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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
新课导入
在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识.
学习目标
1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题.
3.识记常用数集的表示符号.
新知学习 探究
一 元素与集合的概念
研究下面的例子，回答问题：
（1）2025级聪明的学生；
（2）的近似值；
（3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点；
（4）所有奇数.
思考1．以上各例的研究对象是什么？
思考2．哪个例子中的对象划分标准不确定？
思考3．（3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？
【答案】思考1 提示：分别研究学生、近似值、点、奇数.
思考2 提示：（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰.
思考3 提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
［知识梳理］
1．元素
一般地，我们把研究①_ _ 统称为元素，元素通常用小写拉丁字母,,, 表示.
【答案】对象
2．集合
【答案】总体
3．集合相等
只要构成两个集合的元素是③_ _ _ _ _ _ ，我们就称这两个集合相等.
【答案】一样的
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 集合中的元素一定是数.（ ）
（2） 参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合.（ ）
（3） 由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.（ ）
（4） 一个集合中可以找到两个相同的元素.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） ×
2．（多选）下列对象能构成集合的有（ ）
A. 接近于2 025的所有正整数 B. 小于的实数
C. 未来10年内的房价趋势 D. 点与点
【答案】BD
【解析】选.对于，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；
对于，小于 的实数是确定的，能构成集合；
对于，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；
对于，点 与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合.
3．英文单词的所有字母组成的集合共有_ _ _ _ 个元素.
【答案】6
【解析】英文单词 中不同的字母有，，，，，，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素.
一组对象能构成集合的两个条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素.
（2）该组中各个对象是不同的.
二 元素与集合之间的关系
思考1．如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示：是男生就去，不是男生就不去.
思考2．非负整数集与正整数集有何区别？
提示：非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0.
［知识梳理］
1．元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 是集合中的元素 ①_ _ _ _ 属于集合
不属于 不是集合中的元素 ②_ _ _ _ 不属于集合
【答案】；
2．常用的数集及其记法
常用数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ ⑥_ _ _ _ ⑦_ _ _ _
【答案】； 或； ； ；
［例1］
（1） 已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
（2） 用符号“ ”或“ ”填空：
_ _ _ _ _ _ ；_ _ _ _ ；_ _ _ _ ；
_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ；；；
【解析】
（1） 由，解得，因为，，故，且.
（2） 因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，所以；；；.
判断元素和集合之间关系的方法
（1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
（2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元素与集合的关系：
8_ _ ；3_ _ ；2_ _ .
【答案】（1） BD
（2） ；；
【解析】
（1） 选.因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，
所以，错误；，正确；，错误；，正确.
（2） 根据题意，集合 中的元素有1，2，4，8，所以;;.
三 集合中元素特征的应用
［例2］ 已知集合中含有两个元素和，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】若，则 或，
当 时，，不符合集合中元素的互异性，所以；
当 时，，因为，所以，此时集合 中含有两个元素1，，符合集合中元素的互异性.
综上所述，.
母题探究．若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若”，求实数的值.
解：由 可知，或.
当 时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上可知，.
根据集合中元素的特征求值的步骤
［跟踪训练2］．
（1） 若一个集合含有两个元素和，则实数需满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知集合的所有元素为2，4，6，若，且有，求的值.
【答案】（1） 且
（2） 解：若，则，符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，不符合题意.
所以 的值是2或4.
【解析】
（1） 由集合中元素的互异性可得，解得 且.
课堂巩固 自测
1．（教材P5练习T1改编）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A. 数学必修第一册课本中所有的难题
B. 小于8的所有素数
C. 直角坐标平面内第一象限的一些点
D. 所有小的正数
【答案】B
【解析】选.对于，“难题”的标准不确定，不能构成集合；
对于，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合；
对于，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
对于，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
2．（多选）（教材P5练习T2改编）下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于，是实数，
即，正确；
对于，，错误；
对于，是无理数，所以，正确；
对于，不是 的元素，错误.
3．已知集合中有两个元素和，集合中有两个元素0和，若，则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由于，且,
所以
解得，经检验，符合题意.
4．已知集合中含有三个元素1，0，，若，求实数的值.
解：依题意，且，于是 且，由，得，解得 或（舍去），所以实数 的值为.
课堂小结
1.已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系.
2.须贯通：（1）集合与元素的关系,或这两种情况必有一种且只有一种成立;
（2）求集合中的参数时常用到分类讨论思想.
3.应注意：（1）自然数集中容易遗忘0这个元素;
（2）集合中易忽略元素的互异性.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数
C. 2025年高考数学难题 D. 小于 的正整数
【答案】C
【解析】选.对于，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即 能构成集合；
对于，所有无理数定义明确，即 能构成集合;
对于，2025年高考数学难题定义不明确，不具有确定性，不符合集合的定义，即 不能构成集合；
对于，小于 的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即 能构成集合.
2．下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，由 是无理数，得 也是无理数，则，错误；
对于，自然数集 包含元素0，即，错误；
对于，表示整数集，即，错误；
对于，是实数，即，正确.
3．[（2025·潍坊期中）]若的三边长，，可构成集合，则不可能是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】选.由题意，根据集合元素的互异性，可得，，互不相等，故 一定不是等腰三角形，所以 不可能是等腰直角三角形.
4．下列各组中集合与表示同一个集合的是 （ ）
A. 是由元素1，, 构成的集合，是由元素 ，1，构成的集合
B. 是由 构成的集合，是由构成的集合
C. 是由2，3构成的集合，是由有序数对构成的集合
D. 是满足不等式的自然数构成的集合，是方程的解集
【答案】A
【解析】选.由于 中集合，的元素完全相同，所以 与 表示同一个集合，而，，中集合，的元素不相同，所以 与 不能表示同一个集合.
5．集合由3个元素，，4组成，则实数的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】选.对于，当 时，，，不满足题意；
对于，当 时，，不满足题意；
对于，当 时，，，满足题意；
对于，当 时，，不满足题意.
6．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 中最小的数是1
B. 若，则
C. 若，，则的最小值是2
D. 的实数解组成的集合中含有两个元素
【答案】AC
【解析】选.因为 表示正整数集，容易判断，正确；对于，若，则满足，但，错误；对于，的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，错误.
7．已知满足且的元素构成集合，则1_ _ ，_ _ .（填“ ”或“ ”）
【答案】；
【解析】由题意，集合 中的元素有1，2，3，4，5，所以，.
8．若是集合中的元素，且集合中只含有一个元素2，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，解得.
9．已知集合中含有2个元素，，则一个满足条件的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1（答案不唯一）
【解析】由集合中元素的互异性可知
，
解得 且，
故 时，，满足题意.
10．（13分）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素.
解：因为，所以，
解得.
解方程，
即，
得 或.
故 含有两个元素,2.
B 能力提升
11．已知，，为非零实数，记代数式的所有可能取值所组成的集合为，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.令，
若,,全为正数，则；若,,全为负数，则；若,,中有2个正数和1个负数，则；若,,中有2个负数和1个正数，则，所以集合 含有三个元素：，0，4.
12．（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】选.对于，，，当，其平方数仍为整数；当，其绝对值仍为有理数；当，其立方仍为实数，故，，正确.
在 中，当 时，，则，故 不正确.
13．若集合的元素满足且，，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，,
所以 解得.
14．（13分）已知集合中有三个元素，分别为2，，.
（1） 求实数应该满足哪些条件？（6分）
（2） 若，求的取值.（7分）
【答案】
（1） 解：根据集合元素的互异性可知
解得 且 且 且.
（2） 由于，结合（1）的结论可知，
所以，解得 舍去.
经验证，满足题意.所以.
C 素养拓展
15．（15分）设是至少含有一个元素的实数集，满足若，则，且.
（1） 若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素.（7分）
（2） 集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由.（8分）
【答案】
（1） 解：由于，
则，
因此，
.
所以 中至少还有，两个元素.
（2） 若，则，
且 中只有一个元素，
所以，
即，，
该方程在实数范围内无解，
所以 中不能只含有一个元素.
第2课时 集合的表示
新课导入
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式,例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“”等等.那么,对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
学习目标
1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）.
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
新知学习 探究
一 列举法
观察下列两个集合：
（1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合；
（2）十二生肖组成的集合.
思考1．上述两个集合的元素能一一列举出来吗？为什么？
思考2．上述集合与除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？
【答案】思考1 提示：能，因为两个集合里的元素都是有限个.
思考2 提示：有，两个集合可以这样表示，如 红色，黄色}；鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}.
［知识梳理］
把集合的所有元素_ _ _ _ _ _ _ _ 出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
【答案】一一列举
［例1］ （对接教材例1）用列举法表示下列集合：
（1） 方程的解组成的集合；
（2） “”中的所有字母组成的集合；
（3） 函数的图象与坐标轴的交点组成的集合.
【答案】（1） 【解】方程 的解为 或，因此可以用列举法表示为.
（2） 由于“”中包含的字母有，，，，，，共6个元素，
因此可以用列举法表示为{,,,,,}.
（3） 函数 的图象与 轴的交点为，与 轴的交点为，因此可以用列举法表示为.
用列举法表示集合的三个步骤
（1）求出集合中的元素；
（2）把各元素列举出来，并用花括号括起来；
（3）检查元素是否符合集合中元素的互异性.
注意（1）用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序；（2）二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
［跟踪训练1］．用列举法表示下列集合：
（1） 10以内的所有素数组成的集合；
（2） 方程的实数根组成的集合；
（3） 一次函数与的图象的交点组成的集合.
【答案】（1） 解：10以内的素数有2,3,5,7,因此构成的集合为.
（2） 解方程 得 或，
所以集合.
（3） 解方程组 得
所以集合.
二 描述法
思考1．“大于且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
提示：不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
思考2．设为“大于且小于2的实数”构成的集合的元素，有何特征？
提示： 且.
［知识梳理］
一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成或；.
【答案】
［例2］ 用描述法表示下列集合:
（1） 被3除余1的所有自然数组成的集合；
（2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合；
（3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.
【答案】（1） 【解】被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为,}.
（2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为.
（3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为.
用描述法表示集合的两个步骤
［跟踪训练2］．选择适当方法表示下列集合:
（1） 由不超过5的所有自然数组成的集合；
（2） 不等式的解集；
（3） 二次函数的图象上所有的点组成的集合.
【答案】（1） 解：用列举法表示集合.
（2） 用描述法表示集合.
（3） 用描述法表示集合.
三 集合表示法的应用
［例3］ 已知集合,}.
（1） 若,用列举法表示；
（2） 当集合中有且仅有一个元素时，求的值组成的集合.
【答案】
（1） 【解】若,则1是方程 的实数根，所以，解得,所以方程为,解得 或,
所以.
（2） 当 时，，
解得，此时;
当 时，若集合 中有且仅有一个元素，
则方程 有两个相等的实数根，
所以 解得,方程为，解得，此时.
综上，当 或 时，集合 中有且仅有一个元素，所以，.
母题探究．在本例条件下，集合中有两个元素，求实数的取值范围.（用集合表示）
解：依题意，，且,所以 且,故实数 的取值范围是 且.
集合与方程的综合问题的解题步骤
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；
（3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
［跟踪训练3］．
（1） （多选）已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2） [（2025·威海期中）]已知集合,,，若，则.
【答案】（1） AB
（2） 14
【解析】
（1） 选.由方程，解得 或，所以,，所以，，.
（2） 因为，,,，
所以当 时，,，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，，,,符合题意.
综上，.
课堂巩固 自测
1．（教材P5习题1.1T2改编）集合用列举法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可得集合.
2．（多选）下列说法错误的是（ ）
A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为
B. 方程的解集为,
C. ，且中的元素个数为0
D. 若，则
【答案】BD
【解析】选.对于，第一象限内的点 满足，，第三象限内的点 满足，，故 正确；
对于，方程的解为 故解集为，故 错误；
对于，由 的范围可得，且 中的元素个数为0，故 正确；
对于，,0,，，故 错误.
3．[（2025·达州期中）]若，则集合中所有元素之和为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为，则有，解得，即方程为，解得 或，所以,，所有元素之和为3.
4．（教材P6T4改编）选择适当的方法表示下列集合：
（1） 平面直角坐标系中第二象限的点组成集合;
（2） 不大于10的非负偶数组成的集合；
（3） 使函数有意义的实数组成的集合.
【答案】（1） 解：利用描述法表示集合,或.
（2） 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是，2，4，6，8，.
（3） 由，则，解得，故集合为.
课堂小结
1.已学习：（1）集合的表示方法：列举法、描述法；（2）集合与方程、不等式的关系.
2.须贯通：（1）元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般用描述法表示；（2）解决集合与方程问题常用分类讨论思想.
3.应注意：（1）要注意数集和点集的区别;
（2）当一元二次方程二次项的系数不确定时，易忽略讨论该方程是一次方程还是二次方程.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若集合,，则应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由集合中元素的互异性可知，所以.
2．下列四组中表示同一集合的为（ ）
A. ，
B. ,，,
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】选.对于，两个集合中元素对应的坐标不同，不符合题意；对于，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，符合题意；对于，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，不符合题意；对于，集合 中的元素表示等式，集合 中的元素表示实数，不符合题意.
3．若,，则的所有可能取值构成的集合为（ ）
A. B. C. D. ,
【答案】D
【解析】选.当 时，，显然集合元素不满足互异性；
当，即 或 舍去，
若，此时集合为；
若，此时集合为,.
综上，的取值集合为,.
4．已知集合,0,，,,,,则集合的元素个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】选.由题意知，,0,，，
当，,0,时，的值为0,1,2，
当，,0,时，的值为1,2,3，
所以，所以集合 中的元素个数为4.
5．[（2025·大连期末）]若关于，的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 0或1 C. D. 0或
【答案】B
【解析】选.由 消去 整理可得，
当 时，解得，此时方程组的解为 符合题意；
当 时，则，解得，此时方程组的解为 符合题意.
综上可得，或.
6．（多选）已知集合,，,，且，，,则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.由题知，集合 为奇数集，集合 为偶数集，所以，为奇数，为偶数.
所以 是奇数，是偶数，是偶数，是偶数.
即，，，.
7．[（2025·石家庄期中）]用列举法表示集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,1,2,
【解析】集合，
所以 可以取的值为，1，2，3，
所以,1,2,.
8．已知集合，若，则的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由集合，且，可得，
解得，
即实数 的取值范围为.
9．[（2025·重庆期中）]已知集合,,,,，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,,,,，可知，
可得,,,,，
则，解得，
若，则,,，不符合集合中元素的互异性；
若，则,,,,，符合题意.
综上所述,，.
所以.
10．（13分）设集合中的所有元素均为整数.
（1） 若，求集合；（5分）
（2） 试判断4是不是集合中的元素，并证明结论.（8分）
【答案】
（1） 解：若，则，
所以集合.
（2） 4不是集合 中的元素，证明如下：
若，则有 或；
当 时，，不满足题意；
当 时，解得，不满足题意.
综上所述，4不是集合 中的元素.
B 能力提升
11．[（2025·衡水期中）]已知，，且，，则取值不可能为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】选.
当 时，有，得，
当 时，有，得，
综上，，不可能取，即 符合题意.
12．若集合，则_ _ ；_ _ .（填写“ ”或“ ”）
【答案】；
【解析】由
解得 不满足,
故；
由 解得
满足,故.
13．（13分）已知.
（1） 若，求的取值范围；（6分）
（2） 若且，求的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由，得，
解得，
所以 的取值范围为.
（2） 因为，且，所以 解得，所以 的取值范围为.
14．（15分）已知集合,,}.
（1） 当时，中只有一个元素，求的值；（6分）
（2） 当时，中至多有一个元素，求的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：当 时，,，
由 中只有一个元素，
则有，
解得.
（2） 当 时，,，
由 中至多有一个元素，得 中可能没有元素或1个元素，
当 时，，符合题意；
当 时，有，
解得.
综上所述，或.
C 素养拓展
15．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，,1,2,3,4，给出如下四个结论中，正确的是（ ）
A.
B.
C. 若整数,属于同一“类”，则
D. 若，则整数,属于同一“类”
【答案】ACD
【解析】选.对于，，因此，正确；
对于，，因此，错误；
对于，由,是同一“类”，令，，，,,1,2,3,4,
因此，,，正确；
对于，若，则令,，即,，不妨令,，,1,2,3,4，
于是,,，因此整数,属于同一“类”，正确.
1.2 集合间的基本关系
新课导入
本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合，其中高一（1）班的50位新生组成集合,那么，集合与集合有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系.
学习目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.能使用图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用.
3.在具体情境中，了解空集的含义.
新知学习 探究
一 子集
某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合，中国参赛运动员组成集合.
思考1．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？
思考2．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？
【答案】思考1 提示：不是.
思考2 提示：都是.
［知识梳理］
1．图
在数学中，我们经常用平面上①_ _ _ _ _ _ _ _ 的内部代表集合，这种图称为图.
【答案】封闭曲线
2．子集概念
定义 一般地，对于两个集合，，如果集合中②_ _ 一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集
记法与读法 记作③_ _ _ _ _ _ （或④_ _ _ _ _ _ _ _ ）,读作“包含于”（或“包含”）
图示
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即. （2）对于集合，，，若，且，则⑤_ _ _ _ _ _
【答案】任意； ； ；
3．集合相等
一般地，如果集合的任何一个元素⑥_ _ 集合的元素，同时集合的任何一个元素⑦_ _ 集合的元素，那么集合与集合相等，记作.也就是说若，且，则.
【答案】都是； 都是
［例1］ （对接教材例2）指出下列各对集合之间的关系：
（1） ，，，；
（2） ，2，，是8的因数}；
（3） 是等边三角形，是等腰三角形}；
（4） ，.
【答案】
（1） 【解】中唯一元素，
所以.
（2） 因为，，
所以.
（3） 因为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，所以.
（4） 因为，，如图，所以.
判断集合间关系的常用方法
注意 用数轴表示不等式时，如果端点处带“”，在数轴上端点处画实点；如果端点处不带“”，在数轴上端点处画虚点.
［跟踪训练1］．
（1） 已知集合，则（ ）
A. B. C. , D. ,
（2） 已知集合,}与，则_ _ _ _ .（从“ ”或“ ”或“”或“”选取最精确的符号填写）
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.集合,，
，错误；
，元素与集合不能用“ ”符号，错误；
根据子集的定义，有，，正确；
集合,不是集合 中的元素，不能用“ ”符号，错误.
（2） 因为，所以 或，又，所以.
二 真子集
思考1．若集合是集合的子集，集合的元素也都在集合内吗？举例说明.
提示：不一定，如，，但.
思考2．方程的实数解组成的集合有几个元素？
提示：因为，所以方程 无实数解，其解集内有0个元素.
［知识梳理］
1．真子集
定义 如果集合，但存在元素,且①_ _ _ _ _ _ _ _ ,就称集合是集合的真子集
记法与读法 记作②_ _ _ _ _ _ （或），读作“真包含于”（或“真包含”）
图示
结论 对于集合，，，如果，且，那么
【答案】；
2．空集
（1）定义：把不含③_ _ _ _ _ _ _ _ 的集合叫做空集.
（2）符号表示：④_ _ .
（3）规定：空集是任何集合的⑤_ _ ，是任何非空集合的⑥_ _ _ _ _ _ .
【答案】任何元素； ； 子集； 真子集
［例2］ （对接教材例1）已知集合且，且.
（1） 写出集合的子集，真子集；
（2） 求集合的子集数，非空真子集数.
【答案】
（1） 【解】由题意得，
的子集有： ，，，，，，，，，，，1，；
的真子集有： ，，，，，，，，，.
（2） ，，0，，
有4个元素，的子集数为，
的非空真子集数为.
（1）求集合的子集或真子集的思路
（2）求集合的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集： 和自身.
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏.
常用结论 假设集合中含有个元素，则的子集有个；的非空子集有个；的真子集有个；的非空真子集有个.
［跟踪训练2］．
（1） 满足，1，的集合的个数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 15
（2） 写出集合的所有非空子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ，，，,，,，，,1,
【解析】
（1） 选.因为集合，1，，
则集合 可以为，，，，，，，共7个.
（2） ,1,，
其所有非空子集有，，，,，,，，,1,.
三 由集合间的关系求参数
［例3］
（1） [（2025·宿州期中）]已知集合，，,，且，则实数（ ）
A. 0 B. 3 C. D. 3或0
（2） 已知集合，，且，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 因为，且,的元素个数相等，所以，所以，解得 或，
当 时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，，满足条件.
（2） 由于，结合数轴分析可知，.
又，所以实数 的取值范围是.
母题探究．本例（2）若将“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围.
解：若，则 ，满足；
若，则由例题解析可知.
综上可知，实数 的取值范围是.
由集合间的关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论.
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点.
注意（1）不能忽视集合为 的情形.
（2）当集合中含有参数时，一般需要分类讨论.
［跟踪训练3］．
（1） 已知集合,，,1,,若,关系如图所示，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
（2） 已知集合，,若，则满足条件的的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 或
【解析】
（1） 选.由题图可知,则,所以.
（2） 当 时，满足，此时有，解得；
当 时，要使，
只需 解得.
所以实数 的取值范围为 或.
课堂巩固 自测
1．集合的子集个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】选.由题意得，则集合 的子集个数为.
2．（多选）（教材（2）改编）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】选.因为,，
所以，，，，
所以，，正确，错误.
3．（教材（2）改编）已知集合,，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以由数轴可得，故实数 的取值范围为.
4．[（2025·石家庄期中）]已知集合,
（1） 若，写出集合的所有子集；
（2） 若集合中仅含有一个元素，求实数的值.
【答案】
（1） 解：若，则,}=，
所以集合 的所有子集是：
,,,.
（2） 当 时，方程，符合题意；
当 时，集合 中仅含有一个元素，则，解得，符合题意.
所以实数 的值为0或.
课堂小结
1.已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集.
2.须贯通：利用列举法、图及数轴判定两集合的关系，图和数轴都体现了数形结合的数学思想.
3.应注意：（1）混淆子集和真子集的概念；
（2）在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，，错误；
对于，，正确；
对于， 中不含任何元素，错误；
对于， 不是 的元素，因此 不是 的子集，错误.
2．能正确表示集合和集合关系的图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由 得 或，故，，易得，其对应的 图如选项 所示.
3．[（2025·菏泽期中）]设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,且，所以，即 的取值范围是.
4．[（2025·福州期中）]已知，则集合的真子集的个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】选.依题意，
，
所以集合 有4个元素，真子集的个数为.
5．已知集合,0,，,，且，则（ ）
A. 0 B. 0或 C. D. 1
【答案】C
【解析】选.由，可得 或，
当 时，可得，集合 中元素重复，故舍去，
当 时，
解得（舍去）或，
当 时，,0,，，符合题意，故.
6．[（2025·成都期中）]（多选）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】选.因为，，所以，，，所以 可以是，和.
7．[（2025·天津市滨海新区期中）]已知集合，则写出集合的所有子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，，，
【解析】因为，
所以集合 的子集有： ，，，.
8．若是集合的真子集，则的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意知集合 为空集，
则，即.
9．已知集合，非空集合，且，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为， ，
所以
解得.
10．（13分）已知集合,,，集合,1,.
（1） 若，求的值；（6分）
（2） 是否存在和的值，使得，若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，.
当，即 时，此时,，,1,不成立；
当，即 时，
此时,，,,成立，
所以.
（2） 由题意可得，，
若，则,，不符合题意；
若，则,，不符合题意，
故不存在实数 和 的值，使得.
B 能力提升
11．（多选）若集合，集合，且，则实数的取值可能为（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】ACD
【解析】选.集合,，
当 时，，此时集合 无解，即；
当 ，时，即，
解得，
当 时，即，
解得.
所以实数 的取值可能为，0，1.
12．[（2025·上饶期末）]已知集合,,,的所有非空真子集的元素之和为，则_ _ .
【答案】290
【解析】集合,,,的所有非空真子集有，，，，,，,，,，,，,，,，,,，,,，,,，,,，
所以有，
解得.
13．（13分）设集合,.
（1） 当时，求的非空真子集的个数；（6分）
（2） 若，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由 知，由 可得，
所以 的非空真子集的个数为.
（2） 因为，若 ，
则，
可得；
若 ，则
解得.
综上所述，实数 的取值范围为 或.
14．[（2025·德州期末）]（15分）已知集合，.
（1） 若集合,,且,求实数的值；（7分）
（2） 若集合,且,求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由集合，,,且,所以可得
此时方程组无解；
或 解得.
所以实数 的值为5.
（2） 当集合,
且 时,若 ，
则
解得；
当 时，若，则，，此时,，不满足；
若，则，此时，满足.
综上可知，实数 的取值范围为 或.
C 素养拓展
15．[（2025·长春期末）]当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合构成“偏食”.对于集合,，若与构成“全食”，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】由题可得，要使 与 构成“全食”，则，
由集合,可知，
当 时，则 ，此时；
当 时，则，此时不满足；
当 时，则,，
要使，则,，
即，解得，
综上所述，要使 与 构成“全食”，则 的取值范围是 或.
1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
新课导入
学校举行秋季运动会，高一（1）班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米 ，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题.
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.能使用图或数轴表达集合的关系及运算.
新知学习 探究
一 并集
请同学们观察下列三组集合：
，，，，，0，1，；
是偶数，是奇数，是整数}；
，，，3，，，2，3，.
思考1．集合中的元素与集合，中元素的关系是什么？
思考2．①中集合的元素个数等于集合，的元素个数的和吗？③中呢？
【答案】思考1 提示：集合 中的元素是由所有属于 或属于 的元素组成.
思考2 提示：①中等于，③中不等于.
［知识梳理］
1．并集的概念
【答案】或； ； ,或
2．并集的运算性质
（1）④_ _ _ _ _ _ ;（2）⑤_ _ _ _ _ _ ;（3）⑥_ _ _ _ _ _ ;（4）若，则，反之也成立.
【答案】； ；
［例1］
（1） （对接教材例1）已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） B
（2） C
【解析】
（1） 集合,，则.
（2） 在数轴上表示出两个集合，如图，可得.
求两个集合的并集的方法
（1）对于元素个数有限的集合,可直接根据集合并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
（2）对于元素个数无限的集合,可借助数轴求解,注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围.
［跟踪训练1］．
（1） 已知集合，,1,3,，则（ ）
A. B.
C. ,1,3, D.
（2） 已知集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.由题得，
又,1,3,，
所以.
（2） 因为，，如图，
所以.
二 交集
观察集合，2，，，3，，，，，，回答下面的问题.
思考1．集合与集合有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？
思考2．集合，，中的元素与集合，有什么关系？
思考3．集合与集合，有什么区别？
【答案】思考1 提示：有公共元素，组成的集合是，.
思考2 提示：既属于，又属于.
思考3 提示：集合 中的元素是由既属于，又属于 的所有元素组成的，集合，中的元素是由既属于，又属于 的其中一个元素组成的.
［知识梳理］
1．交集的概念
【答案】且； ； ,且
2．交集的运算性质
（1）④_ _ _ _ _ _ ;（2）⑤_ _ _ _ ;（3）⑥_ _ _ _ _ _ .
【答案】； ；
［例2］
（1） （对接教材例3）英文单词所有字母组成的集合记为，英文单词所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
（2） 设集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 因为,,,,，,,},所以,，即共有2个元素.
（2） 因为，，画出数轴如图所示.
所以.
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个列出两个集合的公共元素即可.
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
［跟踪训练2］．
（1） [（2025·聊城期末）]设集合，.则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知集合，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.，画出数轴如图所示，
所以.
（2） 集合，集合，
所以.
三 并集、交集的运算性质及应用
［例3］ 已知集合,,且.
（1） 若，求实数的取值范围；
（2） 若,求实数的值.
【答案】
（1） 【解】因为,所以，画出数轴如图.
观察数轴可知
所以.
经检验，端点值符合题意，故实数 的取值范围为.
（2） 画出数轴如图，.
观察图形可知 解得.
母题探究．在本例（2）中，将条件“”变为“ ”，求实数的取值范围.
解：由于 ，结合数轴（图略）得，或.
又因为，
所以，或.
故实数 的取值范围是，或.
利用集合交集、并集的性质求参数的策略
（1）若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系.
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解.
（3）解方程（组）或不等式（组）,从而确定参数的值或取值范围.
常用结论,.
（2）若,则,反之也成立，即若，则.
（3）若,则,反之也成立，即若，则.
（4）若,则.
［跟踪训练3］．
（1） 已知集合，满足，，若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合或，，其中.当时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 或；或
【解析】
（1） 选.因为，，且，所以必有，可能 且，也可能 且，故 正确，，，错误.
（2） 当 时，集合 或，，
所以 或.
因为，所以，于是有 或，即 或，
因此实数 的取值范围为 或.
课堂巩固 自测
1．（教材P12T1改编）已知集合，,1,，则（ ）
A. B. C. ,2, D. ,1,2,
【答案】D
【解析】选.由已知,1,2,.
2．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.集合，，则.
3．（多选）已知集合，,则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为，图如图所示，
故，，即 错误，正确；
由交集和并集的概念可知，，即 错误，正确.
4．（教材P14T2改编）已知集合，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，集合，，
因为，可得，
所以.
5．已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，则.
课堂小结
1.已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围.
2.须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏.
3.应注意：（1）利用集合关系求参数时切莫遗忘空集;
（2）无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键.
课后达标 检测
A 基础达标
1．[（2024·天津卷）]已知集合，2，3，，，3，，，则（ ）
A. ，2，3， B. ，3，
C. ， D.
【答案】B
【解析】选.因为集合，2，3，，，3，4，，
所以，3，.
2．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选..
3．已知集合，，，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，则,，
且集合，，所以，,
结合选项可知，，错误，正确.
4．已知集合，.若 ，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】选.显然集合 非空，要使 ，应有 或，解得 或.
5．已知集合,,,，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ）
A. B. ,0, C. , D.
【答案】D
【解析】选.等价于，
当 时， ，此时，符合题意；
当 时，，因为，
故 或，即 或.
所以符合条件的实数 组成的集合是.
6．（多选）已知集合,,，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. ,0,1,
【答案】AD
【解析】选.因为,,0,1,，
又，所以，且，故 正确，错误；
，,0,1,，故 错误，正确.
7．已知集合，，则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】，，
所以.
8．已知集合，2，,,，若集合中有三个元素，则实数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】集合,2,，,，若集合 中有三个元素，则，即 或.
若，解得，其中 与集合中元素互异性矛盾舍去，满足题意；
若，解得 或，舍去，满足题意，
所以 或.
9．[（2025·珠海期中）]已知集合,，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，
因为，，
所以 即，
所以实数 的取值范围为.
10．（13分）已知集合，是奇数，，.
（1） 求；（5分）
（2） 若，，求.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得，，
所以.
（2） 由，又，得，
由，得,,，所以.
B 能力提升
11．（多选）若集合，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为，，所以，所以，，
因为，，
所以，所以，
所以，
故选项，正确，，错误.
12．已知集合，集合，，则.
【答案】14
【解析】设方程 的两个根分别为,，
则,，又，
故 或 则，
设 两个根分别为,，
则,，又，
故 或 则，
故.
13．（15分）设集合,,.
（1） 当时，求,；（7分）
（2） 记，若集合的真子集有7个，求所有实数的取值所构成的集合.（8分）
【答案】
（1） 解：当 时，，由，
解得 或,所以，
所以,.
（2） 若集合 的真子集有7个，
则，可得，
即 中的元素只有3个，
由，解得 或.
由（1）知，
则当,2,6时，，
故所有实数 的取值所构成的集合为.
14．（15分）设集合，集合.
（1） 若，求和；（7分）
（2） 若，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
又，
所以,
.
（2） 由，得，
当 时，，
解得，满足题意；
当 时，且
解得，
综上，，即实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．（多选）定义集合与的运算：且.已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，，，
所以，，
，，故，正确，，错误.
第2课时 全集、补集及综合应用
新课导入
在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识.
学习目标
1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
3.会用图、数轴解决集合的综合运算问题.
新知学习 探究
一 全集与补集
如果学校里所有同学组成的集合记为，所有男同学组成的集合记为，所有女同学组成的集合记为.
思考1．这三个集合之间有什么联系？
思考2．如果且,你能得到什么结论？
【答案】思考1 提示：，.
思考2 提示：.
［知识梳理］
1．全集
定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①_ _ 元素，那么就称这个集合为全集.
记法：通常记作.
【答案】所有
2．补集
定义 文字语言 对于一个集合，由全集中②_ _ _ _ _ _ 集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作③_ _ _ _ _ _
符号语言 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图形语言
性质 （1）； （2） ，； （3）； （4）；
【答案】不属于； ； ,且
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 数集问题的全集一定是.（ ）
（2） 集合与相等.（ ）
（3） .（ ）
（4） 一个集合的补集中一定含有元素.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．已知全集,,0,,，则（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】B
【解析】选.因为,,0,，
,所以,.
3．已知全集，集合，则的真子集个数为_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】由全集，，得，
因此 中有3个元素，其真子集个数为.
4．若全集,,或，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】如图，由补集定义可知 表示图中阴影部分，故 或.
求集合的补集的方法
（1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
（2）图法：借助图可直观地求出全集及补集.
（3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.
二 集合交、并、补的混合运算
［例1］
（1） 设集合,,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知全集，集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ，或；
【解析】
（1） 由条件可得，,，
所以.
（2） 根据题意，画出数轴，
由图1可得，或.
由图2可得，或.
所以，或，
.
集合混合运算的一般思路
（1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；
（2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；
（3）注意对运算结果进行检验.
［跟踪训练1］．
（1） [（2024·全国甲卷）]已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 如图，设全集，，，则图中的阴影部分表示的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.因为,，所以，4，9，16，25，，
则,.
（2） 题图表示的集合为.
三 利用集合间的关系求参数
［例2］ 设集合,,全集，且 ，求实数的取值范围.
【解】 由已知,
得,
因为, ,
在数轴上表示，如图，
所以,即.
所以实数 的取值范围是.
母题探究．若将本例中条件“ ”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围.
解：因为,
所以,
又,所以，
所以，解得.
所以实数 的取值范围是.
由集合的补集求解参数的方法
（1）对于由补集求参数问题，当集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
（2）对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，当集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
［跟踪训练2］．
（1） 已知全集,,，,，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2） 已知，集合,,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.因为全集,,，
,，又，
所以,
解得 或.
当 时，，不满足全集 中元素互异性，不符合题意，舍去；
当 时，,,,
,，符合题意；
所以.
（2） 因为，
所以 或.
又因为,，
观察 与 在数轴上表示的范围，如图所示,
所以当 时，.
拓视野 集合中元素个数与容斥原理
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合，， ，，将中的元素个数记为.
关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理）
二元容斥原理；
三元容斥原理.
［典例］ 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
所以，
所以，所以语文和英语均不擅长的同学人数为3.
［练习］．小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为.
【答案】46
【解析】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,,，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，
喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图，
则
后三个方程相加得，与第一个方程消去 得，
所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为.
课堂巩固 自测
1．已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意，易得.
2．（多选）（教材P13T3改编）图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.根据题图可知，阴影部分表示的集合是，所以,正确,错误，
而，不符合题意，错误.
3．已知全集，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，，
因为,所以,,,,,,即.
4．设集合，，全集，且 ，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知得，
则，
因为，且 ，如图，
则，即.
课堂小结
1.已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数.
2.须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想（正难则反）.
3.应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值.
课后达标 检测
A 基础达标
1．设集合,,1,，则（ ）
A. ,, B. , C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,0,1,，
所以,.
2．已知全集，,若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】选.因为集合，，且，所以.
3．已知全集，集合,满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由 可知，故，错误；如图，
由图易知， ，故 正确；
，不一定为 ，故 错误.
4．设全集，集合，,，则集合中的元素个数有（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】选.因为全集，，
所以，
又因为,，故.
因此，集合 中的元素个数为3.
5．已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，或，
题图中的阴影部分表示的集合为，
因为，，
所以 或.
6．[（2025·成都期末）]（多选）已知全集，2，3，4，，集合，，集合，2，，则（ ）
A. B. 的子集个数为8
C. D.
【答案】BC
【解析】选.由题知 且子集有 个，正确，
又，则，，错误；
由，则，正确.
7．若集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】因为，
所以 或.
又，
所以 或.
8．设，,,,则集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，画出 图如图所示，结合,2,3,4,5,6,7,8,，
，故.
9．已知全集，集合，，若 ，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 ，得.
因为，，
所以.
10．（13分）已知集合,
（1） 求,；（6分）
（2） 求,.（7分）
【答案】（1） 解：由条件可得,.
（2） 或，
所以,
或.
B 能力提升
11．（多选）已知集合,，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是或
【答案】AB
【解析】选.，
当 时，，则，故 正确；
或，，故 正确；
当 时，，不是 的子集，故 错误；
当 时，，即有 无解，故 错误.
12．某校有26名学生参加了数学小组，17名学生参加了物理小组，10名学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购张车票.
【答案】32
【解析】依题意，得如图所示的 图，
参加数理化竞赛的学生共有（人），所以需要预购32张车票.
13．[（2025·梅州期中）]（13分）已知全集，集合,0,,,.
（1） 求；（5分）
（2） 若, ,求.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得,,0,1,，
则,，
所以,,.
（2） 由题意得，
因为, ，
所以,.
由，得 且，
所以，
解得 舍去.
14．（15分）已知集合,.
（1） 若，求,；（7分）
（2） 若，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
又，
故，
或，
故.
（2） ，
当 时，，
解得，满足题意；
当 时，
解得，
故 的取值范围是.
C 素养拓展
15．（多选）设全集，不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. 或 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，所以 或，故 正确；
又因为，
即，故 错误，
可得，，故 错误,正确.
阶段提升（一） 集合（范围：1.1～1.3）
题型一 集合的基本概念
1．若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形
【答案】C
【解析】选.由，，，为集合 中的4个元素，得，，，两两不相等，而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等，则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，，，不符合题意；又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，符合题意.
2．已知集合,，若且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 且，得 解得.
3．设，若集合,,中的最大元素为3，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为集合,，中的最大元素为3，
所以,,,
所以 或.
当 时，不合题意，舍去；
当 时，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当 时，集合,1,中的最大元素为3，符合题意，
所以.
4．已知集合，,,，则集合的元素个数为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】当 时，，2，4，分别为0,,,均不能满足；
当 时，可满足，
，,,均不满足；
当 时，可满足，,，,均不满足，所以,，故集合 的元素个数为2.
处理集合概念问题的关注点
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
（2）看这些元素满足什么限制条件.
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验是否满足集合中元素的互异性.
题型二 集合的基本关系
1．已知集合,，,，则与之间的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,，,,，所以.
2．若集合有且仅有1个子集，则的值可以为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由集合 有且仅有1个子集可知，是 ，
当 时，，不符合题意；
当 时，由 可得，结合选项可知，符合题意.
3．已知非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】由题意，令，则原问题等价于：如果，，则.
根据集合元素的互异性与无序性，集合 可以是：或 或 或 或 或 或.故适合条件的集合 有7个.
4．已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 解得，
所以，且，
当 时，符合，
则，解得；
当 时，要使，
则 解得，
综上所述，实数 的取值范围为.
处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.
题型三 集合的基本运算
1．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]已知集合，,,0,2,,则（ ）
A. , B. C. ,, D. ,0,
【答案】A
【解析】选.因为,,,0,2,，且注意到，从而,.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题得，，，或，或，所以，故 错误；或，故 错误；
或，故 错误；，故 正确.
3．已知集合，集合，若 ，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为集合，
所以，
由于 ，所以.
4．若集合，，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，则，解得，
，又，则，结合,得，
因此方程 有等根2，则,，即,，
所以.
集合运算问题的关注点
（1）运算口诀:交集元素仔细找，属于且属于;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集是大范围，去掉中元素,剩余元素成补集.
（2）数形结合法:利用图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问题直观化.
提醒 要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解.
题型四 集合的新定义
［典例］
（1） 若，则，就称是“伙伴关系”集合，集合,,0,1,2,的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是（ ）
A. 31 B. 7 C. 3 D. 1
（2） [（2025·成都期中）]对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作，若,，,,,2,3,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ,
【解析】
（1） 若，则；
若，则；
若，则，
则,,,,,,2,,,1,,,2,,,,2,0,,为“伙伴关系”集合，共7个.
（2） 因为,，,,,2,3,,所以，即，所以，
所以，,,
所以,.
解决集合新定义问题的策略
（1）紧扣“新”定义,首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.
（2）按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算,从而达到解决问题的目的.
［跟踪训练］．
（1） （多选）当一个非空数集满足“如果，,则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题，正确的是（ ）
A. 0是任何数域的元素
B. 若数域有非零元素，则
C. 集合,}是一个数域
D. 有理数集是一个数域
（2） 设集合,，集合，若中恰有2个元素，且定义,，则的子集个数是_ _ _ _ .
【答案】（1） ABD
（2） 8
【解析】
（1） 选.对于，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故 正确；
对于，根据当 时，，则，即，进而，， ，，故 正确；
对于，对，，但，不满足题意，所以集合,}不是一个数域，故 不正确；
对于，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以 正确.
（2） 因为集合 且 中恰有2个元素，
则，所以，
又,，
所以，,0,，
又,，
所以,,，
所以 的子集有 个.
阶段小测（一）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合,则的真子集的个数为（ ）
A. 32 B. 31 C. 25 D. 24
【答案】B
【解析】选.集合 共有5个元素，所以集合 共有 个真子集.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. ，4，
C. ，2，3， D. ，3，4，
【答案】C
【解析】选.依题意得，对于集合 中的元素，满足,2,3,4,5,9，则 的取值为0,1,2,3,4,8，即，于是.
3．已知全集，集合，,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为全集，，，所以，则.
4．已知集合,，,,,},若，,则（ ）
A.
B.
C.
D. 不属于，，中的任意一个
【答案】C
【解析】选.因为,,所以,,,，
所以,，
所以.
5．已知集合，，且，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，，
因为，
所以，则，
即实数 的取值集合是.
6．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
【答案】B
【解析】选.由题得，，
由题意可知若 则 且，若 则 且，
若 则，若 则，而元素5没有限制，则 或.
综上，集合 可为，，，，，，，.
所以集合 的个数为8.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．下列各个选项中，满足,0,1,的集合有（ ）
A. , B. , C. ,0, D. ,0,1,
【答案】AC
【解析】选.因为，即有,,0,1,，
所有满足条件的集合 为,，,0,，,1,.
8．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在实数使得 B. 当时，
C. 当时， D. 存在实数使得
【答案】AD
【解析】选.若集合，则有 此方程组无解，所以不存在实数 使得集合，故 正确.当 时， ，不满足，故 错误.若，则当 时，有，解得；当 时，有 此方程组无实数解，所以若,则有,故 错误，正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．设，，若，则实数_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】由 得，解得 或，
由，可得,故.
10．已知集合或，，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 得，
即，
因为，所以.
11．某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为.
【答案】26
【解析】作出 图，如图所示，可知有5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程小组和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数小组和书法小组但不参加编程小组的有3人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知集合，集合.
（1） 求，，；（6分）
（2） 设集合，且，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，，
所以，，，
则.
（2） 因为,
所以，
所以
解得，
即实数 的取值范围为.
13．（本小题满分15分）设，，.
（1） ，求的值；（5分）
（2） 若 且 .求的值.（10分）
【答案】
（1） 解：由，，
则2和3为方程 的根，
则 解得.
（2） 因为，,，
由 且 ，得，
所以，解得 或，
当 时，由（1）知，，,，不符合题意；
当 时，,，，,，符合题意.
综上所述，.
14．（本小题满分15分）若集合具有以下性质：且；②若,，则，且当时，，则称集合为“闭集”.
（1） 试判断集合,0,是否为“闭集”，并说明理由；（4分）
（2） 设集合是“闭集”，求证：若,，则；（4分）
（3） 若集合是一个“闭集”，则当时，是否成立，并说明理由.（7分）
【答案】
（1） 解：,0,，，,,,但，
所以集合 不是“闭集”.
（2） 证明：依题意，集合 是“闭集”，
所以,,,,
.
（3） 依题意集合 是一个“闭集”，
若，则；
若，则；
若 且，
则,,，
所以,.
所以当 时，成立.
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
新课导入
“有之则必然,无之则未必不然”,“无之则必不然，有之则未必然”,这两句话蕴含什么逻辑关系呢 这就是本节我们所要探讨的内容.
学习目标
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的含义．
2.理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
新知学习 探究
一 命题的概念及结构
阅读下列语句：（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）你是高一学生吗？（5）.
思考1．哪些语句不能判断真假？哪些语句能判断真假？
思考2．能判断真假的语句有什么结构特点？
【答案】思考1 提示： 不能判断真假；能判断真假且（1）真（2）假.
思考2 提示：一般都可改写成“若 ，则……”的形式.
［知识梳理］
1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断①_ _ 的②_ _ _ _ _ _ 叫做命题.
【答案】真假； 陈述句
2．分类：判断为③的语句是真命题；判断为④的语句是假命题.
【答案】真； 假
3．结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，其中⑤_ _ _ _ 称为命题的条件，⑥_ _ _ _ 称为命题的结论.
【答案】；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） “”是命题．（ ）
（2） “所有的素数都是奇数”为真命题．（ ）
（3） “三条边都相等的三角形是等边三角形”为假命题．（ ）
（4） “若两个角互为补角，则这两个角不相等”是真命题.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A.
B. 若，都是无理数，则是无理数
C. 若集合，则
D.
【答案】CD
【解析】选.对于，，故 是假命题;对于，设，，则,都是无理数，而 不是无理数，故 是假命题；对于，若，即 是 的子集，故，故 是真命题；易知 是真命题.故选.
3．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
（1） 奇数不能被2整除；
（2） 当时，；
（3） 已知，为正整数，当时，且．
【答案】（1） 解：若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
（2） 若，则，是真命题．
（3） 已知，为正整数，若，则 且，是假命题．
要判断一个命题是否为真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是否为假命题，只需举出一个反例即可.
二 充分条件与必要条件
有如图所示的电路图.
思考1．哪一个电路图可以说明，当开关闭合，灯一定亮呢？
思考2．对于电路图1，当灯亮，开关一定闭合吗？
【答案】思考1 提示：图1.
思考2 提示：不一定，也可能是 开关闭合.
［知识梳理］
命题真假 “若,则”为真命题 “若,则”为假命题
推出关系 _ _ _ _ _ _ _ _
条件关系 是的③_ _ 条件； 是的④_ _ 条件 _ _ 的充分条件； 不是的必要条件
【答案】； ； 充分； 必要； 不是
角度1 充分条件的判断
［例1］ （对接教材例1）判断下列各组，中，是否是的充分条件？
（1） 在中，，；
（2） 已知，，；
（3） 已知，，．
【答案】（1） 【解】在 中，，所以 是 的充分条件．
（2） 由，所以 是 的充分条件．
（3） 方法一：由，所以 不是 的充分条件．
方法二：设集合，，则，所以 不是 的充分条件．
充分条件的两种判断方法
（1）定义法
（2）集合法
已知条件甲“”，条件乙“”，若，则甲是乙的充分条件.
角度2 必要条件的判断
［例2］ （对接教材例2）判断下列各组，中，是否为的必要条件？
（1） ，；
（2） ，；
（3） 是无理数，是无理数．
【答案】（1） 【解】由，则 成立，所以 是 的必要条件.
（2） 由，不能推出，则，所以 不是 的必要条件.
（3） 由 是无理数 是无理数，则 成立，所以 是 的必要条件．
必要条件的两种判断方法
（1）定义法
（2）集合法
已知条件甲“”，条件乙“”，若，则甲是乙的必要条件.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）如果命题“若，则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（ ）
A. 是的充分条件 B. 是的必要条件
C. 是的必要条件 D. 是的充分条件
（2） 能使成立的充分条件是_ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（填写两个不同条件）
【答案】（1） AC
（2） ；（答案不唯一）
【解析】
（1） 选.命题“若，则”是真命题，则，则 是 的充分条件，是 的必要条件，故，正确.又 不一定可以推出，故，不一定正确.
（2） 设，其充分条件为，则应该有，而 或 等均满足题意.
三 充分条件与必要条件的应用
［例3］ 已知实数满足，其中；实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围.
【解】 由，，，可令集合，，集合.
因为，所以，
所以
解得，
所以实数 的取值范围是.
母题探究．将本例中条件改为“实数满足，其中”，若是的必要条件，求实数的取值范围.
解：由,，，
可令集合,，
集合.
因为，所以，
所以
所以实数 的取值范围是.
充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
（2）求解技巧：先把，等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
［跟踪训练2］．
（1） 若“”是“”的必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若“”是“”的充分条件，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 1或
【解析】
（1） 选.由“”是“”的必要条件知，即 是 的子集，可得.
（2） 依题意，可得，解得 或.
课堂巩固 自测
1．下列语句不是命题的是（ ）
A. B.
C. D. 方程有实根
【答案】C
【解析】选.对于,为命题且为真命题；
对于，为命题且为假命题；
对于，，无法判断真假，不是命题；
对于，,故方程 没有实数根，故 为假命题.
2．（多选）以下选项中，是，的一个必要条件的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】选.对于，由，不能得到，故 不满足题意；对于，由，不能得到，故 不满足题意；对于，当，时，成立，故 满足题意；对于，当，时，成立，故 满足题意.
3．设，则命题“关于的方程的解集为”是命题.（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】当 时，方程 无解，当 时，方程 的解为，
所以命题“关于 的方程 的解集为”是假命题.
4．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】“”是“”的充分条件，
则.
故实数 的取值范围为.
课堂小结
1.已学习：命题、充分条件、必要条件的概念及应用.
2.须贯通：充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法.
3.应注意：（1）充分条件、必要条件不唯一；
（2）求参数范围易忽视端点值的取舍.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列语句是命题的是（ ）
A. 二次函数的图象太美啦 B. 为新一年的到来，干杯
C. 求证： D. 3比5大
【答案】D
【解析】选.能够判断真假的陈述句叫命题，只有 选项是陈述句且能够判断真假，3比5大显然不成立，是假命题.
2．下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】选.对于，若，则，故 为真命题；
对于，若，则，故 为真命题；
对于，若，则，故 为真命题；
对于，当 时，恒成立，不能得到，故 为假命题.
3．对于命题全等三角形的周长相等，命题周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
【答案】C
【解析】选.对于命题，全等三角形的形状和大小均相同，所以周长相等，故命题 为真命题；
对于命题，只要三角形三边和相等，则周长相等，对形状和大小无要求，所以周长相等的三角形不一定全等，故命题 为假命题.
4．已知，，若是的必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】选.由 是 的必要条件，得，所以.
5．若,是两个实数，命题“,中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，当,时，满足，但命题不成立；
对于，，当,时，满足，，但命题不成立.
6．（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】选.对于，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件；
对于，若，则，即“”是“”的必要条件；
对于，若，则，即“”是“”的必要条件；
对于，若，则，即“”是“”的必要条件.
7．能够说明“设,,是任意实数，若，则”是假命题的一组整数,,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2,,（答案不唯一）
【解析】当,,时，满足，但是,,.
8．写出的一个必要条件但又不是充分条件的式子_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，所以 是 的必要条件，
但，所以 不是 的充分条件，
所以满足是 的一个必要条件但又不是充分条件的式子是.
9．已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的_ _ 条件，是的_ _ 条件. （填“充分”或“必要”）
【答案】必要； 必要
【解析】 是 的必要条件，则，是 的充分条件，则，是 的充分条件，，所以，则 是 的必要条件，是 的必要条件.
10．（13分）指出下列各组命题中，是的什么条件，是的什么条件.
（1） 已知集合,,;（4分）
（2） 或,;（4分）
（3） 能被6整除，能被3整除.（5分）
【答案】（1） 解：由,可以推出,即，所以 是 的充分条件，是 的必要条件.
（2） 由 能推出 或，即，所以 是 的必要条件，是 的充分条件.
（3） 由 能被6整除，能推出 能被3整除，即，所以 是 的充分条件，是 的必要条件.
B 能力提升
11．对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若 ，则 或
【答案】D
【解析】选.对于，若，则对所有的，有，则，故 为真命题；
对于，若，则对所有的，有，则，故 为真命题；
对于，,对所有的，有；，对所有的,有，
所以，集合,的所有元素相同，即，故 为真命题；
对于，如，,显然 ，但 且 ，故 为假命题.
12．已知集合，非空集合,若是的必要条件，则实数的所有可能取值构成的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】由题知，,，，
且 ，所以，此时，
所以 或，所以.
综上，实数 的所有可能取值构成的集合为,.
13．（15分）已知集合,.
（1） 若，求和;（7分）
（2） 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，所以,
所以，.
（2） 因为“”是“”的充分条件，
所以，
又因为，
,
所以 解得，
所以实数 的取值范围为.
14．（15分）已知命题“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题.
（1） 求实数的取值范围；（6分）
（2） 命题，是否存在实数使得是的必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.（9分）
【答案】（1） 解：因为命题 为真命题，，所以 且，解得.
（2） 令，,，
因为 是 的必要条件，所以，
由题知 解得.
综上所述，存在实数 使得 是 的必要条件，实数 的取值范围为.
C 素养拓展
15．已知关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是.
【答案】甲
【解析】若甲、乙两命题均正确，
且，，
则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题.
若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，则方程两根同号，与丁命题矛盾，故甲命题为假命题；
若乙为真命题，由丙命题可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意.
1.4.2 充要条件
新课导入
老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦.
学习目标
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的含义．
2.会判断一些简单的充要条件问题．
3.能对充要条件进行证明．
新知学习 探究
一 逆命题
已知命题：若，则.
思考1．该命题是真命题还是假命题？
思考2．若，则，是真命题吗？
【答案】思考1 提示：是假命题，如,但.
思考2 提示：是假命题，如，有.
［知识梳理］
将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ”，称这个命题为原命题的逆命题.
【答案】若,则
［即时练］
1．“若，则”的逆命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】选.“若，则”的逆命题为“若，则”.故选.
2．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为“如果，互为相反数，那么”，该命题为真命题.
3．把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出其逆命题．
（1） 当时，；
（2） 如果抛物线经过原点，那么；
（3） 角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【答案】
（1） 解：若，则；
逆命题：若，则.
（2） 若抛物线 经过原点，则；
逆命题：若，则抛物线 经过原点．
（3） 若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；
逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上．
对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真假性无关.
二 充要条件
给出下面两个“若，则”形式的命题：
（1）若，则；
（2）若，则.
思考1．能判断这两个命题的真假吗？
思考2．若，，则是的什么条件？
思考3．命题（1）与命题（2）有什么关系？
【答案】
思考1 提示：
（1）是真命题；（2）是真命题.
思考2 提示：由命题（1）知 是 的充分条件；由命题（2）知 是 的必要条件.
思考3 提示：互为逆命题.
［知识梳理］
命题真假 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题
推出关系 既有,又有，记作①_ _ _ _ _ _
条件关系 既是的充分条件，也是的必要条件
结论 是的②_ _ _ _ _ _ _ _ 条件，简称为③_ _ 条件
【答案】； 充分必要； 充要
［例1］ （对接教材例3）下列命题中，哪些是的充要条件？
（1） 集合，，，集合；
（2） 是直角三角形，是等腰三角形；
（3） ，；
（4） 某四边形是菱形，某四边形的对角线相互垂直.
【答案】
（1） 【解】若，，则,又由，则，
同理可得，则有；
反之，若，一定有，，,故 是 的充要条件.
（2） 由 是直角三角形推不出 是等腰三角形，
由 是等腰三角形推不出 是直角三角形，
故 是 的既不充分也不必要条件.
（3） 若，则 或，如，不能推出；
若，则 且，能推出，
故 是 的必要不充分条件.
（4） 菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，即 但，故 是 的充分不必要条件.
判断充要条件的方法
（1）定义法：直接判断“若,则”以及“若，则”的真假.
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断.
（3）等价法：即利用与的等价关系，对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用等价法.
注意 是的充要条件意味着“成立，则一定成立；不成立，则一定不成立”.
是的充要条件，则也是的充要条件.
常用结论
条件与结论的关系 结论
，且 是的充分不必要条件
，且 是的必要不充分条件
，且，即 是的充要条件
，且 是的既不充分也不必要条件
［跟踪训练1］．
（1） 在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2） （多选）设全集为，，，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） BD
【解析】
（1） 选.在 中，若，根据大角对大边可得，若，则根据大边对大角可知．所以“”是“”的充要条件．
（2） 选.对于，由 图可知，当 时，，故 错误；
对于，由 图可知， 等价于，故 正确；
对于，若，当 时，取，，，
此时 ， ，满足条件，但 不成立，故 错误；
对于，由 图可知，等价于，故 正确.
三 充要条件的应用
角度1 充要条件的证明
［例2］ 求证：“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件．
【证明】 充分性：在 中，设 边上的高为，边上的高为．
则，
因为，所以，
故 为等腰三角形，充分性成立．
必要性：若 为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为，
则，
可得，必要性成立．
故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件．
充要条件的证明思路
在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.即：若证明“的充要条件是”，那么“充分性”是，“必要性”是；若证明“是的充要条件”，则与之相反.
角度2 利用充要条件求参数
［例3］ 已知，．
（1） 若是的充要条件，求的值；
（2） 若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1） 【解】因为 是 的充要条件，所以，解得.
（2） 因为 是 的充分不必要条件，
所以，
即，
解得，
所以 的取值范围是.
利用充要条件求参数值（范围）的一般步骤
（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的包含关系.
（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式（组）求解.
［跟踪训练2］．
（1） 二次函数的图象关于直线对称的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
（2） 求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是．
【答案】（1） B
（2） 证明：充分性：因为，
所以，
代入方程，
得，
即．
所以方程 有一个根为1，充分性成立．
必要性：因为方程 有一个根为1，
所以 满足方程，
所以，即，必要性成立．
故关于 的方程 有一个根为1的充要条件是．
【解析】
（1） 选.因为函数 的图象的对称轴为直线，则，即.
课堂巩固 自测
1．点是第二象限的点的充要条件是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】B
【解析】选.因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点 是第二象限的点的充要条件是,．
2．（多选）已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】CD
【解析】选.因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以.
3．[（教材P22习题1.4T1改编）]写出的一个必要不充分条件为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，则不一定有；若 则一定有，
所以 是 的必要不充分条件，即 的一个必要不充分条件为.
4．（教材（3）改编）设集合，，求证：是的充要条件．
证明：充分性：因为，即对所有的，有，所以当 时，，故充分性成立．
必要性：因为，所以对所有的，有，即，所以．所以当 时，，故必要性成立.
所以 是 的充要条件．
课堂小结
1.已学习：逆命题、充要条件概念的理解、充要条件的证明.
2.须贯通：根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件求参数问题的关键是将问题转化为两个集合间的包含关系，建立关于参数的方程或不等式（组）求解.
3.应注意：搞清充分性与必要性的判断方向.
课后达标 检测
A 基础达标
1．设，“若，则”的逆命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】选.互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，即“若，则”.
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.由 可得，解得 或，所以“”是“”的充分不必要条件.
3．使成立的一个充分不必要条件是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设集合，则使 成立的充分不必要条件是集合 的真子集．
对照选项知只有 符合题意.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】选.取,,，此时，,则充分性不成立；取,，此时，,则必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
5．[（2025·泰州期中）]已知，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设集合，集合，,
由题意知 是 的真子集，
则 且等号不同时成立，
解得.
6．（多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.由 可得
，
设集合，其必要不充分条件对应的集合为，则有，
对照选项可知，符合题意．
7．已知使不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题知，所以
且等号不同时成立，
解得，所以 的取值范围是.
8．若集合，,，则的一个必要不充分条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，得，
所以 的一个必要不充分条件是.
9．命题一次函数的图象经过一、二、四象限的充要条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为一次函数 的图象经过一、二、四象限，
则 解得，
即一次函数 的图象经过一、二、四象限的充要条件是.
10．（13分）已知集合，或，．
（1） 求；（5分）
（2） 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．（8分）
【答案】
（1） 解：因为，又，
所以.
（2） 因为 或，
所以，
因为 是 的充分不必要条件，
则，又，
所以 解得.
B 能力提升
11．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.对于，灯泡 亮，可能是 闭合，不一定是 闭合，当 闭合时，必有灯泡 亮，故 是 的必要不充分条件，符合题意；对于，由于 和 是串联关系，故灯泡 亮，必有 闭合，闭合，灯泡 亮，即 是 的充要条件，不符合题意；对于，灯泡 亮，则开关 和 必都闭合，当开关 闭合 打开时，灯泡 不亮，故 是 的充分不必要条件，不符合题意；对于，灯泡 亮，与开关 是否闭合无关，故 是 的既不充分也不必要条件，不符合题意.
12．设，，若，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；集合中有两个元素的充要条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 且
【解析】当 时， ，即 无解，当 时，不成立；当 时，，解得.综上可知，的取值范围为.集合 中有两个元素，即 有两个不等

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