资源简介

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
课时目标
1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念和画法.(抽象能力、几何直观)
2.了解三角形重心的概念.(抽象能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的中线:如图,AD是△ABC的中线,则 = =BC;S△ABD=S△ACD=S△ABC.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 2.三角形的角平分线:如图,BD是△ABC的角平分线,则∠ABD= =∠ABC. 3.三角形的高:如图,AD是△ABC的高,则∠ADB= =90°.锐角三角形的三条高都在三角形的内部;直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边;钝角三角形有两条高在三角形的外部,两个垂足落在边的延长线上. 注意:三条高所在的直线交于一点. 如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线. (1)若BC=10,则BF= ; (2)若△ABC的面积为4 cm2,则△ABF的面积为 ; (3)若BC=10,AD=7,则△ABC的面积为 ; (4)若∠BAE=52°,则∠BAC= .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形三种重要线段的画法及识别(几何直观、模型观念)
【典例1】如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上一点,CF⊥AD,垂足为H.下列判断正确的是( )
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.CH是△ACD的边AD上的高
D.AH是△ABC的角平分线
举一反三
(2025·曲靖期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是边BC上的两点,BE=DE,AD平分∠CAE,下列说法不正确的是 ( )
A.AE是△ABD的中线
B.∠BAE=∠DAE=∠CAD
C.AD是△ACE的角平分线
D.AC是△ABE的高
重点2　与三角形中重要线段相关的计算(运算能力、几何直观)
【典例2】
(教材再开发·P9T4强化)如图,AF,AE,AD分别是△ABC的高、角平分线和中线,AC边上的高为BG,
[问题1]若AF=14,BD=10,BG=12.
(1)求△ABC的面积;(2)求AC的长.
[问题2]若AB=14,AC=22,则△ACD的周长比△ABD的周长多________.
[问题3]若△ACD和△ABD的周长之差为4,且AB与AC的和为20,求AB,AC的长.
技法点拨
解答与三角形面积有关问题的方法
(1)利用三角形的中线求面积时,掌握中线分成的两个小三角形的面积等于原三角形面积的一半.
(2)已知两边上的高及其中一边长,求相应另一边时,利用等面积法.
素养　思维提升　入境深探
　拓展应用
【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知:如图1,在△ABC中,点D是边BC上的中点,连接AD,求证:S△ABD=S△ACD.
拓展探究
(1)如图2,在△ABC中,点D是边BC上的中点,若S△ABC=6,则S△ABD=________;
(2)如图3,在△ABC中,点D是BC边上的点,且CD=2BD,求的值;
问题解决
(3)现有一块四边形土地ABCD(如图4),甲、乙两人要均分这块土地,请通过作图均分四边形ABCD的面积.
(要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行说明,可利用带刻度的直尺.)13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
课时目标
1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念和画法.(抽象能力、几何直观)
2.了解三角形重心的概念.(抽象能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的中线:如图,AD是△ABC的中线,则　BD　=　CD　=BC;S△ABD=S△ACD=S△ABC.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 2.三角形的角平分线:如图,BD是△ABC的角平分线,则∠ABD=　∠CBD　=∠ABC. 3.三角形的高:如图,AD是△ABC的高,则∠ADB=　∠ADC　=90°.锐角三角形的三条高都在三角形的内部;直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边;钝角三角形有两条高在三角形的外部,两个垂足落在边的延长线上. 注意:三条高所在的直线交于一点. 如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线. (1)若BC=10,则BF=　5　; (2)若△ABC的面积为4 cm2,则△ABF的面积为　2 cm2　; (3)若BC=10,AD=7,则△ABC的面积为　35　; (4)若∠BAE=52°,则∠BAC=　104°　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形三种重要线段的画法及识别(几何直观、模型观念)
【典例1】如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上一点,CF⊥AD,垂足为H.下列判断正确的是(C)
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.CH是△ACD的边AD上的高
D.AH是△ABC的角平分线
举一反三
(2025·曲靖期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是边BC上的两点,BE=DE,AD平分∠CAE,下列说法不正确的是 (B)
A.AE是△ABD的中线
B.∠BAE=∠DAE=∠CAD
C.AD是△ACE的角平分线
D.AC是△ABE的高
重点2　与三角形中重要线段相关的计算(运算能力、几何直观)
【典例2】
(教材再开发·P9T4强化)如图,AF,AE,AD分别是△ABC的高、角平分线和中线,AC边上的高为BG,
[问题1]若AF=14,BD=10,BG=12.
(1)求△ABC的面积;(2)求AC的长.
[问题2]若AB=14,AC=22,则△ACD的周长比△ABD的周长多________.
[问题3]若△ACD和△ABD的周长之差为4,且AB与AC的和为20,求AB,AC的长.
[问题1]
【解析】(1)∵AD为△ABC的中线,
∴BC=2BD=20,
S△ABC=BC·AF=×20×14=140.
(2)∵S△ABC=AC·BG=140,BG=12,
∴AC=.
[问题2]
【解析】△ACD的周长为L1=AC+CD+AD,△ABD的周长为L2=AB+BD+AD,∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,
∴L1-L2=AC-AB=22-14=8,
∴△ACD的周长比△ABD的周长多8.
答案:8
[问题3]
【解析】∵AD是△ABC中BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ACD的周长-△ABD的周长=(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB=4,
即AC-AB=4①,
又AC+AB=20②,
①+②得,2AC=24,解得AC=12,
②-①得,2AB=16,
解得AB=8.
技法点拨
解答与三角形面积有关问题的方法
(1)利用三角形的中线求面积时,掌握中线分成的两个小三角形的面积等于原三角形面积的一半.
(2)已知两边上的高及其中一边长,求相应另一边时,利用等面积法.
素养　思维提升　入境深探
　拓展应用
【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知:如图1,在△ABC中,点D是边BC上的中点,连接AD,求证:S△ABD=S△ACD.
证明:过点A作AE⊥BC于E,
∵点D是边BC上的中点,
∴BD=CD,
∵S△ABD=BD·AE,S△ACD=CD·AE,
∴S△ABD=S△ACD.
拓展探究
(1)如图2,在△ABC中,点D是边BC上的中点,若S△ABC=6,则S△ABD=________;
(2)如图3,在△ABC中,点D是BC边上的点,且CD=2BD,求的值;
问题解决
(3)现有一块四边形土地ABCD(如图4),甲、乙两人要均分这块土地,请通过作图均分四边形ABCD的面积.
(要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行说明,可利用带刻度的直尺.)
【解析】(1)∵点D是边BC上的中点,
∴S△ABD=S△ACD,
∴S△ABD=S△ABC=×6=3.
答案:3
(2)如图,取CD的中点E,连接AE,则CE=DE,
∴S△ACE=S△ADE;
∵CD=2BD,
∴DE=BD=CE,
∴S△ADE=S△ABD,
∴S△ACE=S△ADE=S△ABD,∴=.
(3)如图,连接BD,取BD中点E,连接AE,CE,
则S△ADE=S△ABE,S△CDE=S△CBE,∴S△ADE+S△CDE=S△ABE+S△CBE,即S四边形ADCE=S四边形ABCE,
∴四边形ABCD被平均分为两份.(或连接AC,取AC中点E,连接BE,DE.)
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三”

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