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13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
课时目标
1.通过对三角形三边关系的探索,进一步体验转化思想的运用.(抽象能力、模型观念)
2.了解三角形的稳定性.(几何直观、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的三边关系 (1)三角形两边的和 第三边. (2)三角形两边的差 第三边. 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6
2.三角形具有稳定性. 2.如图,小明的桌子坏了,于是他给桌子加了两根木条,这样桌子就比较牢固了,他所应用的数学道理是 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形的三边关系(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P7练习T1拓展)王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域,用于饲养小动物.已知第一条边长为a米,由于受地势的限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长.
(2)第一条边长可以为7米吗 为什么
举一反三
1.已知一个三角形的两边长分别为3和9,若第三边长为偶数,则第三边长为 ( )
A.6或12 B.6或10
C.6或8 D.8或10
2.(2025·衡水模拟)将周长为12 cm的三角形的三条边依次放在一条直线上,其中所标数据正确的是 ( )
3.已知三角形三边长分别为a,b,c,其中a,b满足(a-5)2+|b-8|=0,c为最长边.
(1)求c的取值范围;
(2)若此三角形的周长为偶数,求此三角形的周长.
重点2　特殊三角形的三边关系(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P6例题拓展)用一条长为44 cm的细绳围成一个三角形,已知第一条边长为x cm,第二条边长比第一条边长的3倍少6 cm.
(1)用含x的式子表示第三条边长;
(2)若能围成一个等腰三角形,求这个三角形的三边长.
举一反三
1.(1)已知等腰三角形的一条边长等于6,另一条边长等于7,则它的周长为 .
(2)已知等腰三角形的一条边长等于14,另一条边长等于29,则它的周长为 .
2.等腰三角形的周长为13 cm,其中一边长为3 cm,则其他两边长为 .
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
技法点拨
用三角形三边关系解决等腰三角形问题的两点注意
1.求等腰三角形的边或周长时要注意分类讨论.
2.等腰三角形是特殊的三角形,一定要满足三角形的三边关系.
素养　思维提升　入境深探
一题多解
数学课本第21页复习题的第3题如下:
如图1,填空:
由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD>________,PD+CD>________.
将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+PD+CD>________,即AB+AC>________.
(1)补全上面步骤;
(2)仿照图1的方法,请你利用图2,过P作直线交AB,AC于M,N,证明:AB+AC>PB+PC.13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
课时目标
1.通过对三角形三边关系的探索,进一步体验转化思想的运用.(抽象能力、模型观念)
2.了解三角形的稳定性.(几何直观、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的三边关系 (1)三角形两边的和　大于　第三边. (2)三角形两边的差　小于　第三边. 1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 (C) A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6
2.三角形具有稳定性. 2.如图,小明的桌子坏了,于是他给桌子加了两根木条,这样桌子就比较牢固了,他所应用的数学道理是　三角形的稳定性　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形的三边关系(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P7练习T1拓展)王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域,用于饲养小动物.已知第一条边长为a米,由于受地势的限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长.
(2)第一条边长可以为7米吗 为什么
【自主解答】(1)∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米,第一条边长为a米,∴第二条边长为(2a+2)米,
由题意可知:第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)米;
(2)若a=7,则第二条边长为2×7+2=16米,第三条边长为28-3×7=7米,
∵7+7<16,∴此时不能构成三角形,∴第一条边长不可以为7米.
举一反三
1.已知一个三角形的两边长分别为3和9,若第三边长为偶数,则第三边长为 (D)
A.6或12 B.6或10
C.6或8 D.8或10
2.(2025·衡水模拟)将周长为12 cm的三角形的三条边依次放在一条直线上,其中所标数据正确的是 (D)
3.已知三角形三边长分别为a,b,c,其中a,b满足(a-5)2+|b-8|=0,c为最长边.
(1)求c的取值范围;
(2)若此三角形的周长为偶数,求此三角形的周长.
【解析】(1)∵(a-5)2+|b-8|=0,
∴a-5=0,b-8=0,∴a=5,b=8,
∵三角形的最长边为c,
∴8≤c<5+8,即8≤c<13.
(2)由(1)可知,a=5,b=8,8≤c<13,则此三角形的周长为a+b+c=13+c,
∵此三角形的周长为偶数,∴c为奇数,则c=9或11,∴13+c=22或24,
∴此三角形的周长为22或24.
重点2　特殊三角形的三边关系(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P6例题拓展)用一条长为44 cm的细绳围成一个三角形,已知第一条边长为x cm,第二条边长比第一条边长的3倍少6 cm.
(1)用含x的式子表示第三条边长;
(2)若能围成一个等腰三角形,求这个三角形的三边长.
【自主解答】(1)∵第二条边长为(3x-6)cm,
∴第三条边长为44-x-(3x-6)=(50-4x)cm;
(2)当x=3x-6时,x=3,故三条边长分别为3 cm,3 cm,38 cm,由3+3<38,得3 cm,3 cm,38 cm不能组成三角形;
当x=50-4x时,x=10,故三条边长分别为10 cm,10 cm,24 cm,由10+10<24,得10 cm,10 cm,24 cm不能组成三角形;
当3x-6=50-4x时,x=8,故三条边长分别为8 cm,18 cm,18 cm,由8+18>18,得8 cm,18 cm,18 cm可组成三角形,∴等腰三角形的三边长分别为8 cm,18 cm,18 cm.
举一反三
1.(1)已知等腰三角形的一条边长等于6,另一条边长等于7,则它的周长为　19或20　.
(2)已知等腰三角形的一条边长等于14,另一条边长等于29,则它的周长为　72　.
2.等腰三角形的周长为13 cm,其中一边长为3 cm,则其他两边长为　5 cm,5 cm　.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
【解析】∵+(c-7)2=0,
∴解得
∵a为方程|a-3|=2的解,∴a=5或1,
当a=1,b=5,c=7时,1+5<7,
不能组成三角形,故a=1不符合题意;
∴a=5,∴△ABC的周长为5+5+7=17,
∵a=b=5,∴△ABC是等腰三角形.
技法点拨
用三角形三边关系解决等腰三角形问题的两点注意
1.求等腰三角形的边或周长时要注意分类讨论.
2.等腰三角形是特殊的三角形,一定要满足三角形的三边关系.
素养　思维提升　入境深探
一题多解
数学课本第21页复习题的第3题如下:
如图1,填空:
由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD>________,PD+CD>________.
将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+PD+CD>________,即AB+AC>________.
(1)补全上面步骤;
(2)仿照图1的方法,请你利用图2,过P作直线交AB,AC于M,N,证明:AB+AC>PB+PC.
【解析】(1)由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD>BD,PD+CD>PC,
将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+PD+CD>BD+PC,即AB+AC>BP+PC;
答案:BD　PC　BD+PC　BP+PC
(2)在△AMN中,AM+AN>MN,
在△MPB中,MP+MB>BP,
在△NPC中,NP+NC>PC,
将不等式左边、右边分别相加,得AM+AN+MB+MP+PN+NC>MP+NP+PB+PC,
即AB+AC>PB+PC.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二”

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