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4.1 数列的概念(1)
模型1 数列的概念与分类 4
模型2 用观察法求数列的通项公式 7
模型3 数列通项公式的简单应用 9
模型4 数列的单调性 13
模型5 求数列中的最大(小)项 15
一、数列及其有关概念
1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
二、数列的表示
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是正整数．
三、数列与函数的关系
1．数列与函数的内在联系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
2．数列的表示方法
(1)解析式法；
(2)图象法；
(3)列表法．
3．数列的单调性
与函数类似，数列也有单调性．
四、数列的分类
1．按项的个数分类
类别 含义
有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
2．按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
五、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．
1．从定义与函数两个角度理解数列的概念 (1)从定义角度考虑：数列的项与正整数1，2，3，…严格对应，对应的正整数是项数，数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征；再者，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． (2)从函数角度看数列：数列与函数的关系为 ，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 2．对数列通项公式的理解 (1)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是，是第几项． (2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式． (3)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，如：数列－1，1，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前几项归纳出的数列的通项公式可能并不唯一．
模型1 数列的概念与分类
下列说法正确的是　　
A．，1，2，3，4，是有穷数列
B．所有有理数能构成数列
C．，，1，，3，4，5是一个项数为7的数列
D．数列1，2，3，4，，是无穷数列
【答案】
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，1，2，3，4，是集合，不是数列，错误；
对于，所有有理数能构成数列，正确；
对于，由于不确定是不是实数，则，，1，，3，4，5不一定是项数为7的数列，错误；
对于，数列1，2，3，4，，是有穷数列，错误；
故选：．
点拨 理解数列的概念应注意的几个方面 (1)判断一个数列是有穷还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的． (2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an＋1与an的大小来判断，即 ①若数列{an}满足anan＋1，则是递减数列． ③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列． (3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1，2，3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1，2，3，…)，即对于有穷数列，要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾.
【变式练1】　下列四个数列中，既是无穷数列，又是递增数列的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】要找既是无穷数列必须是项数无限的数列，又是递增数列必须是后一项总比前一项大的数列．依据这一标准从四个答案中判断正确选项即可．
【解答】解：首先，，，四个选项中的项数都是无限的，所以都是无穷数列．
而选项中的数列中的项是越来越小的，不属于递增数列；
中数列的项成周期变化，也不是递增数列；
中数列的项有正有负，故不是递增数列；
而中的数列是递增数列，满足所有条件．
故选：．
【变式练2】　（2023春 米东区期中）下列叙述正确的是　　
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，可以表示为
C．数列0，1，0，1，是常数列
D．数列是递增数列
【答案】
【分析】由数列的概念可判断选项、错误，由数列的分类可判断错，对．
【解答】解：数列1，3，5，7与7，5，3，1中数的排列顺序不同，故是不同的数列，故选项错误；
数列0，1，2，3，可以表示为数列，故选项错误；
数列0，1，0，1，是摆动数列，常数列是指所有项相等的数列，故选项错误；
数列的每一项都比其前一项大2，故数列为递增数列，选项正确．
故选：．
【变式练3】　（2018秋 商水县月考）下列叙述正确的是　　
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，可以表示为
C．数列0，0，0，1，是常数列
D．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
【分析】设，，则，当时，，故数列是递增数列；正确，表示单元素集合，错；数列0，0，0，1，不是相同的常数，故不是常数列，错；数列与项的顺序有关，错．
【解答】解：依题意，设，，则，当时，，故数列是递增数列；所以正确；
表示单元素集合，这个集合只有一个元素，显然数列0，1，2，3，不能用它表示；故错误；
因为数列0，0，0，1，中的常数不相等，故它不是常数列，错误；
数列根构成该数列的项的顺序有关，所以数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故错误．
故选：．
模型2 用观察法求数列的通项公式
（2024春 西城区期中）数列，3，，7，的通项公式可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】其符号与绝对值分别考虑即可得出．
【解答】解：数列，3，，7，，的一个通项公式为．
故选：．
点拨 用观察法求数列通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
【变式练1】　（2024秋 河西区期末）写出数列，，，，，，的一个通项公式 　　．
【答案】．
【分析】根据数列的变化规律得解．
【解答】解：因为数列，，，，，，
所以，，，，，，
即．
故答案为：．
【变式练2】　（2024春 河南月考）数列3，，的通项公式可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】依次代入特殊值验证通项公式，即可求解．
【解答】解：把代入，即得与数列不符，故项错误；
把，2代入，即得，与数列相符，故项正确；
把，2代入，即得，，故项正确；
把代入，即得，与数列不符，故项错误．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 唐县期中）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据题意，直接观察，归纳数列的通项公式，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列的前4项分别为，
观察可知，该数列的一个通项公式为．
故选：．
模型3 数列通项公式的简单应用
（2022秋 怀仁市期末）已知数列，，则是这个数列的　　
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】
【分析】根据题意，归纳数列的通项公式，进而可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，数列，，则通项公式，
若，解可得，
即是这个数列的第12项，
故选：．
点拨 判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将所给某数代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项. [跟踪训练3]　(2022·湖北武汉育才高级中学高二下质检)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)试问和是不是该数列的项？如果是，是第几项？
【变式练1】　（2024 越秀区模拟）已知数列的通项公式，．
（1）写出它的第10项；
（2）判断是不是该数列中的项；
（3）求及．
【答案】（1）；
（2）不是；
（3），．
【分析】（1）将代入直接计算即；
（2）由方程解集来即可判断；
（3）利用通项公式直接得到及．
【解答】解：（1）；
（2）令，
当为偶数时，，整理得，
解得或，因为且为偶数，所以原方程无解；
当为奇数时，，整理得，
因为△，又，所以原方程无解．
综上所述，不是该数列中的项；
（3），
．
【变式练2】　在数列中，．
（1）求这个数列的第10项；
（2）是否为该数列的项，为什么？
（3）求证：．
【答案】（1）；
（2）不是；
（3）证明见解析．
【分析】（1）化简，令求出的值即可；
（2）令，求出的值，结合判断即可；
（3）由，证明即可．
【解答】解：（1），
；
（2）令，
解得，无整数解，
不是该数列的项；
（3）证明：，，
，
，
即．
【变式练3】　已知数列．
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间，内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
【分析】（1）令，即可求这个数列的第10项；
（2）解不等式，即可得到结论．
【解答】解：（1），
当时，；
（2）
由，得，
即，
即，
得，
即，
解得，
，
，
即在区间，内有数列中的项，其中只有一项，为第2项．
模型4 数列的单调性
（2024春 邢台月考）已知是递增数列，则的通项公式可能为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举反例可判断，；将化简为，判断增减性，判断；判断的增减性，判断．
【解答】解：对于，，，不合题意；
对于，，则，
即，不合题意；
对于，，当增大时，减小，则增大，
符合题意，正确；
对于，随着的增大而减小，不合题意，错误．
故选：．
点拨 判断数列单调性的方法 作差比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小；或当数列中的项符号一致时作商比较an＋1与an的大小，即比较与1的大小．
【变式练1】　（2024春 辽宁期中）已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得．
【解答】解：因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有，
即，化简得，
所以对于任意的都成立，因为，所以．
故选：．
【变式练2】 （2024秋 沙坪坝区月考）已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，整理可得对一切正整数恒成立，根据恒成立问题分析求解．
【解答】解：因为满足对一切正整数均有且恒成立，
即恒成立，化为，
可知对一切正整数恒成立，所以，
故选：．
【变式练3】　（2022秋 天津期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】
【分析】由已知结合数列单调性的定义可求的范围，然后检验充分性及必要性，即可判断．
【解答】解：若“为递增数列”，
则，
则，，
故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
模型5 求数列中的最大(小)项
（2024春 沈阳期末）已知数列的通项公式为，则此数列的最大项为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】法一：利用作差法求解；法二：设数列的第项最大，由求解．
【解答】解：方法一：，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以，
所以数列有最大项，为第8项和第9项，且．
方法二：设数列的第项最大，则，
即，
解得，又，则或，
故数列有最大项，为第8项和第9项，且．
故选：．
点拨 求数列中最大(小)项的方法 (1)不等式组法：通常利用或确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减(或先减后增)型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)函数的单调性法：因为数列是一种特殊的函数，所以可以利用函数的单调性求最值，但要特别注意数列中的n为正整数．
【变式练1】　（2024秋 博望区月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据题意，将数列的通项公式变形，由此分析数列的单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列满足，，
则，
当，时，，，且随着的变大，变大，
当，时，，，且随着的变大，变大，
故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，．
故选：．
【变式练2】　（2023春 蚌山区月考）若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是　　
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【答案】
【分析】由，利用基本不等式能求出这个数列中的最大项．
【解答】解：，
，
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得最大值．
故选：．
【变式练3】　（2022春 龙华区期末）设数列满足，且，则数列中的最大项为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据首项及递推式，用累加法求出，再用函数的单调性，确定数列的最大值．
【解答】解：由，可得：
，，
又函数开口向上，对称轴为，
所以的最小值为（3）（4），
故数列的最大项为第3项和第4项，值为．
故选：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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