资源简介

第4讲　基本不等式
【备考指导】
1.会用基本不等式解决简单的最值问题.
2.理解基本不等式在实际问题中的应用.
3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
【知识特训】
常用结论
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤(a,b∈R).
3.≥(a,b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的. (　　)
(2)函数y=x+的最小值是2. (　　)
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4. (　　)
(4)已知x,y均为实数,则“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件. (　　)
2.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>1,y=x+,则y的最小值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a,b∈R,则下列不等式成立的是 (　　)
A.+≥2
B.ab≤
C.≥
D.≤
4.(人教A版必修第一册P45例2改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为　　　　.
【能力特训】
特训点1　利用基本不等式求最值　【多维考向类】
考向1　配凑法
典例1 (1)函数y=(0≤x≤10)的最大值为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
(2)已知x>-1,则函数y=的最小值为　　　　.
考向2　常数代换法
典例2 (1)若正数x,y满足+=1,则2x+y的最小值是 (　　)
A.3+2 B.4 C.5 D.2
【思维变式】若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是　　　　.
(2)(2024·江西联考)若实数x>1,y>,且x+2y=4,则+的最小值为　　　　.
考向3　消元法
典例3 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,求xy的最大值.
【归纳总结】1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为,再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,然后利用基本不等式求最值.
1.若a>1,则4a+的最小值为 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.9
2.若正数x,y满足x2-xy+2=0,则x+y的最小值是 (　　)
A.2 B.2 C.4 D.6
3.已知x>-,y>-4,且2x+y=1,则+的最小值为　　　　.
特训点2　基本不等式的综合应用　【师生共研类】
典例4 (1)(2024·吕梁二模)若函数y=loga(x-2)+1(a>0,且a≠1)的图象所过定点恰好在椭圆+=1(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为 (　　)
A.6 B.12 C.16 D.18
(2)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　.
【归纳总结】1.当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.
2.求参数的值或范围时,要观察题目的特点,利用基本不等式确定相关结论成立的条件,从而得到参数的值或范围.
1.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+2y-m2-2m<0有解,则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞,-2)∪(4,+∞)
B.(-∞,-4)∪(2,+∞)
C.(-2,4)
D.(-4,2)
2.(2024·河南模拟)已知向量a=(m,n)(m>0,n>0),b=(1,2),若a·b=1,则+的取值范围为　　　　.
特训点3　基本不等式的实际问题　【师生共研类】
典例5 (2024·南宁二模)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备.该设备每年的管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为 (　　)
A.7年 B.8年 C.9年 D.10年
【归纳总结】利用基本不等式解决实际问题的策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及取值范围;
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
(2024·雅安二模)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,它与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时内通过的车辆数N满足关系N=,其中d0为安全距离,v为车速(单位: m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为 (　　)
A.135辆 B.149辆
C.165辆 D.195辆
【考教衔接】不等式链及其应用(必修第一册第45页探究)
基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立,其中和分别叫作a,b的调和平均数和平方(加权)平均数.
例题 (多选)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【跟踪训练】(多选)已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是 (　　)
A.0C.a2+b2< D.ab+≥
参考答案
知识特训
基础诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　解析:由x>1,得x-1>0,则y=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,则y的最小值是3.
3.BC　解析:对于A,当<0时,A不成立,故A项错误;B项正确;对于C,用结论3可知C项正确;对于D,当ab<0时,D不成立,故D项错误.
4.81　解析:∵x>0,y>0,∴≥,即xy≤=81,
当且仅当x=y=9时,等号成立,∴(xy)max=81.
能力特训
特训点1
典例1　(1)B　解析:∵0≤x≤10,∴10-x≥0,∴≤=5,当且仅当x=10-x,即x=5时,等号成立.
∴函数y=(0≤x≤10)的最大值为5.
(2)16　解析:由x>-1,得x+1>0,
则y===x+1++10≥2+10=6+10=16,
当且仅当x+1=,即x=2或x=-4(舍去)时,等号成立,
∴ymin=16.
典例2　(1)A　解析:∵2x+y=(2x+y)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当y=x时,等号成立,∴2x+y的最小值是3+2.
【思维变式】　5　解析:∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴+=1,
∴3x+4y=(3x+4y)=++≥+2=5,当且仅当=,即x=2y=1时取等号,故3x+4y的最小值为5.
(2)2　解析:由题意,实数x>1,y>,且x+2y=4,可得x-1+2y-1=2,所以+=[(x-1)+(2y-1)]=≥2+2=2,
当且仅当=,即2y-1=x-1,即x=2,y=1时,等号成立,所以+的最小值为2.
典例3　解:(方法一:换元消元法)∵9-xy=x+3y≥2,
∴9-xy≥2,令=t,则t>0,∴9-t2≥2t,
即t2+2t-9≤0,解得0当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,∴xy的最大值为3.
(方法二:代入消元法)∵x=,∴x·y=·y===-3(y+1)-+15≤-2+15=3,当且仅当3(y+1)=,即y=1,x=3时取等号,∴xy的最大值为3.
能力专练
1.C　解析:若a>1,则4a+=4(a-1)++4≥2+4=8,当且仅当4(a-1)=,即a=时,等号成立,所以4a+的最小值为8.
2.C　解析:由题设及x2-xy+2=0,可得y=x+,
所以x+y=x+x+=2≥4=4,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
此时y=3>0,符合题意,所以x+y的最小值为4.
3.　解析:因为x>-,y>-4,所以2x+1>0,y+4>0,
又因为2x+y=1,所以2x+1+y+4=6,
所以+=(2x+1+y+4)
=
≥=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为.
特训点2
典例4　(1)C　解析:由题意得函数y=loga(x-2)+1(a>0,且a≠1)的图象所过定点为(3,1),则+=1,
所以m+n=(m+n)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即m=12,n=4时,等号成立,故选C.
(2)4　解析:∵x>0,y>0,a>0,∴(x+y)=1+++a≥1+a+2,当且仅当=,即y=x时,等号成立,∴a+2+1≥9,
∴≥2或≤-4(舍去),即a≥4,∴正实数a的最小值为4.
能力专练
1.B　解析:由题知x+2yx+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当y=2,x=4时,等号成立,则m2+2m>8,解得实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
2.[9+4,+∞)　解析:因为a=(m,n)(m>0,n>0),b=(1,2),a·b=1,所以a·b=m+2n=1,
所以+=·(m+2n)=9++≥9+2=9+4,当且仅当=,即m=,n=时取等号,
所以+的取值范围为[9+4,+∞).
特训点3
典例5　C　解析:设该设备年平均费用为y万元,则y==++(x∈N*),
∵x>0,∴y=++≥2+=,
当且仅当=,即x=9时,等号成立,
∴该设备年平均费用最少时的年限为9年.
能力专练
B　解析:由题意得N==≤≈149,当且仅当0.3v=,即v=10时取“=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149辆,故选B.
考教衔接2
例题　BC　解析:由基本不等式链可得xy≤,因为x2+y2-xy=1,所以(x+y)2≤1+3,即(x+y)2≤1,所以(x+y)2≤4,所以-2≤x+y≤2,故A项错误,B项正确.
由基本不等式链可得xy≤,由x2+y2-xy=1得x2+y2-1=xy≤,所以x2+y2≤2,故C项正确,D项错误.
【跟踪训练】　ABD　解析:对于A,因为a>0,b>0,且a+b=1,所以0对于B,+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时取等号,故B项正确;
对于C,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,当且仅当a=b=时取等号,故C项错误;
对于D,因为0所以当ab=时,ab+取得最小值,即ab+≥,当且仅当a=b=时取等号,故D项正确.第2讲　常用逻辑用语
【备考指导】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.
【知识特训】
1.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“　　　　”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“　　　　”表示.
2.全称量词命题与存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 　　　 x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x) 　　　
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件
p是q的　　　　　　　　条件 p q且q p
p是q的　　　　　　　　条件 p q且q p
p是q的　　　　　　　　条件 p q
p是q的　　　　　　　　条件 p q且q p
常用结论
1.p是q的充分不必要条件,等价于 q是 p的充分不必要条件.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件. (　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. (　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　)
(4)命题“ x∈R,sin2+cos2=”是真命题. (　　)
2.(人教A版必修第一册P31习题1.5T1改编)下列命题是全称量词命题,且是真命题的是 (　　)
A.所有的素数都是奇数
B. x∈R,|x|+1≥1
C.有一个实数x,使x2+2x+3=0
D.有些平行四边形是菱形
3.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2(4)改编)设x>0,y∈R,则“x>|y|”是“x>y”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)命题“ x>2,x2-3>0”的否定是
　　　　　　　.
【能力特训】
特训点1　充分、必要条件的判断　【自主冲关类】
1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·渭南二模)已知向量a=(t,2),b=(2,t),则“t=2”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“x(x+1)<0”的一个必要不充分条件是 (　　)
A.0B.x>0
C.-1D.x<0
【归纳总结】充分、必要条件的两种判定方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
特训点2　充分、必要条件的应用　【师生共研类】
典例1 从①充分不必要,②必要不充分,③充要这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上,并解答问题.已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的　　　　条件 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【归纳总结】应用充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(不等式组)求解;
(2)要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
1.已知p:|x|≤1,q:xA.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)
2.若“不等式|x+a|≤3成立”的一个充分不必要条件是“2≤x≤3”,则实数a的取值范围为　　　　.
特训点3　全称量词与存在量词　【多维考向类】
考向1　含量词命题的否定
典例2 (1)(2024·梅州一模)命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 (　　)
A. x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B. x (0,+∞),ln x=x-1
C. x∈(0,+∞),ln x≠x-1
D. x (0,+∞),ln x=x-1
(2)已知命题p: x∈R,x=-1或x=2,则 (　　)
A. p: x∈R,x≠-1或x≠2
B. p: x∈R,x≠-1且x≠2
C. p: x∈R,x=-1且x=2
D. p: x R,x=-1或x=2
考向2　判断含量词命题的真假
典例3 (2024·新高考全国Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1,命题q: x>0,x3=x,则 (　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
考向3　含量词命题的应用
典例4 (2024·咸阳二模)若命题p:“ x∈R,x2-mx-m≤0”为假命题,则实数m的取值范围是　　　　.
【归纳总结】含量词命题的解题策略
(1)要判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的取值范围,一是直接由命题的真假求参数的取值范围;二是利用等价转化,根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围.
(3)全称量词命题对应恒成立,存在量词命题对应能成立.
1.(2024·邵阳一模)命题“ x∈R,x2-4x+6<0”的否定为 (　　)
A. x∈R,x2-4x+6>0
B. x∈R,x2-4x+6≤0
C. x∈R,x2-4x+6<0
D. x∈R,x2-4x+6≥0
2.(多选)下列命题为假命题的是 (　　)
A. x∈R,ln(x2+1)<0
B. x>2,2x>x2
C. α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β
D. x∈(0,π),sin x>cos x
3.(2025·绵阳联考)已知p: x∈R,x2-a≥0,q: x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为　　　　.
参考答案
知识特训
1.(1) 　(2)
2. x∈M,p(x)　 x∈M, p(x)
3.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
基础诊断
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.B　解析:对于A,“所有的素数都是奇数”是全称量词命题,2是素数,但2是偶数,所以A错误;
对于B,易知“ x∈R,|x|+1≥1”是全称量词命题,且由|x|≥0可得|x|+1≥1,所以该命题也是真命题,即B正确;
对于C,“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是存在量词命题,不合题意;对于D,“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题,不合题意.故选B.
3.A　解析:当y≥0时,由x>|y|可得x>y,当y<0时,由x>|y|可得x>-y>y,故充分性满足;
当y≥0时,由x>y可得x>|y|,当y<0时,由x>y,x>0,不可得x>|y|,如1>-2,但1<|-2|=2,故必要性不满足.
故选A.
4. x>2,x2-3≤0　解析:命题“ x>2,x2-3>0”的否定是“ x>2,x2-3≤0”.
能力特训
特训点1
1.C　解析:根据立方的性质和指数函数的性质,a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时成立,所以二者互为充要条件.故选C.
2.A　解析:若a∥b,则t2-2×2=0,解得t=2或t=-2,故“t=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
3.D　解析:x(x+1)<0等价于-1特训点2
典例1　解:由题意,集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}.
选择条件①,因为“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,所以P S,则满足1-m≤1+m,且(两个等号不同时成立),解得m≥3,经验证,当m=3时,满足题意,所以实数m的取值范围是[3,+∞).
选择条件②,因为“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,所以S P.当S= 时,1-m>1+m,解得m<0,此时满足题意;
当S≠ 时,1-m≤1+m,且(两个等号不同时成立),解得m=0.
综上可得,实数m的取值范围是(-∞,0].
选择条件③,因为“x∈P”是“x∈S”的充要条件,所以P=S,即此方程组无解,
则不存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
能力专练
1.C　解析:由|x|≤1,得-1≤x≤1,又q:x1.故选C.
2.[-5,0]　解析:由|x+a|≤3,得-3-a≤x≤3-a,因为“不等式|x+a|≤3成立”的一个充分不必要条件是“2≤x≤3”,
所以等号不同时成立,解得-5≤a≤0.
特训点3
典例2　(1)C　解析:命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“ x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,故选C.
(2)B　解析:注意“x=-1或x=2”的否定是“x≠-1且x≠2”,所以命题p的否定是“ x∈R,x≠-1且x≠2”.
典例3　B　解析:对于p而言,取x=-1,则有=0<1,故p是假命题, p是真命题.对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题.
综上, p和q都是真命题,故选B.
典例4　(-4,0)　解析:若p为真命题,则 x∈R,x2-mx-m≤0,∴Δ=m2+4m≥0,∴m≥0或m≤-4,
∴当p为假命题时,-4(用结论2)∵p为假命题,∴ p: x∈R,x2-mx-m>0为真命题,即Δ=m2+4m<0,∴-4能力专练
1.D　解析:“ x∈R,x2-4x+6<0”的否定为“ x∈R,x2-4x+6≥0”,故选D.
2.ABD　解析:∵x2+1≥1,∴ln(x2+1)≥0,故A是假命题;当x=3时,23<32,故B是假命题;当α=β=0时,sin(α-β)=sin α-sin β,故C是真命题;当x=∈(0,π)时,sin x=,cos x=,sin x3.(-∞,-2]　解析:由命题p为真,得a≤0.由命题q为真,得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1.综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].第3讲　不等式及其性质
【备考指导】
1.会用作差法和作商法等比较大小.
2.理解不等式的性质,并能简单应用.
【知识特训】
常用结论
1.若a>b>0,m>0,则<,>(a-m>0).
2.若ab>0,则a>b <.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)a>b ac3>bc3. (　　)
(2)同向不等式具有可加性和可乘性. (　　)
(3)若>1,则a>b. (　　)
(4)a2.(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M=3a(a-2),N=(a+1)(2a-5),则M与N的大小关系是 (　　)
A.M>N B.M≤N C.M3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8改编)已知非零实数a,b满足aA.ln a C.a24.(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知2【能力特训】
特训点1　比较数(式)的大小　【自主冲关类】
1.(2024·湖南师大附中月考)已知P=a2+b2++c2,Q=2a+2b,则 (　　)
A.P≤Q B.P=Q
C.P≥Q D.P,Q的大小无法确定
2.(2024·晋城一模)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则 (　　)
A.pC.m3.若a=,b=,c=,则 (　　)
A.aC.c【归纳总结】比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数法:①构造函数;②判断单调性;③得出结论.
特训点2　不等式的基本性质　【师生共研类】
典例1 (1)(2024·东城一模)已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导成立的是 (　　)
A.a>b,cb+d
B.a>b,c>d ac>bd
C.bc-ad>0,->0 b<0
D.a>b>0,c>d>0 >
(2)(2024·广州模拟)下列命题为真命题的是 (　　)
A.若a>b,则>
B.若<,则aC.若aD.若a>b,则>
【归纳总结】判断不等式正误的常用方法
(1)利用不等式的性质进行验证:利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意应用性质条件.
(2)利用特殊值法排除错误不等式.
(3)利用函数的单调性:当利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.
1.(2024·西宁一模)下列命题正确的是 (　　)
A.若-=1,则a-b<1
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a+c>b+c
2.(2024·淮北二模)已知a,b∈R,则下列命题正确的是 (　　)
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若|-|=1,则|a-b|<1
C.若a>b,则ln(a-b)>0
D.若a>b>0,则a+>b+
特训点3　不等式性质的综合应用　【多维考向类】
考向1　不等式在实际问题中的应用
典例2 体育课是体育教学的基本组织形式,主要使学生掌握体育与保健基础知识、基本技术、技能,实现学生的思想品德教育,提高学生的运动技术水平.新学期开学之际,某校计划用不超过1 500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8个篮球,且至少要购买2个足球,则不同的选购方式有 (　　)
A.6种 B.7种
C.8种 D.5种
考向2　求代数式的取值范围
典例3 已知-1【思维变式】(变设问)本例中条件不变,设问改变:则的取值范围是　　　　.
【归纳总结】利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时,有可能会扩大变量的取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
1.已知1A.<<3
B.2<<6
C.1<<6
D.<<3
2.随着旅游业的蓬勃发展,民宿成为潮流趋势.民宿的窗户面积与地板面积之比越大,采光效果越好.现有一家地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积,已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍,且民宿改造后的采光效果不逊于改造前,则改造前窗户的面积最大为　　　　平方米.
参考答案
知识特训
基础诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.A　解析:因为M-N=3a(a-2)-(a+1)(2a-5)=a2-3a+5=+>0,所以M>N,故选A.
3.D　解析:对于A,当a对于B,当a<0对于C,当ab2,故C项错误;
对于D,当a4.(4,7)　解析:因为-2能力特训
特训点1
1.C　解析:因为P-Q=a2+b2++c2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2+≥0,所以P-Q≥0,即P≥Q.
2.A　解析:∵实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,∴==·<1,∴m1,∴m>p,∴p3.B　解析:(作差法)∵a-b=-==>0,b-c=-==>0,∴a>b>c.(作商法)显然a,b,c都为正数,==log8164<1,
==log6251 024>1,∴a>b>c.
(单调性法)令f(x)=(x>0),则f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=e,当x>e时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(e,+∞)上单调递减,
∵e<3<4<5,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.
特训点2
典例1　(1)D　解析:对于A,若a>b,c-d,则a-c>b-d,故A项错误;
对于B,若a>b,c>d,例如a=1,b=0,c=0,d=-1,
则ac=bd=0,故B项错误;
对于C,若bc-ad>0,-=>0,则ab>0,无法得出b<0,故C项错误;
对于D,由a>b>0,c>d>0,可得>>0,则>>0,
所以>,故D项正确.故选D.
(2)B　解析:对于A,可以取a=2,b=1,c=-1,此时<,故A项错误;对于B,由<,得c2>0,a对于C,当a=-2,b=-1时,a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故C项错误;对于D,当a=1,b=-1时,=,=1,则<,故D项错误.故选B.
能力专练
1.D　解析:对于A项,若-=1,可取a=7,b=,则a-b>1,故A项错误;对于B项,令a=-1,b=-2,则(-1)2<(-2)2,所以a2>b2不成立,故B项错误;对于C项,令a=-1,b=-2,c=3,d=1,则(-1)×3<(-2)×1,所以ac>bd不成立,故C项错误;对于D项,由a>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D项正确.故选D.
2.D　解析:当a=-1,b=-1时,a+b=-2,故A项错误.
当a=9,b=4时,|a-b|=5>1,故B项错误.
当a=3,b=2时,ln(a-b)=0,故C项错误.
若a>b>0,则>>0,则a+>b+成立,故D项正确.
特训点3
典例2　D　解析:设该校购买的篮球个数为x,足球个数为y,且x,y∈N*,根据题意可得
解得符合题意的有序实数对(x,y)可以是(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2),所以共有5种不同的购买方式,故选D.
典例3　(-4,2)　(1,18)　解析:因为-1由-3<3x<12,4<2y<6,得1<3x+2y<18.
【思维变式】　　解析:∵-1∴<<,∴0<<.
能力专练
1.D　解析:因为12.90　解析:设改造前窗户的面积为x平方米,窗户增加的面积为y平方米,x>0,y>0.依题意≤,即180x+2xy≤180x+180y,2xy≤180y,x≤90.所以改造前窗户的面积最大为90平方米.第5讲　一元二次方程、不等式
【备考指导】
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
【知识特训】
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　 　　　 　　
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　 　　　 　　
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) 　;
(2)≥0(≤0) 　.
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为　,
|x|0)的解集为　.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. (　　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1(3)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　)
(4)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
2.(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x-1)(3-x)≥0的解集是 (　　)
A.(-∞,1)∪(3,+∞)
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.(1,3)
D.[1,3]
3.(北师大版必修第一册P39习题1-4T2(4)改编)已知关于x的不等式ax2-x+c<0的解集为{x|-1A.-1 B.1
C.-3 D.3
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若关于x的不等式mx2+x+1>0的解集为R,则实数m的取值范围为　　　　.
【能力特训】
特训点1　“三个二次”之间的关系　【自主冲关类】
(2024·东北师大附中模拟)已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,则不等式bx2-cx+3≤0的解集为　　　　.
【归纳总结】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
特训点2　一元二次不等式的解法　【师生共研类】
典例1 (1)关于x的不等式≥1的解集为 (　　)
A.
B.
C.
D.
(2)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
【归纳总结】对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有以下几种:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类;
(2)根据判别式Δ与0的关系进行分类;
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
1.不等式|2x-1|2.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
特训点3　一元二次不等式恒成立问题　【多维考向类】
考向1　在实数集R上恒成立
典例2 已知不等式mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|-1B.{m|-1≤m≤0}
C.{m|m≤-1或m>0}
D.{m|-1考向2　在给定区间上恒成立
典例3 (2024·重庆三模)设函数f(x)=mx2-mx-1,命题“ x∈[1,3],f(x)≤-m+2”是假命题,则实数m的取值范围为 (　　)
A.
B.(-∞,3]
C.
D.(3,+∞)
考向3　给定参数范围的恒成立问题
典例4 (2025·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 (　　)
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【归纳总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立 并说明理由.
(2)若不等式对任意x∈[0,1]恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对任意m∈[-2,2],不等式恒成立,求实数x的取值范围.
参考答案
知识特训
1.{x|x>x2或x2.(1)f(x)g(x)>0(<0)　(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
3.(-∞,-a)∪(a,+∞)　(-a,a)
基础诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.D　解析:不等式(x-1)(3-x)≥0,即(x-1)(x-3)≤0,解得1≤x≤3,所以原不等式的解集为[1,3].
3.A　解析:由题得-1,2为方程ax2-x+c=0的根,将-1代入ax2-x+c=0,得a+1+c=0,即a+c=-1.
4.　解析:当m=0时,x+1>0,x>-1,不满足题意;
当m≠0时,所以m>.综上可知,实数m的取值范围为.
能力特训
特训点1
(-∞,-1]∪[3,+∞)　解析:根据二次函数y=x2+bx+c的图象可知-1,2为方程x2+bx+c=0的两根,
故-1+2=-b,-1×2=c,即b=-1,c=-2,
则bx2-cx+3≤0,即-x2+2x+3≤0,即x2-2x-3≥0,
(x-3)(x+1)≥0,解得x≥3或x≤-1.故不等式的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).
特训点2
典例1　(1)B　解析:由≥1得≥0,其解集等价于解得≤x<2.
(2)解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式可化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式可化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1,满足题意;
当<-1,即-2综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
能力专练
1.(0,2)　解析:由题意,原不等式可化为-x-1<2x-12.解:原不等式可变形为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以a(x-1)<0.
当a>1,即<1时,解得当a=1时,无解;
当01时,解得1综上所述,当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
特训点3
典例2　D　解析:①若m=0,则-4<0恒成立,满足题意;
②若m≠0,则∴
∴-1典例3　D　解析:因为命题“ x∈[1,3],f(x)≤-m+2”是假命题,所以 x∈[1,3],f(x)>-m+2.又f(x)>-m+2可化为mx2-mx-1>-m+2,即m(x2-x+1)>3,
当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],所以m>在x∈[1,3]上恒成立,所以m>,其中x∈[1,3].
当x=1时,x2-x+1有最小值1,此时有最大值3,
所以m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞).
典例4　D　解析:不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得解得x<-1或x>3.
能力专练
解:(1)当m=0时,-2x+1<0,不可能对任意x∈R恒成立;当m<0时,Δ=4-4m(-m+1)=4m2-4m+4<0,即m2-m+1=+<0,无解.故不存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立.
(2)令f(x)=mx2-2x-m+1,x∈[0,1].
当m>0时,解得m>1,符合题意;
当m=0时,-2x+1<0,对任意x∈[0,1]不恒成立;
当m<0时,∵抛物线的对称轴x=<0,抛物线的图象开口向下,
∴只需f(0)=-m+1<0,解得m>1,与m<0矛盾.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m>1}.
(3)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),m∈[-2,2].
①当x2-1≠0,即x≠±1时,要使当|m|≤2时,g(m)<0恒成立,有即得
∴②当x2=1,即x=±1时,经检验,x=1满足题意.
由①②可知,所求的x的取值范围是.第1讲　集合
【备考指导】
1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.
3.能求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
【知识特训】
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、无序性、　　　　.
(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、　　　　.
(3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为　　　　.
(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N+表示　　　　,N表示非负整数集(或自然数集),Z表示　　　　,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
运算 表示
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 由所有属于集合A　　属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A,　　x∈B} 　
并集 由所有属于集合A　　属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A,　　x∈B} 　
补集 全集U中　 属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U,且x　　A} 　
常用结论
1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,2n-1个真子集.
2.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集. (　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (　　)
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或1. (　　)
(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B) (A∪B)恒成立. (　　)
2.(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)已知集合M={x|x-2<0,x∈N},则 (　　)
A.0 M B.-1∈M C.1 M D.{1} M
3.(人教A版必修第一册P35T9改编)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a= (　　)
A.2 B.1 C. D.-1
4.(人教A版必修第一册P13T3改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},
B={1,3,5,7},则( UA)∩( UB)=　　　　　　.
【能力特训】
特训点1　集合的基本概念　【自主冲关类】
1.(2024·苏州模拟)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2024·石家庄联考)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},集合B={(x,y)|y=|x|-1},则集合A∩B的真子集的个数为 (　　)
A.3 B.4 C.7 D.8
3.设集合A={2,a+2,2a2+a},若3∈A,则a=　　　　.
解决集合基本概念的注意点：一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
特训点2　集合间的基本关系　【师生共研类】
典例1 (1)(2024·山西三模)设集合S={x∈N*|x是4与6的公倍数},T={x|x=24n,n∈N*},则 (　　)
A.S∈T B.T S C.S T D.S=T
(2)(2025·陕西月考)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且B A,则实数m的取值范围是　　　　.
【归纳总结】已知两个集合间的关系求参数的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观表示来解决这类问题,特别要注意端点值的取舍,即“=”加不加的问题.
空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
1.(2025·邵通模拟)设集合A={3,5},集合B={x|ax-1=0},若B A,则实数a的取值集合的真子集的个数为 (　　)
A.2 B.4 C.7 D.8
2.(2024·厦门模拟)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y=},若A C B,写出一个符合条件的集合C:　　　　　.
特训点3　集合的基本运算　【多维考向类】
考向1　集合的运算
典例2 (1)(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
(2)(2024·邵阳三模)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},如图所示,则图中阴影部分表示的集合是 (　　)
A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1}
C.{x|x>6} D.{x|x<-1或x>6}
【归纳总结】集合运算的基本类型
(1)具体集合的运算:高考对集合的考查,多是考查具体集合(给出或可以求出集合中元素的具体值(范围))的交、并、补运算.解答时需先化简集合,再用列举法或借助数轴、Venn图等求解.
(2)抽象集合的运算:高考多考查没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算.解决此类问题的途径有两种:一是利用特殊值法将抽象集合具体化;二是利用Venn图化抽象为直观.
考向2　利用集合的运算求参数
典例3 (2024·驻马店二模)设集合A={x|xa},若A∩ RB=A,则实数a的取值范围为 (　　)
A.[0,1] B.[0,1)
C.(0,1) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
【归纳总结】利用集合的运算求参数的方法
(1)一般地,若已知集合的运算结果(实质是集合间的关系)求参数的值(范围),一般先确定不同集合间的关系,即元素之间的关系,再列方程或不等式.在求解过程中要注意对空集的讨论,避免漏解.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
1.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
2.(2024·惠州一模)已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x≤a-1},若A∪B=R,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
3.(2024·厦门模拟)已知全集U=R,集合N={x|x≤3},M={x|-1特训点4　集合的新定义问题　【师生共研类】
典例4 (多选)(2024·长沙高三期末)群论是代数学中一门很重要的理论,我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解的结论就可以用群论的知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下:设G是一个非空集合,“·”是G上的一个代数运算,若满足① a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c),② e∈G,使得 a∈G,有e·a=a·e=a,③ a∈G, b∈G,使a·b=b·a=e,则称G关于“·”构成一个群.下列说法正确的有 (　　)
A.G={1,-1}关于数的乘法构成群
B.有理数集关于数的乘法构成群
C.G={2m|m∈Z}关于数的加法构成群
D.G={m+n|m,n∈Z}关于数的加法构成群
【归纳总结】集合新定义问题的“三定”
(1)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素.
(2)定运算:根据要求及新定义运算,将所求解的集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题,或转化为数的有关运算问题.
(3)定结果:根据定义的运算进行求解,利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
(2024·咸阳二模)对于任意两个集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x B},
A*B=(A-B)∪(B-A).记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　　.
【考教衔接】容斥原理 (必修第一册阅读与思考)
在研究集合时,经常遇到有关集合元素的个数问题,一般地,若有限集合A={a1,a2,…,an},将A中元素的个数记为card(A).对于两个集合A,B,容斥原理的表述如下:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
对于三个集合A,B,C,容斥原理的表述如下:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
例题 已知某校高三(1)班有51名学生,春季运动会上,有17名学生参加了田赛项目,22名学生参加了径赛项目,田赛和径赛都参加的有9名同学,则该班学生中,田赛和径赛都没有参加的人数为 (　　)
A.25 B.23 C.21 D.19
跟踪训练　课外阅读能够拓宽学生的视野,丰富学生的知识,使学生具备较广阔的知识背景和认知能力.某校高三(1)班共有50名学生,他们关于必读书目中的M,N,P三本书的阅读情况如下:读完图书M的人数为23,读完图书N的人数为26,读完图书P的人数为27,读完图书M和N的人数为10,读完图书M和P的人数为12,读完图书N和P的人数为11,一本书都没读完的人数为4.该班三本书都读完的人数为　　　　.
参考答案
知识特训
1.(1)互异性　(2)图示法　(3) 　(4)正整数集　整数集
2.任意　存在
3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不　 　 UA
基础诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　解析:由题知M={0,1},因此A,B错误,C的表达方式错误,D正确,故选D.
3.B　解析:∵A B,∴a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,a=2,此时A={0,-2},B={0,1,2},不满足A B;当2a-2=0时,a=1,此时A={0,-1},B={0,1,-1},满足A B.所以a=1.
4.{6}　解析:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},∴ UA=, UB={2,4,6},∴( UA)∩( UB)={6}.
结论3秒解:A∪B={1,2,3,4,5,7},( UA)∩( UB)= U(A∪B)={6}.
能力特训
特训点1
1.B　解析:因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},所以C中有4个元素,故选B.
2.C　解析:结合图象可知集合A∩B中有3个元素,所以集合A∩B的真子集的个数为23-1=7.(巧用结论1)
3.-　解析:因为A={2,a+2,2a2+a}且3∈A,所以a+2=3或2a2+a=3,解得a=1或a=-.当a=1时,2a2+a=a+2=3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-时,A=,符合题意.
特训点2
典例1　(1)B　解析:由题意可知S={x∈N*|x=12m,m∈N*},显然24的倍数均为12的倍数,但12的倍数不一定是24的倍数,例如12,所以T是S的真子集.对比选项可知B正确,A,C,D错误,故选B.
(2)[-1,+∞)　解析:当B= 时,2m-1>m+1,解得m>2;当B≠ 时,解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[-1,+∞).
能力专练
1.C　解析:当a=0时,B= ,满足B A;当a≠0时,B=,因为B A,所以=3或=5,得a=或a=.综上,实数a的取值集合为,所以实数a的取值集合的真子集的个数为23-1=7,故选C.
2.{x|1≤x≤4}(答案不唯一)　解析:A={x|1≤x≤3},B={x|x≥1},故若A C B,则集合C可以是{x|1≤x≤4}.
特训点3
典例2　(1)A　解析:因为A={x|-(2)D　解析:因为A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},所以A∪B={x|-1≤x≤6},所以图中阴影部分表示的集合为 U(A∪B)={x|x<-1或x>6},故选D.
典例3　A　解析:因为B={x|x>a},所以 RB={x|x≤a},又A∩ RB=A,所以A RB,又A={x|x能力专练
1.A　解析:由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确; UM={x|x≥1},则N∪ UM={x|x>-1},选项B错误;M∩N={x|-12.D　解析:因为A∪B=R,所以a-1≥1,解得a≥2.故选D.
3.{x|x≤-1}　解析:阴影部分表示的集合为( UM)∩N,由题可知 UM={x|x≤-1或x≥6},故( UM)∩N={x|x≤-1}.
特训点4
典例4　ACD　解析:若G={1,-1},满足乘法结合律,满足条件②的e为1,满足条件③的e为-1,故A正确;
若G为有理数集,不满足③,因为当a=0时,不存在b∈G,使得a·b=b·a=e=1,故B错误;
若G={2m|m∈Z},即G为所有偶数组成的集合,满足加法的结合律,满足条件②的e为0, a∈G, b=-a∈G,使得a+b=b+a=0,故C正确;
若G={m+n|m,n∈Z}, a,b,c∈G,有(a+b)+c=a+(b+c),满足①,满足条件②的e为0, a=m+n∈G, b=-m-n∈G,使得a+b=b+a=0,故D正确.故选ACD.
能力专练
[-3,0)∪(3,+∞)　解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B=[-3,0)∪(3,+∞).
考教衔接1
例题　C　解析:设高三(1)班51名学生组成的集合为U,参加田赛项目的学生组成的集合为A,
参加径赛项目的学生组成的集合为B,由题意知集合A中有17个元素,B中有22个元素,A∩B中有9个元素,
其中card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),所以A∪B中有17+22-9=30个元素.所以该班学生中,田赛和径赛都没有参加的人数为51-30=21,故选C.
跟踪训练　3　解析:设集合A={高三(1)班读完图书M的学生},B={高三(1)班读完图书N的学生},C={高三(1)班读完图书P的学生},用card(A)表示集合A中元素的个数,
则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∪B)-card(A∪C)-card(B∪C)+card(A∩B∩C)=50-4=46,代入数据可得23+26+27-10-12-11+card(A∩B∩C)=46,解得card(A∩B∩C)=3,故该班这三本书都读完的人数为3.

展开更多......

收起↑