资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 集合的基本运算
模型1 并集的概念及简单应用 4
模型2 交集的概念及简单应用 6
模型3 交集、并集中的参数问题 8
模型4 补集的简单运算 11
模型5 集合的交集、并集、补集的综合运算 13
模型6 与补集相关的参数值(范围)的求解 15
知识点一　并集
知识点二　交集
知识点三　并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
知识点四　全集
(1)概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：通常记作U．
知识点五　补集
1．并集的性质 (1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A A∪B，B A∪B. (2)A B A∪B＝B；A∪B＝ A＝B＝ . 2．交集的性质 (1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B A，A∩B B. (2)A B A∩B＝A；A∩B＝A∪B A＝B. (3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)． 3．集合中元素个数的确定方法 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 补集的性质 (1)A∪( UA)＝U. (2)A∩( UA)＝ . (3) UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A. (4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)． (5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
模型1 并集的概念及简单应用
（2024 广东学业考试）设集合，1，，，0，，则　　
A．， B．，1， C．，0，1， D．，0，
【答案】
【分析】利用并集的定义可求得集合．
【解答】解：因为集合，1，，，0，，
因此，0，1，．
故选：．
点拨 求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
【变式练1】　（2024秋 杏花岭区月考）已知集合，，若，则实数的取值集合是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由可得，由的可能结果，分类讨论求实数的取值范围．
【解答】解：方程的根为或，即，，
若，则，
当时，有△，解得；
当时，有，解得；
当时，有，方程组无解；
当，时，有，方程组无解；
综上可得，实数的取值集合为．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 成都月考）已知集合，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求集合，，然后取并集即可．
【解答】解：，，则．
故选．
【变式练3】　（2024秋 兰山区月考）已知集合，，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】当时，，当时，，从而，由此能求出．
【解答】解：集合，，，，
当时，，
当时，，
，，
，
则．
故选：．
模型2 交集的概念及简单应用
（2024春 大新县期末）集合，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
点拨 求集合交集的两种方法 (1)定义法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【变式练1】　（2024秋 锦江区月考）已知集合，，则　　
A．， B．，3， C． D．
【答案】
【分析】先求出集合，再利用集合的交集运算求解．
【解答】解：，3，，
又集合，
，3，．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 贾汪区月考）已知集合，，则　　
A．，， B． C．，， D．
【答案】
【分析】解不等式得到，，求出交集．
【解答】解：，或，
故，，．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 永定区月考）已知集合，2，3，，，则　　
A． B．， C．，3， D．，2，3，
【答案】
【分析】求出集合，，由交集的运算能求出结果．
【解答】解：因为或，
又，2，3，，
由交集的运算可知：，3，．
故选：．
模型3 交集、并集中的参数问题
（2024秋 安溪县月考）已知集合，，若中恰有3个元素，则的取值范围为　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【分析】解集合中的不等式，得到集合，由中的元素，判断的取值范围．
【解答】解：等价于，解得，
又，，，，，0，1，，
若中恰有3个元素，则，1，，所以，
即的取值范围为，．
故选：．
点拨 求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集为怎样的范围． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．
【变式练1】　（2024秋 高邮市月考）已知集合，，．若，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，
【分析】根据可得出，从而可讨论是否为空集：时，需满足；时，需满足，解出的范围即可．
【解答】解：，
，
①时，
；
②时，，
解得，，
综上得，实数的取值范围为，．
故选：．
【变式练2】　（2024春 西山区月考）集合或，，若，则实数的取值范围为　　
A． B．， C． D．
【答案】
【分析】根据集合并集的运算性质进行求解即可．
【解答】解：因为，
所以有，
即实数的取值范围是，．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 吴江区月考）设集合，集合，，若中含有一个整数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，先解出集合，设，则对称轴为，又，根据对称性可知，要使中含有一个整数，则这个整数为2，再利用（2）且（3），从而可解．
【解答】解：根据题意，集合或，集合，，
设，则对称轴为，又，
根据对称性可知，要使中含有一个整数，则这个整数为2，
所以（2）且（3），
即，即，
故选：．
模型4 补集的简单运算
（2024秋 密山市期末）设全集为，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】解分式不等式求出集合，然后结合基本补集运算可求．
【解答】解：因为全集为或，
则．
故选：．
点拨 补集的求解步骤及方法 (1)步骤：①确定全集，在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集． (2)方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集的性质求解．
【变式练1】　（2024 凉山州模拟）已知集合，，，，则　　
A． B．， C．， D．
【答案】
【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可．
【解答】解：因为集合，或，，，，
所以，，
故选：．
【变式练2】 （2024 通州区三模）已知为整数集，，则　　
A．，0， B．，0，1， C．，1， D．，，0，1，
【答案】
【分析】解不等式求出集合，由补集定义能求出．
【解答】解：为整数集，或，
则，0，．
故选：．
【变式练3】　（2024 山西模拟）已知全集，，则　　
A．，， B．，， C．， D．
【答案】
【分析】利用交集定义、不等式性质求解．
【解答】解：因为，
，
所以，，．
故选：．
模型5 集合的交集、并集、补集的综合运算
（2024秋 东莞市月考）已知，2，3，4，5，6，7，8，，，5，6，，，5，7，，则　　
A． B．， C．， D．，2，4，7，
【答案】
【分析】根据集合运算的定义计算即可．
【解答】解：，2，4，7，，则，．
故选：．
点拨 (1)解决集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，再计算其他部分，如本例(1)求( UA)∪B时，可先求出 UA，再求并集． (2)求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
【变式练1】　（2024 长沙模拟）集合，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据集合的定义计算即可．
【解答】解：由，，
所以，
所以．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 安徽期末）已知集合，，则　　
A．， B． C． D．，
【答案】
【分析】根据集合运算的定义计算即可．
【解答】解：由题意知或，则．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 北碚区月考）已知集合，，则　　
A． B．
C．， D．，，
【答案】
【分析】先解绝对值不等式求出集合，然后由集合运算求解可得．
【解答】解：解不等式，得或，得或，
所以，所以，．
故选：．
模型6 与补集相关的参数值(范围)的求解
（2024 福田区模拟）已知集合，，0，，，，则实数的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】利用补集、交集、不等式性质能求出结果．
【解答】解：集合，
，
，0，，，，
，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
点拨 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，可利用补集的定义并结合集合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，一般利用数轴分析法求解．
【变式练1】　（2024秋 舒城县月考）集合，，，则的范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先解一元二次不等式求出集合，从而得到或，再由集合的运算求出的取值范围．
【解答】解：集合，
或，
，，
，故的取值范围是，．
故选：．
【变式练2】　（2023春 阿克苏市期末）设，，若，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【分析】求出集合的等价条件，结合，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：，
，
若，则，
故选：．
【变式练3】　（2024秋 新罗区月考）已知集合，，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】，可得，，，根据，即可得出．
【解答】解：，，，，
，
．
故选：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑