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4.1 数列的概念(2)
模型1 由递推公式写出数列的项 3
模型2 由递推公式求通项公式-累加法 5
模型3 由递推公式求通项公式-累乘法 7
模型4 数列的通项an与前n项和Sn的关系 11
知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识点二　通项公式与递推公式的区别与联系
区别 联系
通项公式 项an是序号n的函数式an＝f(n) 都可以确定数列
递推公式 已知一个数列的相邻两项或多项之间的关系式
知识点三　数列的前n项和
1．定义
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．数列的前n项和公式
(1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(2)显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝
若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an.
给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识，即 (1)当an－an－1＝f(n)，且f(n)可求和时，有 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(累加) (2)当＝g(n)，且g(n)可求积时，有 an＝··…··a1.(累乘) (3)当数列{an}为周期数列，且周期为T(T为正整数)时，由an＝an＋T可将an转化为a1，a2，…，aT处理．
模型1 由递推公式写出数列的项
（2024秋 衡水月考）已知数列满足，则，则　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】根据题中递推公式代入运算即可．
【解答】解：由，，
可得；
；
．
故选：．
点拨 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (4)若项数很大，则应考虑数列是否具有周期性．
【变式练1】　（2024春 湛江期中）在数列中，已知，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知递推关系进行变形，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列，
所以，
所以，所以．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 上虞区期末）已知数列满足，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据递推关系，求解即可得出答案．
【解答】解：，
．
故选：．
【变式练3】　（2024春 简阳市期中）在数列中，已知，，且，则　　
A．13 B．9 C．11 D．7
【答案】
【分析】根据递推公式，结合，，通过赋值，即可求得．
【解答】解：由题意可知，．
故选：．
模型2 由递推公式求通项公式-累加法
（2022秋 新化县期末）在数列中，，，则通项公式　　．
【答案】．
【分析】由题意得，利用累加法，即可得出答案．
【解答】解：，，即，
当时，，，，，
由累加法得，
当时，，
当时，
，
故答案为：．
点拨 形如an＋1－an＝d(d为非零常数)或an＋1－an＝f(n)(f(n)可以求和)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．
【变式练1】　（2024春 皇姑区月考）已知数列满足且，的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由数列恒等式和等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式．
【解答】解：由数列满足且，
可得
（符合首项）．
故选：．
【变式练2】　（2024 平遥县开学）若数列满足且，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由条件可得，，由数列的裂项相消可得所求通项公式．
【解答】解：由时，，可得，
所以．
故选：．
【变式练3】　（2023 广东模拟）已知数列满足，，则　　．
【分析】由题意知，，由此可知
，从而得到的值．
【解答】解：，，，，，
，，，
．
答案：．
模型3 由递推公式求通项公式-累乘法
设数列中，，，求通项公式．
【答案】．
【分析】把已知数列递推式变形，可得，然后利用累积法求数列的通项公式．
【解答】解：，，
，即，
．
而适合上式，
数列的通项公式为．
点拨 由形如an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)可以求积)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键．
【变式练1】　（2024 日照开学）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）结合已知递推关系即可直接求解．
（2）由已知利用裂项求和即可求解．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
所以．
（2）由，得，
所以
．
【变式练2】　（2022秋 吉林期末）已知数列，，；数列是等比数列，，，，成等差数列．
（1）求、通项公式；
（2）若前项和，满足，求证．
【答案】（1），，，；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）先根据题意将数列的递推公式进行转化即可发现数列是恒为1的常数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式，再设等比数列的公比为，根据题干已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出等比数列前项和的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法求出数列的前项和，最后根据不等式的运算即可证明不等式成立．
【解答】（1）解：依题意，由，
可得，
，
，
数列是恒为1的常数列，
，即，，
设等比数列的公比为，
则，，
，，成等差数列，
，
即，
整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）证明：由（1）可得，，
则，
故
，
不等式对任意恒成立．
【变式练3】　（2024秋 福建月考）已知数列满足．
求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：
【分析】（Ⅰ）根据，可得，再结合，即可得到的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，然后利用裂项相消法求出，进一步证明
【解答】解：（Ⅰ），，
，
又，，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
．
模型4 数列的通项an与前n项和Sn的关系
（2024春 大兴区期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据题意，分与两种情况求出的表达式，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，数列的前项和，
当时，有，
当时，有，
不符合，
故．
故选：．
点拨 数列的通项an与前n项和Sn的关系 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写数列{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示．
【变式练1】　（2024 四川模拟）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用，代入求解，即可得出答案．
【解答】解：，
当时，，
当时，，
又也满足，
故数列的通项公式为．
故选：．
【变式练2】 （2024秋 当涂县期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 　　．
【答案】．
【分析】利用求解即可．
【解答】解：数列的前项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：．
【变式练3】　（2024 四川模拟）若数列的前项和为，，，则数列的通项公式为　　．
【答案】．
【分析】根据给定条件，结合，变形等式，再构造常数列求出通项．
【解答】解：由，，
两式相减得，即，则，
因此数列是常数列，故，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
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