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1.1 集合的概念
模型1 对集合的理解 3
模型2 元素与集合的关系 5
模型3 集合中元素的特性及应用 7
模型4 用列举法表示集合 10
模型5 用描述法表示集合 12
模型6 集合表示方法的简单应用 14
知识点一　元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
知识点二　元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三　常用的数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四　集合的表示方法
对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法：
方法 含义 优点 缺点
列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集
描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素
使用列举法表示集合时需注意的四点 (1)元素之间用“，”隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.
模型1 对集合的理解
（2024秋 射阳县月考）下列对象能构成集合的是　　
A．不等式的解集 B．著名的数学家
C．非常接近0的数 D．面积非常小的三角形
【答案】
【分析】根据集合具有确定性，无序性，互异性逐一判断即可；
【解答】解：不等式的解集为空集，可以构成集合，故正确；
著名的数学家，非常接近0的数，面积非常小的三角形都没有确定性，不能构成集合，
故，，错误．
故选：．
点拨 一组对象能构成集合的两个条件 (1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的．
【变式练1】　（2024秋 杏花岭区月考）若以正实数，，，四个元素构成集合，以中四个元素为边长构成的四边形可能是　　
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】
【分析】根据集合中的元素具有互异性，可得正实数，，，互不相等，由此可得结论．
【解答】解：由于集合中的元素具有互异性，所以正实数，，，互不相等
平行四边形、菱形、矩形有相等的边，梯形四边可以不等
以中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形
故选：．
【变式练2】　（2024秋 深圳期中）下列元素的全体可以组成集合的是　　
A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市
C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生
【答案】
【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论．
【解答】解：由题意，选项，都不满足集合元素的确定性，选项的元素是确定的，可以组成集合．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 金凤区月考）下列几组对象可以构成集合的是　　
A．充分接近的实数的全体
B．善良的人
C．世界著名的科学家
D．某单位所有身高在以上的人
【答案】
【分析】根据已知条件，结合集合的定义，即可求解．
【解答】解：选项，，所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，故错误，
选项的标准唯一，符合集合的定义，故能组成集合，故正确．
故选：．
模型2 元素与集合的关系
（2024秋 虹口区月考）若，，，则实数　　．
【答案】．
【分析】根据元素与集合的关系求解．
【解答】解：当时，，不满足元素的互异性，舍去，
当时，解得或4，
显然时，不符合题意，
所以．
故答案为：．
点拨 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【变式练1】　（2024秋 邓州市月考）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为　　
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】
【分析】根据数的分类一一判断即可．
【解答】解：为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
是无理数，所以，所以②错误；
0不是正整数，所以，所以③正确；
，所以④正确；
是无理数，所以，所以⑤正确；
，所以⑥错误．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 黄埔区月考）非空集合具有如下性质：①若，，则；②若，，则下列判断中，错误的是　　
A． B．
C．若，，则 D．若，，则
【答案】
【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得．
【解答】解：对于，由①知，，由②知，，即，因此，正确；
对于，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数，
因此，，则，正确；
对于，由选项知，，，由①知，，则当时，，正确；
对于，若，，则，错误．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 姑苏区月考）已知集合，，，，则　　
A． B． C．或 D．3
【答案】
【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可．
【解答】解：，或，
若，解得或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，，，满足题意，故成立，
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，．
故选：．
模型3 集合中元素的特性及应用
（2024秋 浑源县月考）已知集合，，，若，则　　
A． B． C．1 D．或
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值．
【解答】解：因为集合，，，且，
（1）若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，舍去；
（2）若，即，解得或（舍，
当时，，合乎题意．
综上所述，．
故选：．
点拨 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性可以解出集合中参数的所有可能的值或范围，再对集合中的元素进行检验，从而判断是否满足集合中元素的互异性． (2)注意点：在利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的运用．
【变式练1】　（2024秋 秦州区月考）已知集合，，，若，则实数　0　．
【答案】0．
【分析】根据题意，利用元素与集合的关系得到关于的方程，结合元素的互异性算出答案．
【解答】解：因为，，，，
所以或，
①当时，，此时，，，不满足互异性，不符合题意；
②当时，不符合题意，舍去），此时，，，符合题意．
综上所述，实数的值为0．
故答案为：0．
【变式练2】　（2024秋 崂山区月考）已知数集，，则实数的值是 　0　．
【答案】0．
【分析】根据元素与集合之间的关系分类讨论计算即可求解．
【解答】解：，，
所以或，
当时，，此时，，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意；
当时，解得或（舍去），
时，集合为，，符合题意，
所以．
故答案为：0．
【变式练3】　（2024秋 南湖区月考）设集合，，，若，则实数的值为 　3　．
【答案】3．
【分析】由题意分情况讨论，建立方程，可得答案．
【解答】解：集合，，，若，
则或，
当时，则，故不符合题意；
当时，则，化简可得，不合题意舍去）．
故答案为：3．
模型4 用列举法表示集合
（2024秋 天元区月考）集合，用列举法表示为　　
A．，，0，1， B．，0，1， C．，1， D．，
【答案】
【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可．
【解答】解：由，解得，
所以．
故选：．
点拨 列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1000}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}． 注意：(1)花括号“{　}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}，都是不正确的． (2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．
【变式练1】　（2024秋 江西月考）已知集合，则用列举法表示　　
A．，0，1，2， B．，0，2， C．，2， D．，
【答案】
【分析】由题意可得可为、，计算即可得．
【解答】解：因为集合，
由题意可得可为、，
即可为0，2，，4，即，0，2，．
故选：．
【变式练2】 （2024秋 浦东新区月考）用列举法写出所有小于13的素数组成的集合 　，7，5，3，　．
【答案】，7，5，3，．
【分析】结合集合的列举法即可求解．
【解答】解：小于13的素数组成的集合为，7，5，3，．
故答案为：，7，5，3，．
【变式练3】　（2024秋 闵行区月考）集合可以用列举法表示为 　　．
【答案】．
【分析】求出方程组的解即可得到．
【解答】解：由，解得，，则．
故答案为：．
模型5 用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
（1）方程的解集是　　；
（2）由不大于9的所有正奇数组成的集合是　　；
（3）绝对值大于1的实数的集合是　　．
【答案】（1）；（2），3，5，7，；（3）．
【分析】利用集合描述法的定义求解即可．
【解答】解：（1）方程的根可以用表示，
用描述法表示为；
（2）由不大于9的所有正奇数可以用表示，
用描述法表示为，3，5，7，；
（3）绝对值大于1的实数可以用表示，
用描述法表示为．
点拨 使用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母． (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．
【变式练1】　用描述法表示图中的阴影为部分的点（含边界）的坐标组成的集合为 　，　．
【答案】，．
【分析】可看图得出，的范围，进而可写出阴影部分的点的坐标的集合．
【解答】解：图中阴影部分的点的坐标组成的集合为：，．
故答案为：，．
【变式练2】　用描述法表示下列集合：
（1）奇数组成的集合；
（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用集合的表示方法求解；
（2）利用集合的表示方法求解．
【解答】解：（1）奇数组成的集合，用描述法可以表示为，；
（2）因为第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，
所以平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合可以表示为，．
【变式练3】　用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的所有自然数组成的集合；
（2）比1大又比10小的所有实数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【分析】结合集合的表示方法分别进行表示即可．
【解答】解：（1），；
（2）；
（3）．
模型6 集合表示方法的简单应用
（2022秋 行唐县月考）已知集合，，若集合中至多只有一个元素，则的取值范围是 　，　．
【答案】，．
【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定的取值范围．
【解答】解：当时，方程可化为，
解得，故成立；
当时，△，
解得；
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
点拨 容易漏解参数m＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程．求解时要注意对m进行分类讨论．
【变式练1】　（2024 杨浦区三模）已知非空集合，满足以下两个条件：
（ⅰ），2，3，4，5，，；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为　　
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】
【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．
【解答】解：若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，
此时有1个，
若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，
此时有，
若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则，，不满足题意，
若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，
即，，此时有，
若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，
即，，此时有，
故有序集合对的个数是，
故选：．
【变式练2】　（2023春 福州期末）已知集合有且只有一个元素，则实数的值为　0或4　．
【分析】根据题意，由集合的表示方法分与时2种情况讨论，求出的值，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合有且只有一个元素，
当时，，其有且只有一个元素，符合题意，
当时，集合有且只有一个元素，
必有，解可得，
故实数的值为0或4；
故答案为：0或4．
【变式练3】　（2024秋 南宁月考）已知集合．
（1）若是单元素集，求的值及集合；
（2）求集合使得至少含有一个元素．
【分析】（1）分二次项系数为0和不为0求解方程，得到单元素集合；
（2）二次项系数为0满足题意，二次项系数不为0时，由判别式大于等于0求得的取值范围．
【解答】解：（1）当时，方程，有一个解，合题意，
故；
当，只有一个元素，则二次方程只有一个根，所以△，
得，
得．
（2）至少含有一个元素，则△，
有．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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