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第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
新课导入 学习目标
同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出 范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围． 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．
新知学习 探究
一 任意角的概念
思考1．在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是 ．
思考2．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问有几种旋转方向？
提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向.
思考3．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问旋转的角度确定吗？
提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍.
［知识梳理］
1．角的概念及其表示
角可以看成一条①_ _ 绕着它的端点②_ _ 所成的③_ _ ，如图.
（1）始边：射线的④_ _ 位置；
终边：射线的⑤_ _ 位置；
顶点：射线的端点．
（2）记法：图中的角 可记为“角 ”或“ ”或“”．
【答案】射线； 旋转； 图形； 起始； 终止
2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按⑥_ _ _ _ _ _ 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按⑦_ _ _ _ _ _ 方向旋转形成的角
零角 一条射线⑧_ _ 做任何旋转形成的角
【答案】逆时针； 顺时针； 没有
3．角的相等
如果角 和角 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称⑨_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
4．角的加法
设 , 是任意两个角.我们规定，把角 的终边旋转角 ，这时终边所对应的角是⑩_ _ _ _ _ _ .
【答案】
5．相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 _ _ _ _ _ _ ，角 的相反角记为 _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】相反角； ；
6．象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 _ _ _ _ _ _ _ _ ；如果角的终边在 _ _ _ _ _ _ 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
【答案】第几象限角； 坐标轴
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 终边与始边重合的角是零角.（ ）
（2） 终边与始边都相同的两个角一定相等.（ ）
（3） 小于 的角是锐角.（ ）
（4） 第二象限角是钝角．（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．射线绕端点逆时针旋转 到达的位置，再顺时针旋转 到达的位置，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】逆时针旋转形成的角是正角，顺时针旋转形成的角是负角，所以 ．
3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角为_ _ _ _ _ _ _ _ ，分针转过的角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为时针每小时转 ，分针每小时转 ，时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角为，分针转过的角为 ．
4． 角是第象限角；若 是第四象限角，则 是第象限角．
【答案】三； 一
【解析】因为 ，故 角是第三象限角；若 是第四象限角，则 的终边在第四象限，又 的终边与 的终边关于 轴对称，所以 的终边在第一象限，所以 是第一象限角．
任意角的理解
（1）正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角、象限角等概念．
（2）处理任意角问题的两个关键点．
①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．
二 终边相同的角
思考．如图所示， 角的终边是 ， 角的终边与 角的终边有什么关系？如何表示与 角终边相同的角？
提示：相同..
［知识梳理］
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与②_ _ _ _ _ _ _ _ 的和.
【答案】 ,； 整数个周角
角度1 求与已知角终边相同的角
［例1］ （对接教材例1）已知 ．
（1） 把 写成 ，， 的形式，并指出 是第几象限角；
（2） 求 ，使 与 的终边相同，且 ．
【答案】（1） 【解】 ，即 ，它是第二象限角．
（2） 由（1）及题意知 ，，
又 ，故当 时， ；
当 时， ．
综上， 或 ．
求在某范围内与已知角终边相同的角的基本思路
求与已知角 终边相同的角，先将这样的角表示成的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定的值，求出满足条件的角.
角度2 终边在已知直线上的角的表示
［例2］ 写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
【解】 由题图易知，在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 和 角，
因此，终边在直线 上的角的集合为
， , ， ， ，.
求终边在某条直线上的角的集合的步骤
（1）在 范围内，找到终边在所给直线上的角 及角 ；
（2）分别写出与角 及角 终边相同的角的集合，然后求其并集．
常用结论
终边落在轴上的角的集合： ，；终边落在轴上的角的集合： ，}；终边落在坐标轴上的角的集合： ，；终边落在直线上的角的集合： ，.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）在 范围内，下列给出角度与 角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
（2） 角是第象限角.
（3） 终边在如图所示的直线上的角 的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） AD
（2） 一
（3） ，
【解析】
（1） 选. ， ,，正确，，错误.
（2） 由于 ，且 角为第一象限角，故 角是第一象限角.
（3） 在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 ， 角（如图），
所以终边在直线 上的角的集合是 ， ， ， ， ，.
三 区域角
角度1 区域角的集合表示
［例3］ 写出终边落在图中阴影区域内的角 的集合．
【解】 在 范围内，题图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为 ，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为 ，因此，阴影区域所表示的角的集合为 ，.
表示区域角的三个步骤
（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，所以，其中 ；
（3）起始、终止边界对应角 ， ，再加上 的整数倍，即得区域角的集合.
角度2 象限角的集合表示
［例4］ 若 是第一象限角，则角 ，分别是第几象限角？
【解】 因为 是第一象限角，
所以，
所以.
故 是第一或第二象限角或是终边在 轴的非负半轴上的角.
方法一：由 式得.
①当 为偶数时,令,
得,此时 是第一象限角.
②当 为奇数时，令,得，此时 是第三象限角.
综合①②知，是第一或第三象限角.
方法二：如图，将各象限分成两等份，再从 轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域（阴影部分）即为 的终边所在的区域，故 是第一或第三象限角.
母题探究．若 是第一象限角，则是第几象限角？
解：如图，将各象限分成三等份，再从 轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域（阴影部分）即为 的终边所在的区域，故 是第一、第二或第三象限角．
由 的终边所在象限确定 或 的终边所在象限的方法
（1）用不等式表示 的范围，再确定 或的范围，再判断角的终边所在象限.
（2）数形结合法，等分象限，确定角的终边所在象限，即求的终边所在象限时，可以把每个象限等分为份，在每一份中按逆时针方向顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可．
［跟踪训练2］．
（1） （多选）角的终边在第三象限，则 的终边可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 轴非负半轴 D. 第三或四象限
（2） 已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角 所在的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） ABC
（2） ，
【解析】
（1） 选.因为角 的终边在第三象限，所以 ，,所以 ，．所以 的终边可能在第一、二象限或 轴非负半轴．
（2） 在 范围内，终边落在题图中阴影内的角 满足 或 ，
所以所有满足题意的角 的集合为：
， , ， , ，．
课堂巩固 自测
1．下列各角中与 角终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.与 角终边相同的角为，则当 时， .
2．（多选）（教材P171T1改编）已知 是锐角，则（ ）
A. 是第三象限角 B. 是小于 的正角
C. 是第一或第二象限角 D. 是锐角
【答案】ABD
【解析】选.由题知，因为 是锐角，所以 ，所以 ，故 正确； ，故 正确，错误； ，故 正确.
3．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】由题图可知，终边为 的角的集合为 ,，终边为 的角的集合为 ,，故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是 ,.
4．（教材P171T5改编）写出与 角终边相同的角的集合，并求在 范围内与 角终边相同的角．
解：与 角终边相同的角的集合为 ，．
S中满足不等式 的元素 有 ；
．
综上所述，在 范围内与 角终边相同的角为 和 ．
课堂小结
1.已学习：正角、负角、零角的概念；象限角、终边相同的角、区域角的表示.
2.须贯通：任意角的概念中，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小，区域角用不等式表示的步骤，分类讨论与数形结合相互渗透.
3.应注意：终边相同的角的表示中勿漏掉;表示区域角时，按逆时针方向来确定区域的始边与终边所对应的角．
课后达标 检测
A 基础达标
1．若 ，则角 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选.因为 ，所以角 的终边在第三象限.
2．与 角终边相同的角可以表示为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】选.因为 ，所以与 角终边相同的角可以表示为 ,.
3．若角 是第二象限角，则角 的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选.角 是第二象限角，则 ,,所以 ,，故角 的终边在第三象限.
4．集合 ，}中角 终边的位置（阴影部分）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.当，时， ，，此时角 的终边位于第一象限靠近 轴的区域；当，时， ，，此时角 的终边位于第三象限靠近 轴的区域.
5．“ 是小于 的钝角”是“ 是第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.若 是小于 的钝角，则 ，则 ，所以 是第三象限角；若 是第三象限角，则 可以取 ，此时，但 不是钝角.故“ 是小于 的钝角”是“ 是第三象限角”的充分不必要条件.
6．（多选）角的终边落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】AC
【解析】选.方法一：当 时， ，故 为第三象限角；当 时， ，故 为第一象限角．故角 的终边落在第一或第三象限．
方法二：因为 表示与 角的终边在同一直线上的角，又 角的终边所在直线在第一、第三象限，所以角 的终边落在第一或第三象限.
7．如图，射线绕顶点逆时针旋转 到位置，并在此基础上顺时针旋转 到达位置，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由角的定义可得 ．
8．终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，}
【解析】在 范围内，题图中终边落在阴影部分（包括边界）的角的范围是 ，则满足条件的角 的集合为 ，}.
9．若角 的终边与 角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为角 的终边与 角的终边相同，可得 ,，则 ,，令 ，即 ,，则，所以终边与角 的终边相同的钝角为 ．
10．（13分）已知角 .
（1） 把 改写成为的形式，并指出 是第几象限角；（6分）
（2） 求 ，使 与 终边重合，且 .（7分）
【答案】（1） 解：因为 ,所以取， ，则 ，又 是第三象限角， ， 终边相同，所以 为第三象限角.
（2） 与 终边重合的角为，
令，
解得，
所以,,，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的值为 , , .
B 能力提升
11．设集合 ，， ，， ，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.表示终边落在 轴非正半轴上角的集合，表示终边落在 轴上角的集合，表示终边落在 轴上角的集合，故.
12．已知角 ， 都是锐角，且角 的终边与 角的终边相同，角 的终边与 角的终边相同，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ．
【答案】；
【解析】因为角 ， 都是锐角，所以 ， ，
则 ， ，
由题意可知， ，， ，，
所以，,则 ， ，解得 ， .
13．（13分）如图，阴影部分表示角 的终边所在的位置，试写出角 的集合．
解：（1），，,}.
（2），}.
14．（15分）已知角的集合 ，}．
（1） 其中有几种终边不重合的角？（6分）
（2） 写出集合中落在 范围内的角；（5分）
（3） 写出集合中第二象限角的一般表示方法．（4分）
【答案】
（1） 解：当 时， ，与 角的终边重合；
当 时， ，与 角的终边重合；
当 时， ，与 角的终边重合；
当 时， ，与 角的终边重合.
故有4种终边不重合的角.
（2） 当 时，，当 时, ,易知，，，，0，1，2，3均符合题意．所以在给定的角的集合中落在 范围内的角是 ， ， ， ， ， ， ， .
（3） 由（1）知，集合中的第二象限角可表示为 ，．
C 素养拓展
15．如图，半径为1的圆的圆周上一点从点出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点在内转过的角度为，到达第三象限，回到起始位置，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 或
【解析】由题意，
得
即
解得 或 .
5.1.2 弧度制
新课导入 学习目标
弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 1.了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的相互转化． 3.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式．
新知学习 探究
一 弧度制的概念
思考1．在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？
提示：1度的角等于周角的.
思考2．射线绕端点旋转到形成角 ，在旋转过程中，射线上的两点，（不同于点）形成的轨迹的长度为，，其中，，在旋转过程中，弧长与半径的比值和弧长与半径的比值有何关系？
提示：相等.设 ，因为，所以.同理，故.
［知识梳理］
1．度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的①_ _ _ _ _ _ _ _ 为1度的角,记作
弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于②_ _ _ _ _ _ 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号表示，读作弧度
【答案】； 半径长
2．弧度数的计算
（1）在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么.
（2）一般地，正角的弧度数是一个③_ _ ，负角的弧度数是一个④_ _ ，零角的弧度数是⑤_ _ .
【答案】正数； 负数； 0
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 的角比 的角要大.（ ）
（2） 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.（ ）
（3） 每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应.（ ）
（4） 的角是周角的，的角是周角的.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） √
2．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧的长为，则圆心角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设扇形弧长为，圆心角为 ，半径为，则．
3．若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角（正角）的大小为_ _ _ _ .
【答案】1弧度
【解析】圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度角．
关于弧度制的理解
（1）圆心角 与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的．
（2）任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
二 弧度与角度的互化
思考1．用角度制和弧度制如何表示零角？
提示：角度制表示为 ，弧度制表示为0.
思考2．用角度制和弧度制如何表示周角？
提示：角度制表示为 ，弧度制表示为.
［知识梳理］
角度化弧度 弧度化角度
① _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _
③ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _
度数弧度数 弧度数度数
【答案】； ； ；
［例1］ （多选）下列角度与弧度互化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于, ，故 错误；对于, ，故 正确；对于,，故 正确；对于,，故 正确.
角度制与弧度制的互化原则及方法
（1）原则：牢记,充分利用和 进行换算.
（2）方法：设一个角的弧度数为 ，角度数为，则 ；.
注意 （1）弧度单位可以省略．
（2）在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
常用结论
度
弧度 0
度
弧度
［跟踪训练1］．
（1） 将化为弧度是（ ）
A. B. C. D.
（2） 将化为度是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选．.
（2） .
三 用弧度表示角
［例2］
（1） 用弧度制表示与 角的终边相同的角的集合为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（包含边界）的角 的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2） ，，
【解析】
（1） 因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用，故与 角的终边相同的角的集合为.
（2） 由题图，终边 对应角为,，终边 对应角为,，所以终边落在题图中阴影部分角 的集合是，，．
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
（1）用弧度制表示终边相同的角时，其中 是 的偶数倍，而不是整数倍．
（2）注意角度制与弧度制不能混用．
［跟踪训练2］．
（1） 与终边重合的最小正角是_ _ _ _ _ _ .
（2） 若角 的终边落在如图所示的阴影部分内，则角 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） ,
【解析】
（1） 因为与 终边相同的角为 ，,当 时， 取得最小正角.
（2） 阴影部分的两条边界分别是，角的终边，所以角 的取值范围是.
四 扇形的弧长和面积公式
［例3］ （对接教材例6）已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为．
（1） 若 ,,求扇形的弧长；
（2） 已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角.
【答案】（1） 【解】由题意知，所以弧长．
（2） 由题意得 解得 （舍去）或 故扇形的圆心角为．
母题探究．若扇形的周长为，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：由题意知，
所以，
所以当 时，取得最大值，最大值为，此时，．
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：面积公式：，弧长公式：（其中是扇形的弧长，是扇形的半径， 是扇形圆心角的弧度数，）.
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程（组）求解.
［跟踪训练3］．已知圆心角为 的扇形的半径为2，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.，所以该扇形的面积.
课堂巩固 自测
1．若 ,,则 终边所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第一、三象限
C. 第二象限 D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】选.因为 经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故 ，，经过第一、三象限.
2．（多选）（教材P175T1，T2改编）下列说法正确的是（ ）
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
【答案】AB
【解析】选.对于，，故 正确；对于， ，故 正确；对于，，故 错误；对于， ，故 错误.
3．（教材P175T3改编）写出与终边相同的角的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】与 终边相同的角的集合是
．
4．已知扇形的弧长为，面积为，求：
（1） 扇形的半径；
（2） 扇形圆心角 的弧度数．
【答案】
（1） 解：由 得，
解得.
（2） 由题意得扇形圆心角.
课堂小结
1.已学习：弧度制的概念；角度制与弧度制的互化；弧度制的应用．
2.须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系.
3.应注意：（1）弧度与角度不能混用；
（2）弧长公式、扇形的面积公式中的圆心角必须以弧度为单位.
课后达标 检测
A 基础达标
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选 .
2．在半径为9的圆中， 的圆心角所对弧长为 （ ）
A. 900 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.，则 的圆心角所对弧长为 ．
3．与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A. , B. ，
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以，错误；与 终边相同的角可以写成 的形式，当 时,, 换算成弧度制为，所以 错误，正确．
4．若三角形的三个内角之比为，则该三角形中最大内角的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设三角形的三个内角的弧度数分别为,,，则有 ，解得，所以最大内角的弧度数为．
5．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为，因此大轮每秒转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是.
6．（多选）若角 的终边与角的终边关于轴对称，且，则 的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为角 的终边与角 的终边关于 轴对称，所以 ,，
又因为，
所以当 时,；
当 时，．
7．若两个角的差为1弧度，和为 ，则较大角的弧度数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】设这两个角的弧度数分别为 ， ， ，因为，
所以
解得
8．写出一个与 角终边相同的正角：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用弧度数表示）
【答案】（答案不唯一，符合 ，即可）
【解析】与 角终边相同的角为,,又题目要求正角，所以，,所以 可取 ，化为弧度数为.
9．如图，矩形在圆外的面积为 ，，则矩形截圆所得圆弧的长为_ _ .
【答案】
【解析】因为矩形 在圆 外的面积为 ，
所以设圆 的半径为，所以，,
所以矩形 在圆 外的面积为 ，
解得，所以矩形 截圆 所得圆弧 的长为 .
10．（13分）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）.
解：（1）因为 与 的终边相同，，所以终边落在阴影部分的角的集合为
.
（2）因为，，所以终边落在阴影部分的角的集合为
.
B 能力提升
11．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角 的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设 的半径为，劣弧 的长为,过圆心 作 于点，则 为 边的中点．
因为， ,
，所以边长，
所以劣弧 的长．
又 是负角，所以.
12．如图是某月牙形吊坠（图中弧和弧所围成的图形）的平面图，其中弧是以为直径的半圆，弧是以为圆心的一段圆弧.若,,则该月牙形吊坠平面图的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】半圆 的面积为，由于,,故,弓形 的面积为,故所求面积为.
13．（13分）已知角 ．
（1） 将角 改写成的形式，并指出角 是第几象限角；（6分）
（2） 在区间上找出与角 终边相同的角．（7分）
【答案】（1） 解：因为 ，所以角 与 的终边相同，又 ，所以角 是第二象限角．
（2） 因为与角 终边相同的角（含角 在内）为 ,，
所以由 ，
得．
因为，
所以,,0．
当 时，；
当 时，；
当 时，；
故在区间 上与角 终边相同的角是，，.
14．（13分）已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为.
（1） 若扇形的面积为, ，求扇形的弧长；（6分）
（2） 若扇形的面积是定值，求扇形的周长最小时，圆心角 的值．（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知，
所以，所以，
，解得.
（2） 由题意可得，则，则扇形周长为，当且仅当，即 时等号成立，此时．即扇形的周长取最小值 时，．
C 素养拓展
15．密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”，1周角等于6 000密位，记作1周角，1直角，如果一个半径为3的扇形的面积为 ，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，设扇形的圆心角为 ， 所对的密位为，
则 ，
解得 ，
由题意可得，
解得，
因此该扇形圆心角用密位制表示为．
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第1课时 三角函数的定义
新课导入 学习目标
江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然.若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示. 1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 2.会利用任意角的三角函数的定义求值．
新知学习 探究
一 任意角的三角函数的定义
在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示.
定义，，.
思考1．定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变（相似变化），其三角函数值是否改变？
思考2．如图，如果一个锐角 的终边与单位圆的交点是，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点的坐标表示 ， ， ？
【答案】思考1 提示：不变.
思考2 提示 ，，.
［知识梳理］
前提 如图，设 是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点
定义 正弦 把点的纵坐标①_ _ _ _ 叫做 的正弦函数，记作 ，即②_ _ _ _ _ _ _ _
余弦 把点的横坐标③_ _ _ _ _ _ 叫做 的余弦函数，记作 ，即④_ _ _ _ _ _ _ _
正切 把点的纵坐标与横坐标的比值⑤_ _ _ _ _ _ 叫做 的正切，记作 ，即⑥_ _ _ _ _ _ _ _ .其比值为函数值的函数，称为正切函数
三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
【答案】； ； ； ； ；
［例1］ （对接教材例1）利用定义求的正弦、余弦和正切值．
【解】 如图所示，的终边与单位圆的交点为，过点 作 轴于点，
在 中，，，则，，则,．
所以，，
．
单位圆法求三角函数的步骤
（1）先求出角的终边与单位圆交点的坐标；
（2）再利用任意角的三角函数的定义求解.
［跟踪训练1］．
（1） 已知角 的终边与单位圆交于点,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知角 的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选. 的终边与单位圆交于点,故,，所以.
（2） 设,，由，得，所以，所以，又因为点 在第二象限，所以，即,，
故.
二 坐标法求三角函数值
思考．如图，如果一个角 的终边上有点，是否能用点的坐标表示角 的 ， ， ？
提示：设，根据三角形的相似性，易得，，.
［知识梳理］
设直角坐标系中任意大小的角 终边上一点（不与原点重合）的坐标为，它到原点的距离为，，则任意角 的三角函数的定义如表：
三角函数 定义 表示式 定义域
［例2］ 已知角 的终边经过点，点到坐标原点的距离为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，，所以，，所以.
母题探究．将本例中“点”变为“点” 求 , , 的值.
解：当 时，
，
，
；
当 时，，
，
.
综上所述,；
当 时，，；
当 时，，.
坐标法求三角函数值的步骤
（1）在角 的终边上任选一点，求出点到原点的距离；
（2）根据，，，求出三角函数值.
［跟踪训练2］．
（1） 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数的图象恒过定点，在直角坐标系中，角 以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角 的终边也过点，则 的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由角 的终边经过点,，所以，根据任意角三角函数定义得.
（2） 当 时,，
故，
则.
三 三角函数概念的综合应用
［例3］
（1） 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角 终边上一点，且，则（ ）
A. B. 3 C. D.
（2） 若角 的终边在函数的图象上，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） A
（2） 或
【解析】
（1） 因为，是角 终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值已舍去）.
（2） 因为角 的终边在函数 的图象上，所以角 的终边在第二象限或第四象限．当角 的终边在第二象限时，在角 的终边上取一点，则点 到原点的距离，所以；当角 的终边在第四象限时，在角 的终边上取一点，则点 到原点的距离，
所以.
综上，或.
（1）当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
（2）由于角的终边是一条射线,则终边在已知直线上的角包含两类角,这两类角的终边与单位圆的交点关于原点对称,求解时应注意分类处理.
［跟踪训练3］．
（1） 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数 的值是（ ）
A. 4或 B. C. D. 或
（2） 在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ,或,（写出一个即可）
【解析】
（1） 选.因为，所以，又角 的终边经过点，所以，解得 或.经检验，或 均符合题意.
（2） 由三角函数的定义可知，角 的终边与单位圆相交于点.
当 为偶数时，角 与 的终边相同，则 的坐标满足
当 为奇数时，角 与 的终边相同，
则 的坐标满足 故符合条件的点 的坐标是,和,.
课堂巩固 自测
1．（教材P179T1改编）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.在平面直角坐标系中，作，如图所示.易知 的终边与单位圆的交点 为,，
所以．
2．（多选）已知角 的终边与单位圆交于点,，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.由题意可得，
解得．
当 时，；
当 时，．
3．（教材P180T4改编）已知在平面直角坐标系中，点在半径为2的圆上，现点从圆与轴非负半轴的交点出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点的纵坐标为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由题意，点 顺时针方向旋转了 ，
故 ,，
所以.
4．已知角 终边上一点的坐标是，求 ， ， 的值．
解：因为角 终边上一点 的坐标是，
所以令,，
所以 到原点的距离，
因为，所以，
所以，
，
.
课堂小结
1.已学习：三角函数的概念、三角函数值的求法.
2.须贯通：任意角 的三角函数值，只与角 的终边位置有关，而与角 终边上点的位置无关.
3.应注意：角 的正切函数有意义需满足 ,.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知 的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.根据三角函数的定义，.
2．若 的终边与的终边垂直，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 的终边与 的终边垂直，且 ，所以，则.
3．已知,，角 的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】选.由三角函数的定义可知，
即.
4．已知 是第四象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由三角函数的定义可知，解得，因为 是第四象限角，所以，则.
5．已知为坐标原点，点初始位置的坐标为,，线段绕点顺时针转动 后，点所在位置的坐标为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.点,在第一象限，又，故点 在单位圆 上，设点 初始位置所在角为 , ，则，故 ，顺时针转动 后，点 在第四象限，设转动后的角为 ，则 ，故可设，，则，解得，所以点 所在位置的坐标为,.
6．（多选）已知角 的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】选.由，得，且，解得，故 正确;
由，得,，故，正确;
由，得，
解得，故 错误.
7．已知，则使得 无意义的 的值为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】当 时，使得 无意义的 的值为.
8．在单位圆中，已知角 的终边与单位圆的交点为,，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知，,所以可得.
9．已知角 的终边经过点，且，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为角 的终边经过点，所以，所以 解得.
10．（13分）已知点是单位圆为坐标原点上的点，以射线为终边的角 的正弦值为，求 和 的值.
解：设点，由题意可知，
即，
因为点 在单位圆 上，
所以，即，
解得，
所以当 时，，
;
当 时，，.
B 能力提升
11．在平面直角坐标系中，角 与角 的始边均与轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，点在角 的终边上．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知角 与角 的终边关于原点对称，点 在角 的终边上，则点 在角 的终边上.由 以及，可得；由点 在角 的终边上且，
可知.
12．（多选）已知角 的终边经过点,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由题知,,因为角 的终边经过点,
所以,
,
,
.
13．（13分）若角 的终边与函数的图象重合，求 ， 和 ．
解：因为函数
若角 的终边落在射线 上，在角 的终边上取一点，
则，
则，，；
若角 的终边落在射线 上，
在角 的终边上取一点，则，
则，，
.
14．（13分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆与轴的正半轴及负半轴分别交于点，，角 的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于轴下方一点．
（1） 若 ，求点的坐标；（6分）
（2） 若点的横坐标为，求 的值．（7分）
【答案】
（1） 解：过点 作 于点，
若 ，则 ，
又，则,，
由题意点 在第四象限，
所以点 的坐标为,.
（2） 由题意设,，因为点 在单位圆 上，且在 轴下方，所以，且，
解得，所以.
C 素养拓展
15．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角 以为始边，为终边，若 ，则所在的圆弧是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，设点 的坐标为，所以由三角函数的定义可得,,,
因为 ，即，
在第一象限，且，不满足题意，故 错误；，在第三象限，且,，则，不满足题意，故，错误；在第四象限，且，则，所以，满足题意，故 正确.
第2课时 三角函数值的符号及诱导公式一
新课导入 学习目标
地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化有周期性，而三角函数值也有“周而复始”的变化规律. 1.熟练掌握三角函数值在各象限的符号． 2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题． 3.通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．
新知学习 探究
一 三角函数值的符号
在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点.
思考1．根据三角函数的定义，三角函数值的符号与什么有关系？
思考2．角 的终边与坐标轴重合时，三角函数值有什么特点？
【答案】思考1 提示：与点 的横、纵坐标的符号有关.
思考2 提示：当角 的终边与 轴重合时，,,；
当角 的终边与 轴重合时，,, 无意义.
［知识梳理］
如图所示：
正弦：①_ _ 象限正，②_ _ 象限负.
余弦：③_ _ 象限正，④_ _ 象限负.
正切：⑤_ _ 象限正，⑥_ _ 象限负.
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【答案】一二； 三四； 一四； 二三； 一三； 二四
［例1］
（1） （多选）已知，则函数的值可能为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
（2） 设，点在第二象限，则角 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） AC
（2） ,
【解析】
（1） 当 是第一象限角时，;
当 是第二象限角时，;
当 是第三象限角时，;
当 是第四象限角时，.
（2） 因为 在第二象限，所以 则 是第四象限角，
又，所以,.
判断三角函数值符号的两个步骤
（1）定象限：确定角 所在的象限;
（2）定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
［跟踪训练1］．
（1） “角 为第三象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2） 若是钝角三角形，则_ _ 0.（填“ ”，“ ”，“”）
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.若 是第三象限角，则；若，如，则 不是第三象限角.故“角 为第三象限角”是“”的充分不必要条件.
（2） 由题得,,中有一个角为钝角，其余弦值与正切值均为负数，则,,中有一个小于0，其余两个大于0，所以.
二 诱导公式一
思考．如图，角 的终边绕原点旋转无数周后的三角函数值与 对应的三角函数值相等吗？ 有什么规律？
提示：相等；成周期性变化，每转一周，重复一次．
［知识梳理］
终边相同的角的同一三角函数的值①_ _ ，如下（其中）.
②_ _ _ _ _ _ _ _ ， ③_ _ _ _ _ _ _ _ , ④_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】相等； ； ；
［例2］ 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 【解】．
（2）
.
利用诱导公式一求解任意角的三角函数值的步骤
［跟踪训练2］．
（1） 的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 求值：_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.
（2）
.
三 三角函数概念的综合应用
［例3］
（1） 已知角 的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角 的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 在平面直角坐标系中，点位于第象限.
【答案】（1） D
（2） 四
【解析】
（1） 因为点 在角 的终边上，.
所以，
根据诱导公式得 ，
所以.
（2） ，
，
所以 在第四象限.
对于绝对值较大的角先利用诱导公式一转化为范围内的角，然后再利用三角函数的定义与三角函数值的符号规律解决问题．
［跟踪训练3］．
（1） 已知点，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（2） 已知角 的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由,，可得点 在第三象限.
（2） ,
，
故,,
．
课堂巩固 自测
1．（教材P182T5改编）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.
2．（多选）设，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.由题易知 是第三象限角，所以,,，.
3． _ _ _ _ .
【答案】0
【解析】
.
4．（教材P182T3改编）确定下列正弦、余弦、正切值的符号.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 解：因为 是第二象限角，
所以.
（2） 因为 ，
即 是第三象限角，
所以.
（3） 因为，
即 是第四象限角，所以.
课堂小结
1.已学习：三角函数值在各象限的符号、诱导公式一.
2.须贯通：诱导公式一的作用是把绝对值比较大的角转化为范围内的角.
3.应注意：（1）角 终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定；
（2）公式一的结构特征.
课后达标 检测
A 基础达标
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
2． （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
3．在平面直角坐标系中，已知点,，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选.由于，而 ，所以,故点,在第三象限.
4．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为.
5．“”是“ 为第一象限角”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.易知 ，所以 为第一象限角、第二象限角或终边落在 轴非负半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.
6．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.对于,，故 符合题意；对于，，故 符合题意；对于，，故 不符合题意；对于，，因为 ，所以 ，故，故 不符合题意.
7． _ _ 0.（填“ ”，“ ”，“”）
【答案】
【解析】因为，又，所以，即.
8．已知角 满足，,则 是第象限角．
【答案】二
【解析】因为，，所以，,故 是第二象限角．
9．已知是角 终边上一点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由于 是角 终边上一点，所以，故.
10．（13分）求下列各式的值：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：
.
（2）
.
B 能力提升
11．已知，，是的三个内角，满足，则此三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】选.因为 是 的一个内角，所以，又，所以，所以，中有一个角是钝角，故 为钝角三角形.
12．（多选）若角 是第二象限角，则一定成立的有 （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为角 是第二象限角，所以 ，,则 ，， ,,当 为偶数时，为第一象限角；当 为奇数时，为第三象限角；所以 不一定成立，一定成立，故 错误，正确； 为第三、四象限角或终边在 轴的非正半轴上的角，所以 一定成立，不一定成立，故 正确，错误.
13． _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
14．（13分）已知，且有意义．
（1） 试判断角 是第几象限角；（6分）
（2） 若角 的终边上一点为,，且为坐标原点，求的值及 的值．（7分）
【答案】
（1） 解：由，得，
由 有意义，可知，
所以角 是第四象限角．
（2） 因为，所以，
得，
又 为第四象限角，故，
从而，.
C 素养拓展
15．（15分）
（1） 已知角 是第二象限角，试判断的符号；（7分）
（2） 若，求角 终边的位置.（8分）
【答案】
（1） 解：因为角 是第二象限角，
所以，
，
所以，,
所以.
（2） 因为，
所以.
又，
所以.
因为，
所以，所以角 的终边在第二、三象限或在 轴的非正半轴上.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
新课导入
设角 的终边与单位圆交于点，根据三角函数的定义知 ， ， .能否根据，的关系得到 ， ， 间的联系？它们之间到底有什么样的联系，就让我们一起去探索发现！
学习目标
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系．
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．
新知学习 探究
一 同角三角函数的基本关系
思考1．观察下表，你能发现什么？
0
0 1
1 0
0 1 不存在
提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切，正弦与余弦的平方和等于1.
思考2．如图,设点是角 的终边与单位圆的交点.你能验证思考1的猜想吗？
提示：若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即；
因为点 在单位圆上，则由勾股定理得，即.
［知识梳理］
1．同角三角函数的基本关系
类别 关系式 文字表述
平方关系 ①_ _ 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于②_ _
商数关系 ③_ _ _ _ _ _ _ _ , 同一个角 的正弦、余弦的④等于角 的正切
【答案】1； 1； ； 商
2.公式变形
点拨 （1）“同一个角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立;（2） 是 的缩写,读作“ 的平方”,不能将 写成,后者表示 的正弦值,两者是不同的.
［例1］ （对接教材例6）
（1） 已知，并且 是第二象限角，求 和 ;
（2） 已知，求 和 的值．
【答案】
（1） 【解】，
又 是第二象限角，
所以，.
（2） 由，
可得 .
又，故，解得.
又由，知 是第一或第三象限角．
当 是第一象限角时，，；
当 是第三象限角时，，.
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）已知或求 常用以下方法求解.
（2）已知 求或常用以下方法求解.
［跟踪训练1］．
（1） 已知，且 为第四象限角，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 若,，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） C
【解析】
（1） 选.因为 为第四象限角，故，又，故.
（2） 选.因为，故，即 ，所以，因为,，故，.
故.
二 基本关系的简单应用
角度1 利用弦切互化求值
［例2］ 已知.
（1） 求 的值；
（2） 求 的值．
【答案】
（1） 【解】方法一：
，等式左边的分子、分母同除以 得，
，
即，
解得.
方法二：由
可得 ，
即 ,
所以.
（2）
.
与 , 的齐次式的相互转化
（1）关于 , 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 , 的式子且每一项的次数之和相同,设为次,将分子、分母同除以 的次幂,其式子可化为关于 的式子,再代入求值.
（2）若无分母时,把分母看作1,并将1用 来代换,将分子、分母同除以 ,可化为关于 的式子,再代入求值.
角度2 与 关系的应用
［例3］ 已知，，求：
（1） 的值；
（2） 的值.
【答案】（1） 【解】由 可得.
（2） 由 和 可得,，故,,
故.
母题探究．本例条件不变，求 的值．
解：由本例（2）可知，再结合已知条件，联立方程组，解得,，所以.
与 的关系
, , 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是： .
注意 求 或 的值时，往往先根据条件求出 的值，进而根据 的符号来确定角 的终边位置，从而确定 或 的符号.
［跟踪训练2］．
（1） 已知函数且的图象经过定点，且点在角 的终边上，则（ ）
A. B. 0 C. 5 D.
（2） 已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.令,则，，故，因为 在角 的终边上，所以，，所以.
（2） 由题意，
得，
所以，
所以.
三 三角函数式的化简与证明
角度1 三角函数式的化简
［例4］
（1） 化简：，其中 是第二象限角；
（2） 化简：.
【答案】
（1） 【解】因为 是第二象限角，
所以,，
则.
（2）
.
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
（2）对于含有根号的式子,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造,以降低函数次数,达到化简的目的.
角度2 三角函数式的证明
［例5］ 求证：.
【证明】 .所以原式成立.
证明三角恒等式常用的方法
（1）从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简.
（2）左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
（3）化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异.
（4）变更命题法,如要证明,可证或证等.
（5）比较法,即证明“左边—右边”或“”.
［跟踪训练3］．
（1） 化简： .
（2） 求证：.
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 证明：左边
右边.
所以原等式成立.
课堂巩固 自测
1．若 为第三象限角，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】选.因为 为第三象限角，则，因此，.
2．（多选）（教材P184练习T1改编）已知,，且，则关于 表述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为,，且，
所以,，
则，，.
3．（教材P186T15改编）已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】对题中等式分子、分母同除以 ，
得，解得.
4．
（1） 化简： ；
（2） 证明：．
【答案】（1） 解：.
（2） 证明： .所以原式成立.
课堂小结
1.已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明.
2.须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法.
3.应注意：运用平方关系求值时，角 的取值范围决定三角函数值的符号.
课后达标 检测
A 基础达标
1．化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由 可得 .
2．已知为角 终边上一点，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.因为 为角 终边上一点，所以，所以.
3．已知，则角 终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选，则，，故角 终边所在的象限是第三象限.
4．化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由 ， ，得 ，所以
.
5．已知，则（ ）
A. 6 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】选
.
6．（多选）已知,，则下列关于 的表述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.对于，由，得 ，所以 ，故 正确；对于,由 得，又，所以，所以， ，故 不正确；对于，，故 正确；对于,,故 正确.
7．化简：_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】
.
8．已知，且 ，那么 的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为， ，所以，所以，所以.
9．已知，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，解得，由，
得,，
则，
因为,所以，
,则.
10．（13分）已知，且 是第二象限角.求：
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，且 是第二象限角，所以，
所以.
（2）
.
B 能力提升
11．若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.当 时，,，则，依题意，，
则，
又，因此，即，而，所以.
12．已知,，且 为第三象限角，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，,所以由，可得，解得 或．又因为 为第三象限角，所以,，把 的值代入检验得，所以,，可得．
13．（13分）
（1） 证明： ;（6分）
（2） 化简：.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：左边
右边.
即原式成立.
（2） 原式
.
14．（15分）已知 , 是关于的方程的两个根．
（1） 求实数的值；（7分）
（2） 求的值．（8分）
【答案】
（1） 解：因为 , 是关于 的方程 的两个根，
所以，
解得 或，
由根与系数的关系得,
，
因为，
解得 或（舍去），故．
（2）
．
C 素养拓展
15．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，.若,，且，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意, ,且,可得,两边平方，可得
,
即，
可得，解得.
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
新课导入
同学们，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即诱导公式一，并且利用诱导公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求 角的三角函数值，对于 角的三角函数值，我们能进一步把它们转化到锐角范围内来求解吗？
学习目标
1.理解诱导公式二～四的推导过程并熟记诱导公式，理解并掌握公式的内涵和结构特征．
2.会初步运用诱导公式二~四求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简、证明．
新知学习 探究
一 诱导公式二、三、四
思考1．我们是如何定义三角函数的？
提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.
思考2．如图，设角 ， ， ， 的终边与单位圆的交点分别为，，，，则与，与，与的坐标有怎样的关系？
提示：点 与 的纵坐标、横坐标都互为相反数；与 的横坐标相同，纵坐标互为相反数；与 的横坐标互为相反数，纵坐标相同.
［知识梳理］
类别 终边关系 图示 公式
公式二 角 与角 的终边关于①_ _ 对称 ②_ _ _ _ _ _ , ③_ _ _ _ _ _ , ④_ _ _ _ _ _
公式三 角 与角 的终边关于⑤_ _ _ _ _ _ 轴对称 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ , ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
公式四 角 与角 的终边关于⑨_ _ _ _ _ _ 轴对称 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _
点拨 诱导公式的记忆方法与口诀:①记忆方法: , , 的三角函数值等于 的同名函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设 是锐角,根据角的终边所在象限，看原函数值在本公式中是取正值还是负值.
【答案】原点； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） .（ ）
（2） 对于诱导公式中的角 一定是锐角.（ ）
（3） 在中，.（ ）
（4） .（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（多选）下列各式中，值为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选，符合题意；，符合题意；，不符合题意；，不符合题意.
3．化简：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
4．计算：_ _ _ _ ．
【答案】1
【解析】 ．
利用诱导公式求三角函数值的步骤
二 给值（式）求值
［例1］
（1） 若，且,，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知 为锐角，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由，得，
而,，
于是，
所以.
（2） 因为，所以.
母题探究．本例（2）条件不变，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为锐角，且，
所以 也是锐角，
所以
.
.
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
［跟踪训练1］．
（1） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，且 为第二象限角，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.由，得.
（2） 因为，所以，所以.因为 为第二象限角，所以，所以．
三 利用诱导公式化简
［例2］ （对接教材例2）化简：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】原式
.
（2） 当 时，
原式；
当 时，
原式．
故原式
三角函数式化简的常用方法
（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.
.
所以.
（2） 原式
.
课堂巩固 自测
1．（教材P191T2改编）求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.易知.
2．（多选）已知，,，则下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为，,，所以，所以.
3．已知，则 _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
4．（教材P191T3改编）化简：
（1） ；
（2） ．
【答案】
（1） 解：
.
（2）
.
课堂小结
1.已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式二、三、四及应用.
2.须贯通：诱导公式一~四在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正 大化小 小化锐 锐求值.
3.应注意：（1）诱导公式中“符号”的确定；
（2）三角函数名称不变.
课后达标 检测
A 基础达标
1． （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】选..
2．已知,,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.根据诱导公式，，则，又,，则.
3．化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，
则，
则，
所以
.
4．在平面直角坐标系中，角 以轴非负半轴为始边，终边经过点,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题知
，
所以.
5．已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】选.因为
,
所以.
6．（多选）下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.因为，故 正确； ,故 正确；，故 不正确；，故 不正确.
7． _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
8．若，则
_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
得，
所以.
9．已知， 是第三象限角，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，又 是第三象限角，即,，所以,，由 得,，所以.
10．（13分）化简下列各式：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
B 能力提升
11．已知函数，且，则（ ）
A. B. 1 C. 3 D.
【答案】A
【解析】选.因为，
可得，
所以
，即.
12．（多选）在平面直角坐标系中，若角 的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.由题意，,
，因为，
所以 故 错误;
又，，，故，正确，错误.
13．如图，单位圆被点，，， ，平均分成12份，以轴的非负半轴为始边，为终边的角记为，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .（说明： 是一个连加符号，）
【答案】0；
【解析】由题意得，所以，所以.
单位圆 被平均分成12份，则 , , , ， , , ，所以.
14．（13分）已知.
（1） 化简；（6分）
（2） 若 是第三象限角，且，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：
.
（2） 由诱导公式可知，即，又 是第三象限角，
所以
，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）是否存在角,,，使等式同时成立.若存在，求出 , 的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.因为等式
同时成立，
利用诱导公式化简得
两式同时平方后相加得，
因为，
所以可得，
因为,，
所以,
所以 或.
当 时，代入 得，
又，所以，
此时也符合等式 ；
当 时，代入 得，又，所以，
此时不符合等式 .
综上所述，存在，满足条件.
第2课时 诱导公式五、六
新课导入
同学们，前面我们利用单位圆定义了三角函数，并推出了诱导公式一～四，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．
学习目标
1.在诱导公式二～四的基础上，理解诱导公式五、六的推导过程并熟记诱导公式．
2.能够运用诱导公式求值、化简，掌握诱导公式的综合应用．
新知学习 探究
一 诱导公式五、六
观察如图单位圆及角 ， 与 的终边.
思考1．角 的终边与 的终边有何关系？
思考2．若设任意角 的终边与单位圆的交点的坐标为，那么角 的终边与单位圆的交点的坐标是什么？
思考3．类似地，角 的终边与 的终边又有什么关系？角 与角 的终边与单位圆的交点，的坐标有什么关系？
【答案】思考1 提示：两角的终边关于直线 对称.
思考2 提示：点 与 关于直线 对称，点 的坐标为.
思考3 提示： 与 的终边垂直；点 的横坐标与点 的纵坐标互为相反数，的纵坐标与 的横坐标相等.
［知识梳理］
类别 终边关系 图示 公式
公式五 角 与角 的终边关于直线①_ _ _ _ _ _ 对称 ②_ _ _ _ _ _ _ _ ，③_ _ _ _ _ _
公式六 角 与角 的终边④_ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ，⑥_ _ _ _ _ _
点拨 公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法: 的正弦（余弦）函数值,分别等于 的余弦（正弦）函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
【答案】； ； ； 垂直； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 诱导公式五、六中的角 只能是锐角.（ ）
（2） .（ ）
（3） 若 为第二象限角，则 .（ ）
（4） 对任意角 ， 都不成立.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（多选）下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选,故 正确;,故 正确;,故 正确; ,故 错误.
3．计算：_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】.
4．已知，那么_ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
应用诱导公式五、六求解时，不但要注意符号的变化，还要注意三角函数名称的变化；诱导公式一～四，三角函数名称不变，只有符号的变化．诱导公式一～六，往往相互交织，其共同点都是研究与 的三角函数间的关系，统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
二 利用诱导公式化简、求值
［例1］
（1） 化简：
_ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知， ，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）
.
（2） 因为 ，所以 ，所以，
所以，
．
（1）利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）解题的主要步骤：去负—脱周—化锐.
［跟踪训练1］．
（1） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选
.
（2） 由
得 ,即，
故.
三 利用诱导公式证明恒等式
［例2］ 求证:
.
【证明】 左边
,右边 左边.原等式得证.
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
［跟踪训练2］．求证：
．
证明：左边 右边，所以等式成立．
四 诱导公式的综合应用
［例3］ 已知．
（1） 化简；
（2） 若 是第三象限角，且，求的值．
【答案】（1） 【解】 ．
（2） 因为 ，，
所以，
又因为 是第三象限角，所以 为第三象限角，
所以，
故
．
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子，观察已知式与所求式间的关系.
［跟踪训练3］．在平面直角坐标系中，角 是第二象限角，且终边与单位圆交于点,.
（1） 求实数及 的值；
（2） 求的值.
【答案】
（1） 解：由题意可得 解得，
所以.
（2） 由（1）得，
所以
.
课堂巩固 自测
1．（教材P195 T5改编）已知，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，
所以.
2．（多选）若，则 的终边可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】AC
【解析】选.因为 ，
所以，
若，,则 的终边在第一象限；
若,，则 的终边在第三象限.
3．（教材P194练习T3改编）化简：
_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
4．证明：
．
证明：左边
右边，
所以原式成立．
课堂小结
1.已学习：诱导公式五、六及应用，利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.须贯通：诱导公式可以统一概括为“”，当为偶数时，得 的同名函数值；当为奇数时，得 的异名函数值，然后前面加一个把 看成锐角时原三角函数值的符号.
3.应注意：（1）诱导公式中“符号”的确定；
（2）三角函数名称改变.
课后达标 检测
A 基础达标
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
2．已知， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由, ，
则，
得.
3． （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】选.
4．已知，则（ ）
A. B. 0 C. D. 4
【答案】A
【解析】选.因为，
则
.
5．已知角 的顶点与直角坐标系原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.，
则，
则.
6．（多选）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选，错误；，正确；，错误；，正确．
7．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
所以.
8．计算：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
9．已知角 的终边经过点，将角 的终边绕原点顺时针旋转与角 的终边重合，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意得，又 ,，所以.
10．（13分）化简：．
解：因为
,
,,
.
所以原式．
B 能力提升
11．（多选）若角,,是的三个内角，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于,，故 错误；对于,，故 正确.
12． _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
…+
…+
.
13．（13分）已知.
（1） 求的值；（6分）
（2） 已知，求 .（7分）
【答案】
（1） 解：原式
.所以.
（2） 因为，所以,即.所以.
14．（15分）如图，以为始边作角 与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为,.
（1） 求的值；（7分）
（2） 若，求 的值.（8分）
【答案】
（1） 解：依题意，，
，，
所以
.
（2） 依题意，，
则，
，
所以.
C 素养拓展
15．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图所示，由题意知弧 的长度为.因为圆的半径为1，所以，.
在 中，，，所以，，所以点 的坐标为.
阶段提升（九） 三角函数及诱导公式（范围：5.1~5.3）
题型一 任意角与弧度制
1．已知 与 角的终边关于轴对称，则是（ ）
A. 第二或第四象限角 B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
【答案】B
【解析】选.由 与 角的终边关于 轴对称，可得 ,，所以 ,，取,1可确定 是第一或第三象限角.
2．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是（ ）
A. ,
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】选.由题图得终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是．
3．与 角终边相同的最小正角是_ _ _ _ _ _ ；最大负角是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】；
【解析】因为与 角终边相同的角是，
所以当 时，与 角终边相同的最小正角是 .
当 时，与 角终边相同的最大负角是 .
4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面大致为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为_ _ .
【答案】192
【解析】由题意得，，如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为 ，
则
解得
则扇环的面积.
关于任意角与弧度制
（1）与 终边相同的角都可以用或的形式表示；
（2）表示区域角时按逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界，加上 或 的整数倍；
（3）确定与 终边所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范围，然后根据的范围分类讨论；
（4）解决扇形的面积或周长等最值问题的关键是运用函数与方程或不等式思想.
题型二 三角函数的概念
1．已知角 的终边经过点，且，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由三角函数的定义可得
，解得，
所以.
2．若是角 终边上一点，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 是角 终边上一点，则点 到原点的距离是，所以，则.
3．已知是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记点 是角 终边上的一点，则，，则；经过，记点 是角 终边上的一点，由题意，则，，即点 的坐标为.
关于三角函数概念的应用
解决与三角函数概念相关的问题，要特别注意两点，一是三角函数定义，二是诱导公式的应用.
题型三 同角三角函数的关系
1．若， 为第四象限角，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由，可得，可得，又 为第四象限角，所以，即.
2．已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为 ，则,，故原式.
3．已知 ， 是关于的方程的两根，则实数_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由方程 有两根，得，解得，依题意得，，则，解得，符合题意，所以实数.
关于同角三角函数基本关系的应用
解决与同角三角函数基本关系有关的问题，要特别注意三点，一是正弦、余弦、正切的互化，二是公式的灵活变形应用，如“1”的代换，三是利用平方关系求值时要注意角所在的象限.
题型四 诱导公式
1．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选
.
2．（多选）已知角 的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.根据三角函数的定义得，，，故 正确；，故 错误；，故 正确；，故 错误.
3．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
所以 且，
所以原式
.
4．若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得
.
诱导公式的应用
（1）应用口诀：奇变偶不变，符号看象限；
（2）基本步骤：负化正，大化小，小化锐，锐求值；
（3）化角技巧：观察已知角与所求角的关系.
阶段小测（九）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由诱导公式得.
2．若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设扇形 的半径为，弧长为，则 解得
3．已知角 满足，，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】选.由，，得出 为第四象限角，所以 ,,
所以 ,，则 为第二象限角或第四象限角，又因为，所以，则 为第二象限角.
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A. 或 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】选.由三角函数的定义可得，则，整理可得，因为，解得.
5．已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 得，则.
6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为 , ，故,，则，所以，又 为锐角，则,，所以.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
7．已知，下列式子中成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，, ，故，故 成立；对于，，故 成立；对于，，而，故，故 不成立；对于，，故 成立.
8．定义：角 与 都是任意角，若满足 ，则称 与 “广义互余”．已知，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为，所以，
若 ，则 ，
故，故 满足；
,故 不满足；
若，即 ，
又，
故，故 满足，不满足．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
9．把 写成的形式是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以.
10．已知角 的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】 , , ，故原式，由题意设点 在角 的终边上，故，故原式．
11．如图，在平面直角坐标系内，角 的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点,.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为角 的终边与单位圆交于点,，所以，，设点 为角 的终边与单位圆的交点，则，所以，所以点 的纵坐标为.
四、解答题（本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本小题满分13分）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，．
（1） 若，，求该扇形环面展台的周长；（6分）
（2） 若该扇形环面展台的周长为，布置该展台的平均费用为500元/，求布置该扇形环面展台的总费用．（7分）
【答案】（1） 解：的长度，的长度，所以扇形环面展台周长为.
（2） 设 ，，则 的长度，的长度 ，因为该扇形环面的周长为，所以，即，整理得，则该扇形环面展台的面积，所以布置该扇形环面展台的总费用为（元）.
13．（本小题满分15分）已知角 的终边经过点,且 为第二象限角.
（1） 求的值；（6分）
（2） 若，求的值.（9分）
【答案】
（1） 解：由三角函数定义可知
,解得.
因为 为第二象限角，所以.
（2） 由（1）知,
又,
所以
.
14．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，锐角 的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点,过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与．
（1） 若，求点的坐标；（3分）
（2） 若的面积为2，求 的值；（6分）
（3） 求的最小值．（6分）
【答案】
（1） 解：由题意得，
所以,，即,.
（2） 由题意得 为锐角，故 在第一象限，则,分别在,轴正半轴上，由题意可知，所以，得,又 ,所以，得，由 的面积为2，得，所以,又因为，所以，所以，解得.
（3） 由题意 是锐角，则,,所以
,
当且仅当，
即,，时取等号，
所以 的最小值为16.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
新课导入
同学们，我国著名数学家华罗庚教授曾经写到：“数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数．
学习目标
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法．
2.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画出给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．
3.会用正弦函数与余弦函数的图象解决简单的问题．
新知学习 探究
一 正弦函数、余弦函数的图象
思考1．绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点
提示：如图，在 上任取一个值，根据正弦函数的定义可知点 的纵坐标，此时弧 的长度为，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点.
思考2．根据函数，的图象，你能想象，的图象吗？
提示：根据诱导公式一，把 的图象不断向左、向右平移（每次移动 个单位长度），得，的图象.
［知识梳理］
函数
图象
定义域 ①_ _ _ _
值域 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图象画法 五点法
五个关键点 ③_ _ _ _ _ _ _ _ ，，， ④_ _ _ _ _ _ _ _ ，，， ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，，⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，
提醒 （1）正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线.
（2）“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.
（3）函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.
【答案】； ； ； ； ； ，； ，
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 正弦函数的图象关于轴对称．（ ）
（2） 将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线．（ ）
（3） 直线与函数，的图象有两个交点．（ ）
（4） 函数，的图象与函数，的图象的形状完全一致．（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） √
2．（多选）关于函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象可以向左右无限延伸
B. 函数图象与轴有无数个交点
C. 利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为，
D. 函数的图象可由的图象向下平移1个单位长度得到
【答案】AB
【解析】选.结合余弦函数 的图象可知，正确；利用五点法画函数 的图象时，其中一个关键点为，，故 错误；函数 的图象可由 的图象向上平移1个单位长度得到，故 错误．
3．已知函数的部分图象如图所示，完成下列各题.
（1） 点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
3．根据题图特征，易知， .
.
关于正弦、余弦函数图象的理解
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，注意两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
二 “五点法”作函数的图象
［例1］ （对接教材例1）利用“五点法”作出函数的简图.
【解】 按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
1 0 1 2 1
描点连线，如图所示：
作形如 或,的图象的三个步骤
［跟踪训练1］．用“五点法”在同一平面直角坐标系中画出函数，在 ，上的图象.
解：列表：
0
0 1 0 0
3 2 1 2 3
描点连线，画图如下：
三 正、余弦函数图象的简单应用
角度1 零点（或方程解）的个数问题
［例2］
（1） 函数,的图象在区间 ，的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（2） 若函数，的图象与直线仅有两个不同的交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 分别作出，在区间 上的图象，如图所示，
由图象可知，，的图象在区间 的交点个数为3.
（2）
画出函数的图象如图所示，
又函数 的图象与直线 仅有两个不同交点，则 的取值范围是.
（1）函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线,求得参数的取值范围.
（2）作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
角度2 利用函数图象解三角不等式
［例3］ 不等式，的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，或
【解析】作出正弦函数 在 上的图象，画出直线 和,如图所示，
由图可知，在 上，当 或 时，不等式 成立.所以原不等式的解集为，或.
（1）求与三角函数有关的定义域时，常常转化为解三角不等式（组），这时可利用三角函数的图象直观地求得解集.
（2）解三角不等式,如果不限定范围时，一般先利用图象求出范围内的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集.
［跟踪训练2］．
（1） 在内，使成立的的取值范围为（ ）
A. , B. , ,
C. , D. ,,
（2） 函数的零点个数为_ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2） 4
【解析】
（1） 选.作出函数 和 在 内的图象，
由图知 的解集为,.
（2） 的零点个数可转化为函数 与 的图象的交点个数. 画出 与 的图象如图所示：
根据图象可知，交点个数是4，即所求零点个数为4.
课堂巩固 自测
1．（教材P200T4改编）函数,的图象与直线的交点的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】选.在同一平面直角坐标系中画出函数,和直线 的图象如图所示，可得两图象的交点共有4个.
2．函数，的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得
显然只有 合适.
3．不等式，的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】作出 在 上的图象如图所示，
由图象可知,不等式 的解集为,.
4．（教材P200T2改编）利用“五点法”作出函数的简图.
解：按五个关键点列表：
0
1 0 0 1
0
描点连线，如图所示：
课堂小结
1.已学习：正弦函数、余弦函数的图象，五点（画图）法.
2.须贯通：若函数图象要求精度不高，只描出函数图象的关键点，再根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图即可；解题时要注意数形结合.
3.应注意：（1）“五点法”作图中“五点”的选取；
（2）余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知正弦函数过点，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】选..
2．函数,的图象与,的图象（ ）
A. 关于轴对称 B. 关于原点对称
C. 关于原点和轴对称 D. 关于轴对称
【答案】A
【解析】选.在同一平面直角坐标系中作出，与，的图象（图略），观察可得它们关于 轴对称，故，，错误，正确.
3．用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A. , B. , C. D.
【答案】A
【解析】选.用五点法画 在 内图象的五个关键点为，,,,,,，可知,不是关键点.
4．函数，的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】选.由于，，作出,的图象，如图所示，
则函数，的图象与直线 的交点个数为2．
5．函数在区间上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意
所以函数 在区间 上的图象大致如图.
6．（多选）函数,,的图象与直线为常数的交点个数可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】ABC
【解析】选.作出,
,的图象（实线部分），
所以函数,,的图象与直线 为常数 的交点个数可能是0，1，2.
7．已知函数的图象经过点,，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的图象经过点,，所以.
8．不等式，的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】画出，的图象，如图所示，
由图可知，不等式，的解集为,.
9．若函数,的图象与轴有5个交点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】作出 的图象如图所示，
因为,的图象与 轴有5个交点，由图象可知 .
10．（13分）用“五点法”画出下列函数的简图：
（1） ,；（6分）
（2） ,.（7分）
【答案】
（1） 解：按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
1 2 1 0 1
描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图：
（2） 按五个关键点列表：
0
1 0 0 1
2 0 0 2
描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图：
B 能力提升
11．当时，函数与图象的所有交点的横坐标之和为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.在同一平面直角坐标系内作出函数 和 在 上的图象如图，
从图象上可得，函数 的图象和 的图象在 内有两个交点，令,,,即，解得，令,,,即,解得,则所有交点的横坐标之和为 .
12．（多选）设函数的定义域为，值域为，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 不可能等于 D. 不可能等于
【答案】ABC
【解析】选.由图象知，的最大值为，故 正确；
在 取最大值的情况下，固定左（或右）端点，移动右（或左）端点，必须保证取 的最小值点在 内，所以 的最小值为，可能等于，故 正确，错误；
若，则由图象可知函数的最大值为 的情况下，最小值不可能为，所以 不可能等于，故 正确.
13．（13分）若以和的图象的连续三个交点，，为顶点构成，求的面积．
解：作出函数 和 的图象,如图所示，
不妨取，，，，
，，
可知底边长 ，高为，
所以 的面积 .
14．（13分）已知函数
（1） 作出该函数的图象；（4分）
（2） 若，求的值；（4分）
（3） 若，讨论方程的解的个数.（5分）
【答案】
（1） 解：函数 的图象如图所示，
（2） 当 时，，解得，当 时，，解得 或，综上，或 或.
（3） 方程 的解的个数等价于 与 图象交点的个数，
则由（1）中函数图象可得，
当 或 时，解的个数为0；
当 或 时，解的个数为1；
当 时，解的个数为3.
C 素养拓展
15．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为_ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】函数，，的零点可以转化为，，与 的图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出，，与 的图象如图所示，
由图象可知，，，
所以.
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
新课导入
“昨夜圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟.一年十二度圆缺，能得几多时少年.”，从诗中，我们能领悟到光阴似箭、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习．我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．
学习目标
1.了解周期函数的概念.
2.理解正、余弦函数的周期性，会求函数的周期．
3.了解正、余弦函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性．
4.了解正弦函数与余弦函数的单调性，能比较函数值的大小，理解正、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，能解决函数的最值、值域等综合问题．
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

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