数有关的值域问题
角度1 定区间上的值域问题
［例2］
（1） 函数在区间上的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
（2） 若函数且在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 易知函数 在区间 上单调递减，所以其最大值为.
（2） 对实数 分类讨论如下：
①当 时，单调递增，故 解得；
②当 时，单调递减，无解.
综上可知.
关于定区间上的值域问题
（1）求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分,两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可.
（2）特别地，如果是求最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是单调递减，最值总在端点处取到.
角度2 复合函数的值域问题
［例3］ 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，
则，
因为 在 上单调递减，
，所以，
故函数 的值域为.
与指数函数有关的复合函数的值域的求法
（1）求形如的值域，先求出的值域，再结合的单调性求出的值域.若的取值范围不确定，则需对进行分类讨论.
（2）求形如的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域.
［跟踪训练2］．
（1） 若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2） 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
（3） 函数在上的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） B
（3）
【解析】
（1） 选.易知 在 上单调递增，
所以当 时，取得最小值为4；
当 时，取得最大值为，
所以，解得.
（2） 选.函数 的定义域为，
又当 时，，
所以，
当 时，，
所以，
所以函数 的值域为.
（3） 设，由于，
所以，
所以，
根据二次函数的性质可知，
当，即 时，取得最小值为2，
当，即 时，取得最大值为，
所以 在 上的值域为.
课堂巩固 自测
1．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以，所以．
2．（多选）若函数且的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
选.由题意可知，函数大致图象如图所示，
若，则 的图象必过第二象限，不符合题意，所以．
当 时，要使 的图象过第一、三、四象限，则，解得．
3．函数，且的图象经过定点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（填坐标）
【答案】
【解析】令，则，所以定点的坐标为.
4．（教材P120T9改编）已知函数
（1） 当时，求的值域；
（2） 若的最大值为9，求实数的值.
【答案】
（1） 解：令，原函数化为，当 时，，
所以，故 的值域为.
（2） 由（1）知，若 的最大值为9，令，则 的最小值为，又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，即函数 在 处取最小值，即，所以.
课堂小结
1.已学习：指数函数的图象和性质、指数函数图象的简单应用、与指数函数有关的值域问题.
2.须贯通：借助指数函数的图象直观研究指数函数的性质，体现了数形结合的思想；用换元法解决复合函数的值域问题，体现了转化与化归的数学思想.
3.应注意：形如函数，且过定点的问题，要使.
课后达标 检测
A 基础达标
1．指数函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知，即.
2．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由指数函数的性质，可得，
所以，即 的值域是.
3．函数且的图象恒过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.令 得，所以，所以 的图象恒过定点.
4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.根据题图可知，函数图象关于直线 对称，且当 时，，故排除，两项；
当 时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于 项，当 时，单调递减，故排除 项.
5．已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】选.当 时，方程组无解；
当 时，
解得
所以.
6．（多选）函数，且的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.函数 的定义域为，且，
则 是偶函数，错误；．
当 时，在 上单调递增，且，正确，错误；
当 时，在 上单调递减，
且，正确．
7．函数在上的最小值是_ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为函数 是 上的增函数，且，
则当 时，函数 取得最小值，最小值为.
8．若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】根据指数函数的图象可知，要使函数 的图象经过第一、二、三象限，
则 且，
即 且，
解得，故实数 的取值范围为,.
9．函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，因为，
所以，
则，
令，，
所以当 时，取得最小值，
且，又，，
所以，即函数 的值域是.
10．（13分）已知函数，且．
（1） 若函数的图象过和两点，求的解析式；（4分）
（2） 若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值．（9分）
【答案】
（1） 解：，，又，且，解得，，
所以.
（2） 当 时，在区间 上单调递减，
此时，，
所以，
解得 或（舍去）；
当 时，在区间 上单调递增，
此时，
，
所以，
解得 或（舍去）.
综上，或.
B 能力提升
11．[（2025·徐州期末）]已知函数的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】选.由 得，又当 时，，所以定点为，所以，
，
当且仅当 时，等号成立.
12．若函数当时，有最小值，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由指数函数和二次函数图象可得 在 上的图象如图所示，
显然当 时，，此时 有最小值；
当 时，，此时 没有最小值，
所以实数 的取值范围为.
13．（13分）已知函数.
（1） 判断的奇偶性；（5分）
（2） 判断在上的单调性，并用定义证明.（8分）
【答案】
（1） 解：易知 的定义域为，关于原点对称，
，
可得，
所以 是偶函数.
（2） 在 上单调递增，
证明如下：任取，则
，
因为，所以，
另外，
因此，
可得，
即，
所以 在 上单调递增.
14．（15分）已知函数其中，为常量，且，的图象经过点，．
（1） 求函数的解析式；（5分）
（2） 若不等式在实数上恒成立，求实数的取值范围．（10分）
【答案】
（1） 解：因为函数 的图象过,，
则，，
解得，或，（舍去），
故.
（2） 因为，
即，
令，，则，
所以，
设，，则，所以，
故实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．若直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】当 时，作出函数 的图象，如图1，此时，因此直线 与函数 的图象只有一个交点，不合题意；
当 时，作出函数 的图象，如图2，
若直线 与函数 的图象有两个交点，则，
解得．
综上所述，实数 的取值范围是,.
第2课时 指数函数及其性质的应用
新知学习 探究
一 利用单调性比较大小
［例1］ （对接教材例3）比较下列各组数的大小：
（1） 和；
（2） 和；
（3） 和．
【答案】（1） 【解】函数 在 上是增函数，，所以.
（2） 函数 在 上是减函数，，所以．
（3） 由指数函数的性质，，又，所以．
比较幂值大小的方法
（1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
［跟踪训练1］．
（1） 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 设，则这三个数，，由小到大的排列顺序为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由函数 在 上单调递增，
得，即，
又函数 在 上单调递增，
则，即.
综上所述.
（2） 因为 在 上单调递减，且，所以，
因为，所以幂函数 在 上单调递增，由 得，
因为，所以指数函数 在 上单调递减，由 得，所以.
二 简单的指数不等式的解法
［例2］
（1） 解不等式：；
（2） 已知,且，求的取值范围.
【答案】
（1） 【解】原不等式可化为，由函数 在 上是增函数，可得，解得，
故原不等式的解集为.
（2） ①当 时，函数 在 上是减函数，所以，即，
解得 或；
②当 时，函数 在 上是增函数，所以，即，解得.
综上所述，当 时，的取值范围为 或；当 时，的取值范围为.
母题探究．本例（1）变为“若不等式恒成立”，求实数的取值范围.
解： 因为不等式 恒成立，即 恒成立，且函数 在 上为增函数，
所以 恒成立，
即 恒成立，
当 时，恒成立，符合题意；
当 时，则 解得.
综上可得，
即实数 的取值范围是.
（1）利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
（2）解不等式，且的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即或.
［跟踪训练2］．不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 可得，可得 或，
又因为函数 为 上的增函数，
则有 或，
故原不等式的解集为.
三 指数函数图象和性质的综合运用
［例3］ 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数．
（1） 求和的解析式；
（2） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1） 【解】设 且，,可得,,
则 是定义在 上的奇函数，
所以，
且
，
解得
所以.
（2） 易知
，
因此可得 为定义在 上的减函数.
因为 恒成立，
所以 恒成立，
即 恒成立，因此 恒成立，
可得，
解得.
函数性质的综合应用
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧.
（2）解答函数问题应在函数定义域内进行.
（3）由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要分类讨论.
［跟踪训练3］．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且.
（1） 求函数的解析式；
（2） 若关于的不等式在上恒成立.求实数的取值范围.
【答案】
（1） 解：因为，①
则.
又 为 上的奇函数，为 上的偶函数，则，②
由 得到，
所以.
（2） 因为不等式 在 上恒成立，
由（1）知，即 在 上恒成立，
即，
因为，所以，
故.
所以，
又，所以，故，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以，所以实数 的取值范围为.
课堂巩固 自测
1．（教材 习题 改编）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由根式的定义域可得，
即，所以，解得，
所以函数 的定义域是.
2．（多选）已知，则（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
【答案】AD
【解析】选.的定义域为，关于原点对称，
因为，所以 为奇函数，正确；
因为，且 在 上单调递增，则 在 上单调递减，正确.
3．满足的的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】不等式，即，所以，解得，
则满足 的 的取值范围为．
4．（教材P118 T2改编）比较下列各组数的大小：
（1） 与；
（2） 与；
（3） 与且．
【答案】
（1） 解：因为函数 是 上的增函数，
而，
所以.
（2） 因为函数 是 上的减函数，
而，所以.
（3） 当 时，在 上是增函数，
因为 ，
故 ．
当 时，在 上是减函数，
因为 ，
故 ．
课堂小结
1.已学习：利用指数函数单调性比较大小及解简单不等式、指数函数性质的综合应用.
2.须贯通：解决指数型函数的单调性、大小比较及不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式（组）问题，有时会用到数形结合的思想.
3.应注意：指数型函数的底数仍然需要讨论还是.
课后达标 检测
A 基础达标
1．设,，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.由 可得，所以，故充分性成立；
由 可得，取，,则 不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
2．设，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.，，，
因为 在 上单调递增，
又，
所以，
所以，
又 在 上单调递减，
又，所以，
所以.
3．函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.令，解得，
则函数 的定义域为，
定义域关于原点对称，
因为，
所以函数 为偶函数，排除，选项；
因为，观察选项可知 符合题意.
4．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由于，，故，，，错误；
由于，故，正确；
由于，故，而，故有，即，错误．
5．已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A. , B. ， C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可知 的定义域为，关于原点对称，且，所以 为偶函数．
当 时，函数，单调递减．
若 成立，则，
解得 或．
又，所以正实数 的取值范围是,．
6．[（2025·佛山期中）]（多选）已知函数，若,，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.，定义域为，关于原点对称，，
所以 为奇函数.又因为 和 在 上为增函数，所以 在 上为增函数.
对，，因为，
所以，
所以，即，故 正确，错误；
对，，因为，且 为奇函数，
所以，故 正确，错误.
7．若函数为奇函数，则实数的值为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为 为奇函数，故，
即，
解得.
8．不等式与不等式解集相同，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
因为 在 上单调递增,
所以，
即，
所以,,所以.
9．若函数且在上为单调函数，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为函数
且 在 上为单调函数，
所以 或
解得 或.
10．（13分）已知函数（其中,）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点．
（1） 求的解析式；（6分）
（2） 解关于的不等式.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得，
即，
的图象无限接近于直线，但没有交点，
由于 的图象无限接近于直线，故 的图象无限接近于直线，
故,则，
所以.
（2） ，故，
即，令，
则，
解得，
故，解得，所以不等式的解集为.
B 能力提升
11．设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 的图象经过第二、三、四象限，
所以，解得，所以 在 上单调递减，
则由 得，即，
所以，解得，
所以实数 的取值范围为.
12．已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则_ _ _ _ ．
【答案】9
【解析】因为函数 是定义在 上的单调函数，且对，恒成立，
所以存在常数，使得，
则，即，
又因为，则，
注意到 在 上单调递增，且，可得，
所以，即.
13．（13分）某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度（单位：）与时间（单位：）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为,,且,,是常数，如图所示，
（1） 根据图象写出关于的函数表达式；（6分）
（2） 据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长.（7分）
【答案】
（1） 解：因为当 时，血液中的药物浓度 与时间 成正比，且过点，所以，
当 时，与 的函数关系式为,,且,,是常数，且过点 和，
所以 所以
所以，
所以
（2） 当 时，令，
得；
当 时，令，得．
因此当 时，药物有效，有效时长为．
14．（15分）已知定义域为的函数是奇函数.
（1） 求实数的值；（4分）
（2） 判断函数的单调性，并用定义加以证明；（5分）
（3） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.（6分）
【答案】
（1） 解：由定义在 上的函数 为奇函数，
得，解得，
此时，则，
即函数 是奇函数，所以.
（2） 由（1）知，
函数 在 上单调递增，证明如下：
设，则，
由，得，则，所以函数 在 上单调递增.
（3） 依题意，对任意的，恒成立，
则，即 在 上恒成立，而，
当且仅当 时取等号，因此，
所以实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．设函数若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，作出函数 的图象,
不妨令，则，
则，结合图象可得，
则，所以.
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
新课导入
16世纪，随着天文、航海等领域的发展，人们在进行大量的数值计算时遇到了巨大困难.当时的数学家们开始思考如何简化计算，对数的思想在此背景下逐渐萌芽.对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命延长了一倍”.
学习目标
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.
新知学习 探究
一 对数的概念
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个再分裂成4个……
思考1．分裂多少次得到的细胞个数为8和256
思考2．依次类推,假如1个这样的细胞分裂次得到的细胞个数为,如何表示它们间的关系？
思考3．对于，，等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
【答案】思考1 提示：因为,，所以分裂3次得到8 个细胞，分裂8次得到256个细胞.
思考2 提示：.
思考3 提示：用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
［知识梳理］
1．定义
一般地，如果,且，那么数叫做以①_ _ _ _ 为底的对数，记作②_ _ _ _ _ _ ,其中叫做对数的③_ _ ,叫做④_ _ .
【答案】； ； 底数； 真数
2.常用对数与自然对数
3.对数式与指数式的关系,且
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 对数式是与的乘积.（ ）
（2） 在式子中，底数的取值范围是.（ ）
（3） 对数的真数必须是非负数.（ ）
（4） 可化为.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．在对数式中，实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.要使对数式 有意义，需满足
解得 或，所以实数 的取值范围是.
3．以10为底数，为真数的对数简记为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；以为底数，10为真数的对数简记为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ；
关于对数概念的理解
（1）对数是由指数转化而来，则底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，只是位置和名称发生了变换.
（2）对于对数式，需满足
二 对数的相关性质
思考1．由，，化成对数式，你能发现什么结论？
提示：，，结论为1的对数为0.
思考2．由，，化成对数式，你能发现什么结论？
提示：，，结论为底数的对数为1.
思考3．指数函数，且的值域是，把改写为对数式后，真数的值能是0或负数吗？
提示：真数的值不能为0或负数.
［知识梳理］
对数的性质
（1）①_ _ ，且.
（2）②_ _ ，且.
（3）③_ _ 和④_ _ 没有对数.
（4）对数恒等式：⑤_ _ _ _ ；⑥_ _ _ _ ，且，.
【答案】0； 1； 负数； 0； ；
［例1］
（1） （多选）有以下四个结论，其中正确的是 （ ）
A. B.
C. 若，则 D.
（2） 若，则的值为_ _ _ _ .
【答案】（1） BC
（2） 4
【解析】
（1） 因为，，所以 错误，正确；若，则，故 正确；，而 没有意义，故 错误.
（2） 因为，
所以 即
解得.
利用对数的相关性质求值的方法
（1）利用对数的两个结论和且进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“ ”后再求解.
［跟踪训练1］．
（1） 计算（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 20
（2） 若，则_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 5
【解析】
（1） 选..
（2） 因为，所以，所以.
三 对数与指数的互相转化
［例2］ （对接教材例1）将下列指数式与对数式进行互化：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】由，得.
（2） 由，得.
（3） 由，得.
（4） 由，得.
指数式与对数式互化的思路
（1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
［跟踪训练2］．将下列指数式与对数式进行互化.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 解：由，
得.
（2） 由，得.
（3） 由，得.
四 利用对数的定义计算
［例3］ 求下列各式中的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】由题意，.
（2） 由题意，，
而且 且，
所以.
（3） 由题意，.
（4） 由题意，.
对数式中求值的基本思想和方法
（1）基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数的值，要注意利用方程思想求解.
（2）基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
［跟踪训练3］．求下列各式中的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） 由题意，.
（4） 由题意，.
课堂巩固 自测
1． （ ）
A. 7 B. 5 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】选.
2．（多选）（教材P123T1改编）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】AC
【解析】选.依题意，由 且 可得，对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于，，故 正确；对于，，故 错误.
3．若有意义，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,
【解析】由题意，且，
所以 且.
4．（教材P123T3改编）求下列各式中的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
（1） 解：因为，所以，
即，所以，解得.
（2） 因为，所以，所以.
（3） 因为，所以，所以.
（4） 因为，所以，所以.
课堂小结
1.已学习：对数的概念、对数的相关性质；自然对数、常用对数；指数式与对数式的互化.
2.须贯通：对数运算是指数运算的逆运算，在与，且中，两个式子本质相同而形式不同，均反映，，三者之间的关系.
3.应注意：对数式中底数与真数的范围.
课后达标 检测
A 基础达标
1．计算（ ）
A. B. 7 C. D.
【答案】B
【解析】选.
2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题可得，解得 或，故实数 的取值范围为.
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.根据指数式和对数式的互化公式可知，所以“”是“”的充要条件.
4．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，所以，，所以.
5．已知，，则（ ）
A. 9 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意，，于是，于是.
6．（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AB
【解析】选.对于，若，所以，故 正确；对于，若，则，所以，故 正确；对于，因为，即，可得，即，故 错误；对于，例如，，则，可得，符合题意，但，故 错误.
7．已知，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由对数的性质知
解得.故实数 的值为1.
8．计算_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
9．已知，均是正实数，且，，则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 可得，
又，将 代入，可得，
即得，由，得.
10．（13分）求下列各式中的值.
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以，
所以，解得.
（2） 因为，
所以，
所以，
解得.
（3） 因为，
所以，
所以，
解得.
（4） 因为，所以，因此.
B 能力提升
11．（多选）已知，则下列各式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】.因为，所以，则，且，所以，所以，故 错误,正确；，故 正确；，故 错误.
12．已知正数，满足，则_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】由，
得，，
所以.
13．（13分）设实数，，为正数，且满足，，，求实数，，的值.
解：由 得，即，由 得，又，所以，，.
14．（13分）已知，，.
（1） 求，的值；（5分）
（2） 解不等式：.（8分）
【答案】（1） 解：由 可得，代入 得，又因为，所以，.
（2） 由（1）得，，所以不等式，即，令，，得，解得，即，解得，所以不等式的解集为.
C 素养拓展
15．已知不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为不等式 的解集为，可知，为方程 的两根，且，则，所以.
4.3.2 对数的运算
新课导入
从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，我们已经学习了指数幂的运算性质与法则，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应的对数的运算性质.
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
新知学习 探究
一 对数的运算性质
思考．计算下列三组对数运算式,观察各组结果,你能猜想对数的运算性质吗
（1） ,;
（2） ,;
（3） ,.
【答案】（1） 提示：；，猜想.
（2） 提示：；，猜想.
（3） 提示：；，猜想.
［知识梳理］
如果,且,,,那么
（1） ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3） ③_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
（3）
点拨 （1）性质的逆运算仍然成立；
（2）公式成立的条件是，，而不是，比如式子 有意义，而 与 都没有意义；
（3）性质（1）可以推广为：，其中,,且,,, ,均大于0.
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 积、商的对数可以化为对数的和、差.（ ）
（2） .（ ）
（3） .（ ）
（4） 且，，.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．若，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】选.由，得，即，解得.
3．（对接教材例3）计算:
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 3
【解析】
（1） .
（2） 原式.
4．（对接教材例4）已知，，且.用，及表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） .
利用对数运算性质化简求值
（1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式的逆用.
（2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用.
（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用，进行计算或化简.
二 对数的换底公式
思考．假设，则，即，从而有，再将此式化为对数式可得到什么结论？
提示：，从而.
［知识梳理］
1.对数换底公式
，且；;，且.
2．对数换底公式的重要推论
（1），且；，且.
（2），且；,,.
（3）_ _ _ _ _ _ _ _ ，，，，且，，.
特别地，.
【答案】
［例1］ 化简下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】.
（2） 原式.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
［跟踪训练1］．
（1） 计算的结果为（ ）
A. 4 B. C. D.
（2） _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.由题意可得
.
（2） 原式.
三 对数与指数的综合运用
［例2］
（1） 若，且，则（ ）
A. B. C. 12 D. 24
（2） 若，，则用，表示_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 设，则 且，所以，，，所以，即，所以.
（2） 因为，，则，所以.
利用对数式与指数式互化求值的方法
（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
（2）对于指数连等式,可令其等于，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，且，则实数的值为.
【答案】（1） B
（2） 45
【解析】
（1） 选.由题意，.
（2） 由，得，，，，，所以.
四 实际问题中的对数运算
［例3］ （对接教材例5）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，
则，即，
所以.
对数运算在实际问题中的应用
（1）在与对数相关的实际问题中，先厘清题目中的数量关系，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
（2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数式进行运算，从而简化复杂的指数运算.
［跟踪训练3］．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中是残留系数，则大约经过_ _ 年后土壤中该药品的残留量是经过2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
【答案】7.5
【解析】当 时，，
由，得.
课堂巩固 自测
1．[（教材P126练习T1改编）] （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】选.易知.
2．（多选）设,,是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.依题意，，正确；令,,，则,，错误；令,,，则,，错误；，正确.
3．[（教材P127T5改编）]已知，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用，表示）
【答案】
【解析】因为，，所以.
4．化简下列各式:
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
课堂小结
1.已学习：对数运算的性质、换底公式；利用对数的运算性质化简求值；对数的实际应用.
2.须贯通：对数的运算性质是相同底数的对数运算，可正用,可逆用，换底公式的作用是完成不同底数的对数式之间的转化，实现同底的目的，底数没有明确要求时，就以10为底.
3.应注意：（1）对数的运算性质的适用条件；（2）对数的换底公式的结构特点.
课后达标 检测
A 基础达标
1． （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
2．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，，所以，.
3．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由，得，又，所以.
4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：为时间，单位为，为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度，假设该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.将初始温度，特殊环境温度，时间 代入题中式子得，解得，故 项正确.
5．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由，可得，所以，且，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故 的最小值为.
6．（多选）若实数，满足，则下列关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.因为，则，，可得，.对于，，故 正确；对于，，故 正确；对于，，，故，不正确.
7．计算：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
8．已知,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（结果用，表示）
【答案】
【解析】
.
9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.按照这个规律，当时，火箭的最大速度为；当时，火箭的最大速度为.则 _ _ _ _ .（参考数据：）
【答案】8
【解析】由火箭的最大速度 和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量 的函数关系是，当 时，有，所以；当 时，有，所以，可得.
10．（13分）求下列各式的值：
（1） ;（6分）
（2） .（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
B 能力提升
11．已知正实数，满足，且，则的值可以为（ ）
A. 2 B. 2或3 C. 4 D. 4或5
【答案】D
【解析】选.由 得，
则，
即，
整理得，
解得 或，
当 时，，，
则；
当 时，，，则.
12．已知实数，满足，则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】由题可得，则，又由对数真数范围可得 则，结合，可得.
13．（13分）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅.
（1） 若一次地震测得，，该地震的震级是多少？（计算结果精确到，参考数据：）；（6分）
（2） 计算里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍.（7分）
【答案】（1） 解：.因此，该地震的震级约为里氏4.4级.
（2） 设里氏9级地震的最大振幅为，里氏5级地震的最大振幅为，则，，所以，所以，即里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的10 000倍.
14．（15分）
（1） 设，是关于的方程的两个实数根，求的值；（7分）
（2） 已知，且，，若，，求的值.（8分）
【答案】（1） 解：因为，是关于 的方程 的两个实数根，所以由根与系数的关系得 由 得，则.由 得，所以，即，则.
（2） 由，得，由，得，则，所以，即，故.
C 素养拓展
15．若，是整数，则称数为“和谐数”，则在内“和谐数”的个数为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】依题意，,则，令，则，其中，因为，所以，即，解得，又因为，所以满足条件的 共有8个.
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
新课导入 学习目标
河南汝阳发现了大型恐龙黄河巨龙的化石，同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗 让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧! 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
新知学习 探究
一 对数函数的概念
同学们，我们已经知道，细胞分裂个数与分裂次数满足.
思考1．将化为对数式得到什么结果？
思考2．对于区间内的每一个的值，是否都有唯一的实数与之对应？能否看作是关于的函数？
【答案】思考1 提示：.
思考2 提示：任意，都有唯一的 对应，是关于 的函数.
［知识梳理］
一般地，函数①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫做对数函数，其中是自变量，定义域是②_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，且；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 由，得，所以.（ ）
（2） 是对数函数.（ ）
（3） 若是对数函数，则，且.（ ）
（4） 函数的定义域为.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．若函数是对数函数，则的值是（ ）
A. 1或2 B. 1
C. 2 D. 且
【答案】C
【解析】选.因为函数 是对数函数，
所以，
解得 或，
因为 且，所以.
3．已知对数函数的图象过点，则其解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设对数函数的解析式为，且，因为对数函数的图象过点，所以，解得，
所以所求对数函数的解析式为.
判断一个函数是否为对数函数的依据
判断一个函数是对数函数，函数必须是形如，且，即必须满足以下条件：
（1）系数为1.
（2）底数为大于0且不等于1的常数.
（3）对数的真数仅有自变量.
二 求函数的定义域
［例1］
（1） 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 要使函数有意义，需要满足 解得 且，所以 的定义域为.
（2） 函数 的定义域需满足 得，所以函数 的定义域为.
求对数型函数定义域的注意点
（1）真数大于0.
（2）对数出现在分母上时，真数不能为1.
（3）底数上含有自变量时，大于零且不等于1.
［跟踪训练1］．
（1） 函数的定义域为（ ）
A. B. ， C. ， D. ，
（2） 函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.由函数的解析式可得 解得，所以函数 的定义域为，.
（2） 因为，所以
解得 且，
所以函数 的定义域为.
三 对数函数模型的应用
［例2］ 科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数.（参考数据：，，）
（1） 当时，计算候鸟静止时耗氧量的单位数；
（2） 若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，求此时雄鸟每分钟的耗氧量大约是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍.
【答案】（1） 【解】将，，代入，得，则，即，解得.故候鸟静止时，它每分钟的耗氧量为900个单位.
（2） 设雄鸟每分钟的耗氧量为 个单位，雌鸟每分钟耗氧量为 个单位，由题意得
两式相减得，解得.所以雄鸟每分钟的耗氧量大约是雌鸟每分钟的耗氧量的1.93倍.
利用对数函数解决应用问题
（1）列出与对数有关的函数并根据实际问题确定变量的范围.
（2）代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
［跟踪训练2］．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为万元时，奖励万元.若公司拟定的奖励方案为，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为_ _ 万元.
【答案】128
【解析】由题意得，即，所以.
课堂巩固 自测
1．（教材P131T1改编）函数的定义域是（ ）
A. ， B. ， C. D.
【答案】B
【解析】选.令，解得，故 的定义域为，.
2．（多选）下列函数中为对数函数的是（ ）
A. B.
C. D. 是常数
【答案】CD
【解析】选.对于，真数是，故 不是对数函数；对于，，真数是，不是，故 不是对数函数；对于，的系数为1，真数是，故 是对数函数；对于，底数，真数是，故 是对数函数.
3．已知为对数函数，，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】设，且，则，所以，即，所以，所以.
4．根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，.若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？
解：当 时，，所以，解得，所以，令，可得，解得，所以明年的研发投入应该为400万元.
1.已学习：对数函数的概念及结构特征；对数函数模型的简单应用.
2.须贯通：对数函数与指数函数一样，仍然采用形式定义，判断一个函数是不是对数函数，关键是分析函数是否具有,且这种形式.
3.应注意：对数型函数的定义域，应从对数式的真数与底数两个方面构建不等式，最终结果一定是集合形式.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列函数中是对数函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.根据对数函数概念，形如 且 的函数是对数函数.结合选项知道 为对数函数.
2．函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可得
解得.
3．已知对数函数且的图象过点,，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】选.由题意可得，
即，解得，
则.
4．已知函数则（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】选.，
则.
5．已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,所以.
6．（多选）已知，则对任意的，，下列关系成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，，，所以，故 正确，错误；，故 错误，正确.
7．函数为对数函数，则_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】由题意知
解得.
8．设且，若的图象经过，和，两点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得
解得
9．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过天之后，用对数函数表示数学水平与之间的函数关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，化为对数函数得.
10．（13分）已知.
（1） 若，求的值.（6分）
（2） 若的定义域为，求的取值范围.（7分）
【答案】（1） 解：因为，所以，解得.
（2） 因为 的定义域为，所以 对 恒成立，所以，即，解得.
B 能力提升
11．已知函数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】选.因为，，所以，则，则.
12．天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的亮度的倍，则与最接近的是（ ）
（参考公式：当较小时，）
A. 1.24 B. 1.25 C. 1.26 D. 1.27
【答案】C
【解析】选.根据题意可得，所以，解得，根据参考公式可得，故与 最接近的是1.26.
13．（13分）已知函数，，且，.
（1） 求函数的定义域；（6分）
（2） 实数，且，求的值.（7分）
【答案】（1） 解：由题意，，由 解得，则函数 的定义域为.
（2） 由（1）知，，又，则，则，所以.
14．（13分）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有为常数.已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音约为，而的声音强度是的声音强度的1 000倍.
（1） 求函数的解析式；（6分）
（2） 若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？（7分）
【答案】
（1） 解：设 的声音强度是，的声音强度是，
则，
因为
所以，解得，
所以，.
（2） 设喷气式飞机起飞时的声音强度为，所以 所以，所以，故该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的 倍.
C 素养拓展
15．已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】选.因为，由，所以，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以 的最小值为.
4.4.2 对数函数的图象和性质
新课导入
我们前面学习了指数函数，想一想我们研究了指数函数的哪些内容？又是如何研究的呢？而现在我们将学习新的函数——对数函数，那么对数函数有哪些性质呢？图象又是怎样的呢？下面我们就进入新的探究旅程.
学习目标
1.会类比指数函数研究对数函数的性质，并掌握对数函数的图象和性质.
2.会利用对数函数的单调性比较大小，解不等式或求最值等综合问题.
3.了解反函数的概念和图象特点.
第1课时 对数函数的图象和性质
新知学习 探究
一 对数函数的图象和性质
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.
思考1．请同学们利用列表、描点、连线的作图步骤，在同一直角坐标系下作出对数函数和的图象.
思考2．通过观察函数和的图象，你能说出这两个对数函数的图象有什么关系吗？
思考3．为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数，4，，，你能在同一直角坐标系下作出它们的图象吗？
【答案】思考1提示：
思考2 提示：关于 轴对称.
思考3 提示：
［知识梳理］
类别 ，且
底数
图象
定义域 ①_ _ _ _ _ _ _ _
值域
单调性 在上是增函数 在上是减函数
最值 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
奇偶性 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
共点性 图象过定点④_ _ _ _ _ _ _ _ ，即当时，
函数值特点 当时， ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ；当时， ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 当时， ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ；当时， ⑧_ _ _ _ _ _ _ _
对称性 函数与的图象关于⑨_ _ _ _ _ _ 对称
【答案】； 无最大、最小值； 非奇非偶函数； ； ； ； ； ； 轴
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 对数函数与的图象关于轴对称.（ ）
（2） 对数函数的图象都过定点.（ ）
（3） 若函数是减函数，则.（ ）
（4） 所有对数函数的图象都在轴的右侧.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．函数，且的图象所过的定点为（ ）
A. B. , C. D. ,
【答案】A
【解析】选.因为函数，且，令，解得，则，所以 的图象所过的定点为.
3．（多选）已知函数，且，为实数），下列说法正确的是 （ ）
A. 函数的单调性与有关 B. 函数的单调性与有关
C. 函数的单调性与无关 D. 函数的单调性与无关
【答案】CD
【解析】选.当 时，，单调递增；当 时，单调递增.则当 且，时，单调递增.所以函数，且,为实数）的单调性与，无关.
4．已知函数在上的最大值是2，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】当 时，函数 在 上单调递增，则，解得;当 时，函数 在 上单调递减，则，无解.综上，.
理解对数函数的图象与性质
（1）函数图象只出现在轴右侧.
（2）对任意底数且，当时，，故函数图象过定点.
（3）当时，函数单调递减，底数越小，图象越靠近轴.
（4）当时，函数单调递增，底数越大，图象越靠近轴.
（5）任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.
二 对数（型）函数的图象问题
［例1］
（1） 已知，且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知，且满足，试画出函数的图象.
【答案】（1） C
（2） 【解】因为，所以，
即，
故
所以函数 的图象如图所示.
【解析】
（1） 选.结合 与 解析式可知，两函数单调性一定相反，排除选项；因为 恒过定点，恒过定点，排除选项，.
母题探究．在本例（2）中，试画出函数的图象.
解：因为，所以 的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到的，其图象如图中实线部分所示.
对数型函数图象的变换方法
（1）作的图象时，保留的图象不变，时，的图象与的图象关于轴对称.
（2）作的图象时，保留的轴及上方图象不变，把轴下方图象以轴为对称轴翻折上去即可.
（3）对数型函数图象平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
与的图象关于轴对称，与的图象关于轴对称，与的图象关于原点对称.
［跟踪训练1］．
（1） 函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.由函数 可知，函数定义域为，又，函数为偶函数，故 选项正确.
（2） 根据对数函数的性质可知，函数 在定义域上单调递增，要使函数 的图象经过第一、二、三象限，则，即，所以，所以实数 的取值范围为.
三 对数函数单调性的应用
角度1 利用单调性比较对数值的大小
［例2］ 利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.
（1） 和；
（2） 和 ；
（3） 和，其中且；
（4） 和.
【答案】（1） 【解】因为函数 在 上单调递增，且，所以.
（2） 因为函数 在 上单调递减，且 ，所以 .
（3） 令，当 时，在 上单调递减，当 时，在 上单调递增，又，所以当 时，，当 时，.
（4） 因为，，所以.
比较对数值大小时常用的四种方法
（1）同底数的利用对数函数的单调性.
（2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
（3）底数和真数都不同，找中间量.
（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
角度2 利用单调性解对数不等式
［例3］ 解下列关于的不等式：
（1） ；
（2） 且.
【答案】
（1） 【解】由题意可得
解得.
所以原不等式的解集为.
（2） 当 时，原不等式等价于 解得.
当 时，原不等式等价于 解得.
综上所述，当 时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为.
对数不等式的解法
（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论.
（2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.
注意 不等式的解集一定要写成集合或区间形式.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.，，，则.
（2） 由对数函数的性质可得
解得，
因为，且 在定义域上单调递减，所以 解得，
综上所述，不等式的解集为.
课堂巩固 自测
1．[（教材P135 T2改编）]已知,,，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，所以.
2．[（教材P135T1改编）]（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.对于函数，有，可得，函数 的定义域为，当 时，函数 为 上的增函数，函数 在 上为增函数，合乎要求；当 时，函数 为 上的减函数，函数 在 上为减函数，合乎要求.
3．函数在上的最大值是_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】因为函数 在 上单调递减，故当 时，函数 取得最大值0.
4．解下列关于的不等式：
（1） ；
（2） 且.
【答案】
（1） 解：由，
得，解得，
所以不等式的解集为.
（2） 当 时，，
解得，即；
当 时，，
解得，即.
综上，原不等式的解集为.
课堂小结
1.已学习：对数函数的图象与性质；对数函数单调性的应用.
2.须贯通：对数式比较大小、解不等式的问题主要是借助对数函数的图象与单调性，应用数形结合及分类讨论的思想处理.
3.应注意：对数函数中，底数对其图象和性质的影响.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.令，即，则，故函数恒过定点.
2．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，，，所以.
3．设，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.由，得，由，得，显然 能推出，而 不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.
4．若，且，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，且，故，故 为减函数，且图象过点，排除选项，，又 的图象为 的图象向右平移1个单位长度得到，排除选项.
5．下列四个数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以，，，因为，所以，所以 最大.
6．（多选）函数的图象与函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】选.因为，，所以，，，正确；所以，正确；
作出 与 的大致图象，如图所示，
由图象知，，所以，错误.
7．已知函数，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】作出函数 和函数 的图象，如图所示，
两个函数的图象相交于点 和，当且仅当 时，的图象在 的图象的上方，即不等式 的解集为.
8．已知函数，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或；
【解析】由，得 或；
由题意可知，
，
由函数图象可知，
，
则，
即，
则，
，
所以 的取值范围是.
9．已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 为定义在 上的奇函数，
且在 上单调递减，
所以 在 上是减函数，
，
即，
所以，
所以，
所以，即实数 的取值范围为.
10．（13分）已知函数，且.
（1） 求的值及的定义域；（6分）
（2） 求不等式的解集.（7分）
【答案】
（1） 解：函数，由，得，
解得，所以.
由，得 解得，
所以 的定义域为.
（2） 不等式，因此，解得，
所以原不等式的解集为.
B 能力提升
11．已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.令，
因为，所以，
故，，
，
，故，
，故，
所以.
12．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.函数 的定义域是，且易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除，；当 时，，故函数图象与 轴相交，且其中一个交点为，只有 中图象符合.
13．已知，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由对数的定义可得 或，
又因为，
所以，
所以可得，
又因为，可得，
即 解得.
14．（13分）已知，且，.
（1） 若函数的图象恒过定点，求点的坐标；（3分）
（2） 若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.（10分）
【答案】
（1） 解：当，即 时，
，
所以点 的坐标为.
（2） 因为，
所以.
当 时，函数 在区间 上单调递减，
所以当 时，函数 有最大值，
且，
当 时，函数 有最小值，
且，
因为，
所以，
所以.
当 时，函数 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 有最小值，
且，
当 时，函数 有最大值，且，
因为，
所以，
所以.
综上所述，或.
C 素养拓展
15．（15分）如图，已知函数的图象与函数的图象交于,两点.过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，并且，分别交函数的图象于，两点.
（1） 探究线段与的大小关系，并证明；（7分）
（2） 若轴，求四边形的面积.（8分）
【答案】
（1） 解：.证明如下：
设，，
则，.
所以
，
又，故.
（2） 因为 轴，
所以，
即，
所以，
又，，
联立方程组 解得
所以，，,，.
故四边形 的面积为.
第2课时 对数函数的图象和性质的应用
新知学习 探究
一 对数函数的图象
给出函数与.
思考1．两个函数的定义域、值域之间有什么关系？
思考2．在同一直角坐标系中，两函数的图象有什么关系？
【答案】思考1 提示： 的定义域、值域分别是 的值域、定义域.
思考2 提示： 与 的图象关于直线 对称.
［知识梳理］
一般地,指数函数，且与对数函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，且互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
【答案】
［即时练］
1．的反函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.根据指数函数与对数函数的关系，可得函数 的反函数为.
2．已知函数与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 10 D.
【答案】A
【解析】选.由题意，函数 的反函数为，则.
3．若点在函数，且的图象上，点,在反函数的图象上，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以,即，
又，且，所以，所以，所以 的反函数为，
又因为点,在 的图象上，
所以，得.
关于反函数的概念
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数;
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换;
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
二 与对数函数有关的复合函数问题
角度1 单调区间问题
［例1］
（1） 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
（2） 设在内单调递减，则的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 对于函数，有，解得 或，
所以函数 的定义域为，
因为内层函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，外层函数 为增函数，
故函数 的单调递增区间为.
（2） 因为 在 内单调递减，
又 为减函数，
所以 解得.
求对数型函数 单调区间的方法
形如的函数的单调性，首先要确保，当时，的单调性在的前提下与的单调性一致.当时，的单调性在的前提下与的单调性相反.
角度2 值域（最值）问题
［例2］
（1） 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 设，则，故，故 的值域为.
（2） 因为，当，即 时，取到最小值，且.
与对数有关的复合函数值域（最值）的求法
（1）对于形如,且的复合函数,求其值域（最值）的步骤如下：
①分解成,两个函数;
②根据已知定义域，求的取值范围;
③利用的单调性求复合函数的值域（最值）.
（2）对于形如,且的复合函数,求其值域（最值）的步骤如下:
①分解成,两个函数;
②根据的取值范围，求的值域;
③利用的单调性求复合函数的值域（最值）.
［跟踪训练1］．
（1） 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.因为 在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，知 在 上单调递减，且 对任意的 恒成立，所以 解得.
（2） 由题意知函数的定义域为，而，不妨设,，所以，所以函数 的值域为.
三 对数函数性质的综合应用
［例3］ 已知函数且.
（1） 求；
（2） 判断的奇偶性，并用定义证明；
（3） 求使成立的的取值范围.
【答案】
（1） 【解】因为 且，
所以.
（2） 函数 是奇函数，证明如下：
由题意 解得，所以函数 的定义域为，关于原点对称.
因为，所以函数 为奇函数.
（3） 当 时，函数 在 上是减函数，
由，得，所以 解得，
所以使 成立的 的取值范围为.
当 时，函数 在 上是增函数，
由，得，
所以 解得，
所以使 成立的 的取值范围为.
综上所述，当 时，使 成立的 的取值范围为；
当 时，使 成立的 的取值范围为.
解决对数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧;
（2）解答问题时应注意定义域优先的原则;
（3）由于对数函数的单调性

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