资源简介

2.2 圆的对称性
学习目标：
1、理解圆的对称性及有关性质；
2、能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题；
3、理解圆的轴对称性及垂径定理的推导；
4、能利用垂径定理进行相关的证明和计算。
情景导入：
轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合。
一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合。
知识总结：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
操作思考：
在两张透明纸片上，分别画半径相等的和，并在和中，分别画相等的圆心角和连接（如图）。
问：在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？（解析见课本）
知识总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。
符号语言：和'是等圆，且。
， 。
思考探究：
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？
如果圆心角所对的弦相等呢？
总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
练习：如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　）
A. B.
C. D.
新知学习：
我们知道，将顶点在圆心的周角等分成份，
每一份圆心角是的角。因为同圆中相等的圆心角
所对的弧相等，所以整个圆也被等分成份。我
们把的圆心角所对的弧叫做的弧（如图）。
知识总结：
一般地，的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角。
即：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
例：如图，是的弦，。相等吗 为什么 （课本）
练习：
1、（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
2、（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交点，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
3、如图，在中，，求的度数。
新知学习：
在纸上画，把剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
（：折痕过圆心）
知识总结：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。
思考：现有一张未标明圆心位置的圆形纸片，如何找到它的圆心？
操作探究：
画和的直径、弦，使,垂足为（如图），在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？（课本操作与思考）
试着加以证明（见课本）：
知识总结：垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言： （1）
注意：垂径定理中的垂径可以是_____、_____或过圆心的直线或______，其本质是“过圆心”。
例：如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点。相等吗 为什么 （课本例）
垂径定理推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
扩展延伸：
如图，是的两条弦，。与相等吗？为什么？
垂径定理推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
练习：判断：垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条（ ）。
垂径定理常见辅助线做法：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。
课堂练习：
1、（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 。
、在中，弦于，为直径，若，，则的半径为 。
3、（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦，和之间的距离是 。
4、如图，是的半径，且，分别是的中点。与相等吗？为什么？（课本）
5、如图，点在上，顺次连接，且，。
（1）求的度数；
（2）若的半径为2，求的面积。

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