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1.2 集合间的基本关系
模型1 集合间关系的判断 3
模型2 求子集、真子集(的个数) 5
模型3 由集合间的关系求参数 7
模型4 集合相等与空集 9
知识点一　Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．因此，A B可用Venn图表示为
或.
知识点二　子集与真子集
定义 符号表示 图形表示
子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)，读作A包含于B或B包含A
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)，读作A真包含于B或B真包含A
知识点三　集合相等
自然语言 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
符号语言 若A B，且B A，则A＝B
图形语言
知识点四　空集
定义 不含任何元素的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， ； (2)若A≠ ，则 A
知识点五　集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
集合子集的个数 若一个集合中含有n个元素，则 (1)子集的个数为2n. (2)真子集的个数为2n－1. (3)非空子集的个数为2n－1. (4)非空真子集的个数为2n－2.
模型1 集合间关系的判断
（2024秋 沧州月考）下列元素、集合间的关系表述正确的是　　
A． B．，2，， C． D．
【答案】
【分析】对于，由元素与集合的关系判断；对于，由集合中元素判断集合间关系；对于，由空集定义判断；对于，由数集的范围判断．
【解答】解：对于选项，是元素，是自然数集，应用“”连接，故选项错误；
对于选项，，中的元素都在，2，中，故，，2，，故选项错误；
对于选项，是不含任何元素的集合，故选项错误；
对于选项，是有理数集，是实数集，，
所以，
又因为任何集合都是它本身的子集，所以，故选项正确．
故选：．
点拨 判断集合之间的关系的基本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B A.最后下结论：若A B，B A，则A＝B；若A B且A≠B，则A B；若B A且B≠A，则B A；若上述三种情况均不成立，则集合A与集合B无包含关系．
【变式练1】　（2024 东湖区三模）已知集合，2，，，1，2，3，4，，若，则满足集合的个数为　　
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，直接列举，即可求解．
【解答】解：集合，2，，，1，2，3，4，，，
则，2，，，2，3，，，2，3，，，2，3，，，2，3，0，，，2，3，0，，，2，3，4，，，1，2，3，4，，共8个．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 黑龙江月考）已知集合，，则　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系，以及子集的定义判断．
【解答】解：对于，，故错误；
对于，，元素与集合不能用符号，故错误；
对于，根据子集的定义，有，，故正确；
对于，集合，不是集合中的元素，不能用符号，故错误．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 淮安月考）已知集合，，1，2，3，4，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解．
【解答】解：集合，2，3，，
又因为，1，2，3，4，，
所以．
故选：．
模型2 求子集、真子集(的个数)
（2024秋 遵义月考）已知集合，，，则集合的真子集的个数是　　
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】
【分析】化简集合，根据集合中元素个数得解．
【解答】解：集合，，，，，，共有四个元素，
则集合的真子集的个数是个．
故选：．
点拨 在写含有多个元素的集合的子集时，先考虑 ，再从第1个元素开始，第1个元素与其后的每个元素搭配，然后不看第1个元素，将第2个元素与其后的每个元素搭配，以此类推，以保证不重不漏．
【变式练1】　（2024秋 安徽月考）满足，1，，1，2，3，4，的集合的个数是　　
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】
【分析】根据题意写出符合条件的集合．
【解答】解：因为集合，1，，1，2，3，4，，
所以一定含有0，1，2，可能含3，4，5中的一个或两个，
的个数为．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 成都月考）已知集合满足，1，2，，则满足条件的集合的个数为　　
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】
【分析】计算出集合，1，2，中元素个数，即可得其子集个数，即可得解．
【解答】解：集合中有4个元素，故子集个数有个，
即满足条件的集合的个数为16．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 黑龙江月考）集合的真子集的个数是　　
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】
【分析】先求出集合，然后结合集合子集个数的规律即可求解．
【解答】解：由题知，，所以集合的真子集的个数是．
故选：．
模型3 由集合间的关系求参数
（2024秋 顺义区月考）若集合，，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系可解．
【解答】解：因为，
又，
若，可得，则必有，
故实数的取值范围为，，
故选：．
点拨 利用集合间的关系求参数问题的注意点 (1)利用集合间的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成漏解．
【变式练1】　（2024秋 渝北区月考）设，，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．或
【答案】
【分析】分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围．
【解答】解：因为，
所以分和两种情况讨论，
当时，，
解得，
当时，或，
解得或，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
【变式练2】　（2024春 浙江期中）设集合，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】考察集合的包含关系，利用数轴求解即可．
【解答】解：由题意作图则即可，
故选：．
【变式练3】　（2024秋 静海区月考）集合或，，若，则实数的取值范围是 　，　．
【答案】，．
【分析】分别讨论，，三种情况求出集合，然后根据子集的定义建立不等式关系，由此即可求解．
【解答】解：因为，
当时，满足题意，
当时，①时，集合，
则只需，解得，
②当时，集合，则只需，解得，
综上，实数的范围为，，
故答案为：，．
模型4 集合相等与空集
（2024秋 邢台月考）已知集合，，，，1，，若，则　　
A． B．2 C． D．6
【答案】
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解．
【解答】解：因为集合，，，，1，，
若，则或，
解得，或，，
当，时，，3，与集合元素的互异性矛盾，舍去，
故，，此时．
故选：．
点拨 同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同
【变式练1】　（2024秋 钦北区月考）若集合，，，集合，且，则　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可．
【解答】解：因为，根据题意，故，
所以，0，，，，
则，即，
当时，与集合的互异性矛盾，故舍去；
当，时，，0，，，，符合题意，
所以．
故选：．
【变式练2】 （2024秋 嘉定区月考）已知，，，．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求实数的值．
【答案】（1）且；
（2）．
【分析】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；
（2）由集合相等构造方程组即可求得．
【解答】解：（1）由，并根据集合中元素的互异性可知，
即，解得且；
所以实数的取值范围为且；
（2）当时可得或；
当时，解得，当时，无解．
所以．
【变式练3】　（2024秋 济源月考）集合，，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【分析】由集合相等得到2是方程的解，且方程只有唯一的实数解，由此能求出结果．
【解答】解：集合，，
，
解得，，
．
故选：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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