资源简介

13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
课时目标
1.探索并证明三角形的内角和定理,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.探索并证明直角三角形的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的内角和定理 文字语言:三角形的内角和等于　180°　. 符号语言:如图,∠A+∠B+∠C=　180°　. 1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为(A) A.60° B.50° C.40° D.30°
2.直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角　互余　. (2)直角三角形的判定:有两个角　互余　的三角形是直角三角形. 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E,D分别在边AC,AB上,∠A=40°,若∠1=∠B,则△ADE是　直角　三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形的内角和(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P16T4拓展)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AE是边BC上的高.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)求证:∠DAE=(∠C-∠B).
【解析】(1)在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=∠BAC=30°.
在△ADC中,∠ADC=180°-∠C-∠DAC=80°.
在△ADE中,∠DAE=180°-∠ADC-∠AED=10°.
(2)∵∠DAE=180°-∠ADC-∠AED
=180°-∠ADC-90°
=90°-∠ADC
=90°-(180°-∠C-∠DAC)
=90°-(180°-∠C-∠BAC)
=90°-[180°-∠C-(180°-∠B-∠C)]
=(∠C-∠B).
∴∠DAE=(∠C-∠B).
举一反三
如图,在△ABC中,∠A=26°,∠ABC=120°,CD是△ABC的角平分线,CE⊥AB交AB的延长线于点E,求∠DCE的度数.
【解析】在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=26°,∠ABC=120°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-26°-120°=34°,∵CD是△ABC的角平分线,
∴∠ACD=∠ACB=×34°=17°,
∵CE⊥AB,∴∠E=90°,
∵在△AEC中,∠A+∠E+∠ACE=180°,
∴∠ACE=180°-∠A-∠E=180°-26°-90°=64°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=64°-17°=47°,∴∠DCE的度数为47°.
重点2　直角三角形的判定和性质(模型观念、推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P17T10拓展)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,且∠CAD=∠CBD,求证:△ABD是直角三角形.
【证明】在Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∵∠CAD=∠CBD,∴∠ABD=∠CAD,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴△ABD是直角三角形.
举一反三
在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则∠A的度数是 (B)
A.36° B.45° C.72° D.68°
重点3　三角形内角和的应用(几何直观、应用意识)
【典例3】小明与同学一起去郊游,看到一棵大树斜靠在一小坡上,他借来测角仪和卷尺.如图,他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°,即∠ACB=30°,沿着CB方向向大树行进到点D,测得A的仰角为45°,即∠ADB=45°,又测得树AB的倾斜角∠1=75°.请利用他测出的角的度数,求∠CAD和∠BAD的度数.
【解析】∵∠ADB=45°,∴∠ADC=135°,
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-135°-30°=15°.
∵∠1=75°,∴∠ABD=105°,
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-45°-105°=30°.
举一反三
(2025·重庆期中)如图,B处在A处的南偏西30°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的北偏东80°方向,则∠ACB的度数是(C)
A.60° B.70° C.80° D.90°
素养　思维提升　入境深探
开放探索
新定义:在△ABC中,若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则△ABC称为“n倍角三角形”.例如,在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,则∠C=30°,因为∠A最大,∠C最小,且∠A=3∠C,所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△GEF中,若∠G=20°,∠E=60°,则∠F=________,△GEF为“________倍角三角形”.
(2)如图,在△ABC中,∠C=44°,∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D.
①求∠ADB的度数.
②△ABD是否能成为“4倍角三角形” 若能,请求出∠ABD的度数;若不能,请说明理由.
【解析】(1)在△GEF中,∠E=60°,∠G=20°,则∠F=180°-∠E-∠G=100°,
∴∠F最大,∠G最小,且∠F=5∠G,
∴△GEF为“5倍角三角形”.
答案:100°　5
(2)①∵∠C=44°,
∴∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°,
∵∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D,
∴∠DAB=∠BAC,∠DBA=∠ABC,
∴∠DAB+∠DBA=(∠BAC+∠ABC)=×136°=68°,∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)=180°-68°=112°.
②△ABD是“4倍角三角形”,理由如下:假设△ABD为“4倍角三角形”,
∴∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD,
当∠ADB=4∠ABD时,∠ABD=28°;
当∠ADB=4∠BAD时,∠BAD=28°,则∠ABD=180°-112°-28°=40°.
综上所述,△ABD是“4倍角三角形”,∠ABD的度数为28°或40°.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 四”13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
课时目标
1.探索并证明三角形的内角和定理,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.探索并证明直角三角形的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形的内角和定理 文字语言:三角形的内角和等于 . 符号语言:如图,∠A+∠B+∠C= . 1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为( ) A.60° B.50° C.40° D.30°
2.直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角 . (2)直角三角形的判定:有两个角 的三角形是直角三角形. 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E,D分别在边AC,AB上,∠A=40°,若∠1=∠B,则△ADE是 三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)
重点　典例研析　启思凝智
重点1　三角形的内角和(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P16T4拓展)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AE是边BC上的高.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)求证:∠DAE=(∠C-∠B).
举一反三
如图,在△ABC中,∠A=26°,∠ABC=120°,CD是△ABC的角平分线,CE⊥AB交AB的延长线于点E,求∠DCE的度数.
重点2　直角三角形的判定和性质(模型观念、推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P17T10拓展)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,且∠CAD=∠CBD,求证:△ABD是直角三角形.
举一反三
在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则∠A的度数是 ( )
A.36° B.45° C.72° D.68°
重点3　三角形内角和的应用(几何直观、应用意识)
【典例3】小明与同学一起去郊游,看到一棵大树斜靠在一小坡上,他借来测角仪和卷尺.如图,他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°,即∠ACB=30°,沿着CB方向向大树行进到点D,测得A的仰角为45°,即∠ADB=45°,又测得树AB的倾斜角∠1=75°.请利用他测出的角的度数,求∠CAD和∠BAD的度数.
举一反三
(2025·重庆期中)如图,B处在A处的南偏西30°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的北偏东80°方向,则∠ACB的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
素养　思维提升　入境深探
开放探索
新定义:在△ABC中,若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则△ABC称为“n倍角三角形”.例如,在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,则∠C=30°,因为∠A最大,∠C最小,且∠A=3∠C,所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△GEF中,若∠G=20°,∠E=60°,则∠F=________,△GEF为“________倍角三角形”.
(2)如图,在△ABC中,∠C=44°,∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D.
①求∠ADB的度数.
②△ABD是否能成为“4倍角三角形” 若能,请求出∠ABD的度数;若不能,请说明理由.

展开更多......

收起↑