资源简介

14.2　三角形全等的判定
第3课时
课时目标
1.探索用“SSS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.已知三边作三角形.(几何直观、应用意识)
3.选择合适的方法证明三角形全等.(几何直观、模型观念、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(边边边) 图示文字语言符号语言 　三边分别相等　的两个三角形全等(可简写为“边边边”或“SSS”)
2.尺规作图 已知三边作三角形. 3.一般三角形全等的判定方法有:　SSS　,　SAS　, 　ASA　,　AAS　 1.如图,AD是△ABC的中线,AB=AC,∠BAD=35°,则∠BAC=　70　°. 2.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,要使△ABF≌△DCE,应添加的条件是　∠B=∠C(答案不唯一)　.(只需要写出一个条件)
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“SSS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P45习题T13·2024内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】 (1)∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
举一反三
1.如图,已知AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAC=23°,则∠BAD的度数是 (C)
A.30° B.60° C.46° D.32°
2.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,AC交BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠ACB=50°,则∠AFB=　100　°.
重点2　选择合适的方法证明三角形全等
【典例2】(教材再开发·P59T4拓展)(2025·烟台期中)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BAC=∠BDE,AC=DE=DC.
(1)求证:△ABC≌△DBE;
(2)若∠ACD=78°,求∠BED的度数.
【自主解答】(1)∵∠DBA=∠CBE,
∴∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE,
即∠DBE=∠ABC,
在△ABC和△DBE中,,
∴△ABC≌△DBE(AAS).
(2)∵△ABC≌△DBE,
∴BD=BA,∠BCA=∠BED,
在△DBC和△ABC中,,
∴△DBC≌△ABC(SSS),
∴∠BCD=∠BCA=∠ACD,
∵∠ACD=78°,
∴∠BCA=39°,
∴∠BED=∠BCA=39°.
举一反三
1.如图,△ABC和△BCD的边AC,BD交于点O,OC=OB,添加一个条件,不能证明△AOB和△DOC全等的是 (D)
A.∠ABO=∠DCO B.∠A=∠D
C.AO=DO D.AB=DC
2.如图,在四边形ACBD中,E是对角线AB上一点,AC=AD,BC=BD,求证:△AEC≌△AED.
【解析】在△ABC和△ABD中,,
∴△ABC≌△ABD(SSS),∴∠CAB=∠DAB,
在△AEC和△AED中,,
∴△AEC≌△AED(SAS).
素养　思维提升　入境深探
链接生活
纸伞与全等三角形
　　我国的纸伞工艺十分巧妙.如图①,伞不论张开还是缩拢,伞柄AI始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAD,从而保证伞圈C能沿着伞柄滑动.小明受此启发设计了一个“简易平分角仪器”,如图②,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,则AE为∠PRQ的平分线.
(1)如图②,试说明这个“简易平分角仪器”的制作原理;
(2)小彬也想画∠AOB的平分线,请你帮小彬选择一种工具,并设计画∠AOB平分线的方案.要求:在图③中画出示意图,简要叙述操作步骤,并说明方案可行的理由.
【解析】(1)∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC.
(2)方案一:选一把刻度尺画∠AOB的平分线,具体作法如下:
①如图,利用刻度尺在∠AOB的两边上,分别取点C,D,使OD=OC;
②连接CD,利用刻度尺画出CD的中点E;
③画射线OE.则射线OE为∠AOB的平分线.
理由:由作图可知:OC=OD,CE=DE,OE=OE,
∴△OCE≌△ODE(SSS),
∴∠COE=∠DOE,
即射线OE为∠AOB的平分线.
方案二:选一把角尺画∠AOB的平分线,具体作法如下:
如图,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.
理由:根据题意得:CM=CN,
在△COM和△CON中,
∵CM=CN,OM=ON,OC=OC,
∴△COM≌△CON(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
即射线OC为∠AOB的平分线.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 九”14.2　三角形全等的判定
第4课时
课时目标
掌握用尺规作一个角等于已知角,并能综合应用前面所学习的知识进行有关的作图.(抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.作一个角等于已知角 2.作一个角等于已知角的应用 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,可说明△COD≌△C'O'D',进而得出∠AOB=∠A'O'B'的依据是 . 2.如图,过直线l1外一点P作它的平行线l2, 其作图依据是 ( ) A.两直线平行,同位角相等 B.两直线平行,内错角相等 C.同位角相等,两直线平行 D.内错角相等,两直线平行
重点　典例研析　启思凝智
重点1　作角的和、差(几何直观、应用意识)
【典例1】如图,已知∠α,∠β, 且∠α>∠β, 作∠DEF,使∠DEF=∠α-∠β.
举一反三
1.如图,已知∠AOB与∠EO'F,分别以O,O'为圆心,以同样长为半径画弧,分别交OA,OB于点A',B',交O'E,O'F于点E',F'.以B'为圆心,以E'F'长为半径画弧,交弧A'B'于点H.下列结论不正确的是 ( )
A.∠AOB=2∠EO'F
B.∠AOB>∠EO'F
C.∠HOB=∠EO'F
D.∠AOH=∠AOB-∠EO'F
2.如图,∠α=35°,观察尺规作图的痕迹,∠AOB的度数为 .
重点2　作已知直线的平行线(几何直观、应用意识)
【典例2】
(教材再开发·P40例4拓展)如图,P是∠ABC内一点,按要求完成下列问题
(1)借助三角尺,过点P作PD⊥AB,垂足为D;
(2)借助圆规和无刻度的直尺,过点P作BC的平行线,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)比较线段PD和PE的长短,并说明理由.
举一反三
如图,已知∠A=60°,∠B=45°,延长BC至点D.
(1)过点C作CE∥AB(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)求∠ACD的度数.
技法点拨
作已知直线的平行线的两个关键
1.分析题意,转化为过哪个点作一个角等于已知角;
2.作一个角等于已知角时分清是作内错角还是同位角.
重点3　作三角形(几何直观、应用意识)
【典例3】(教材再开发·P40例5拓展)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
一个缺角的三角形残片如图所示,请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形.并说出作图依据.
举一反三
1.如图,已知∠A和一条长度为a的线段,作一个以∠A为底角,a为腰长的等腰三角形的方法是:①连接FG;②以点F为圆心,a的长为半径画弧,交射线DM于点G;③在∠A的两边上截取AB=a,AC=a;④画射线DM,以点D为圆心,a的长为半径画弧,在射线DM上截取DE,并以点E为圆心,BC的长为半径画弧,两弧交于点F.以上画法正确的顺序是 ( )
A.③④①② B.④③②①
C.③④②① D.④③①②
2.如图,已知△ABC,请根据下列要求进行尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.求作△DEF,使AB=DE,∠A=∠E,∠C=∠F.14.2　三角形全等的判定
第1课时
课时目标
1.探索用“SAS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.探究如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等,那么两个三角形不一定全等.(几何直观、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(边角边) 图示文字语言符号语言 两边和它们的 分别相等的两个三角形全等(可简写为“边角边”或 “ ”) 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△ (SAS)
2.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 1.如图所示,若AC=DB,∠1=∠2,则可判定△ABC≌△DCB,这是根据 . 2.如图,把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处,和第三根木棍BM摆出△ABC,木棍AB固定,木棍AC绕A转动,得到△ABD,这个实验说明 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“SAS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
举一反三
(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
技法点拨
应用“SAS”判定两个三角形全等的三点注意
1.对应:“SAS”包含“边”“角”两种元素,一定要注意元素的“对应”关系.
2.顺序:在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件,绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误,因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等.
3.转化:若题干中的线段条件“所给非所需”,一般要利用等式的性质进行加减运算,实现形上的“接”或“截”.
重点2　“SAS”判定定理的应用(几何直观、模型观念)
【典例2】(2025·珠海期末)花瓶一般瓶口较小,内部难以直接测量.如图,为测量花瓶内底的宽,可以将两根木条AC,BD的中点重合(即AO=CO,BO=DO),然后将它们的一端同时放入花瓶内底,再充分张开.此时,只需测量点________ 与点 ________之间的距离,即为该花瓶内底的宽,为什么
举一反三
(2025·石家庄期中)情境:如图1,为了测量池塘两端A,B之间的距离,在地面上选取可以直接到达点A和点B的点C,连接AC,BC,再在地面上选取可以直接到达点B和点C的点D,连接DB,DC,使CB平分∠ACD,AC=DC(点A,B,C,D在同一平面内),此时测量出线段BD的长度便是池塘两端A,B之间的距离.
论证　(1)请你证明“情境”中的结论正确;
探究　(2)请你再设计一种测量池塘两端A,B之间距离的方案,并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形,可以借助刻度尺或圆规).
素养　思维提升　入境深探
火眼金睛(找错并纠正)
如图,AB∥DE,AB=DE,点C,F在AD上,AF=DC.求证:∠B=∠E.
【陷阱】 . 14.2　三角形全等的判定
第3课时
课时目标
1.探索用“SSS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.已知三边作三角形.(几何直观、应用意识)
3.选择合适的方法证明三角形全等.(几何直观、模型观念、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(边边边) 图示文字语言符号语言 的两个三角形全等(可简写为“边边边”或“SSS”)
2.尺规作图 已知三边作三角形. 3.一般三角形全等的判定方法有: , , , 1.如图,AD是△ABC的中线,AB=AC,∠BAD=35°,则∠BAC= °. 2.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,要使△ABF≌△DCE,应添加的条件是 .(只需要写出一个条件)
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“SSS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P45习题T13·2024内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
举一反三
1.如图,已知AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAC=23°,则∠BAD的度数是 ( )
A.30° B.60° C.46° D.32°
2.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,AC交BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠ACB=50°,则∠AFB= .
重点2　选择合适的方法证明三角形全等
【典例2】(教材再开发·P59T4拓展)(2025·烟台期中)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BAC=∠BDE,AC=DE=DC.
(1)求证:△ABC≌△DBE;
(2)若∠ACD=78°,求∠BED的度数.
举一反三
1.如图,△ABC和△BCD的边AC,BD交于点O,OC=OB,添加一个条件,不能证明△AOB和△DOC全等的是 ( )
A.∠ABO=∠DCO B.∠A=∠D
C.AO=DO D.AB=DC
2.如图,在四边形ACBD中,E是对角线AB上一点,AC=AD,BC=BD,求证:△AEC≌△AED.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
纸伞与全等三角形
　　我国的纸伞工艺十分巧妙.如图①,伞不论张开还是缩拢,伞柄AI始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAD,从而保证伞圈C能沿着伞柄滑动.小明受此启发设计了一个“简易平分角仪器”,如图②,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,则AE为∠PRQ的平分线.
(1)如图②,试说明这个“简易平分角仪器”的制作原理;
(2)小彬也想画∠AOB的平分线,请你帮小彬选择一种工具,并设计画∠AOB平分线的方案.要求:在图③中画出示意图,简要叙述操作步骤,并说明方案可行的理由.14.2　三角形全等的判定
第1课时
课时目标
1.探索用“SAS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.探究如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等,那么两个三角形不一定全等.(几何直观、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(边角边) 图示文字语言符号语言 两边和它们的　夹角　分别相等的两个三角形全等(可简写为“边角边”或 “　SAS　”) 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△ 　DEF　(SAS)
2.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 1.如图所示,若AC=DB,∠1=∠2,则可判定△ABC≌△DCB,这是根据　SAS　. 2.如图,把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处,和第三根木棍BM摆出△ABC,木棍AB固定,木棍AC绕A转动,得到△ABD,这个实验说明　有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“SAS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,,
∴△ABC≌△AED(SAS).
举一反三
(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
【证明】∵点E为边AC的中点,
∴AE=EC.
∵DE=EF,∠AED=∠CEF,
∴△AED≌△CEF(SAS),
∴∠DAE=∠FCE,∴CF∥AB.
技法点拨
应用“SAS”判定两个三角形全等的三点注意
1.对应:“SAS”包含“边”“角”两种元素,一定要注意元素的“对应”关系.
2.顺序:在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件,绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误,因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等.
3.转化:若题干中的线段条件“所给非所需”,一般要利用等式的性质进行加减运算,实现形上的“接”或“截”.
重点2　“SAS”判定定理的应用(几何直观、模型观念)
【典例2】(2025·珠海期末)花瓶一般瓶口较小,内部难以直接测量.如图,为测量花瓶内底的宽,可以将两根木条AC,BD的中点重合(即AO=CO,BO=DO),然后将它们的一端同时放入花瓶内底,再充分张开.此时,只需测量点________ 与点 ________之间的距离,即为该花瓶内底的宽,为什么
【自主解答】
只需测量点D与点C之间的距离,即为该花瓶内底的宽,理由如下:如图,连接DC,
在△DCO和△BAO中,
∴△DCO≌△BAO(SAS),∴AB=CD,
故只需测量点D与点C之间的距离,即为该花瓶内底的宽.
举一反三
(2025·石家庄期中)情境:如图1,为了测量池塘两端A,B之间的距离,在地面上选取可以直接到达点A和点B的点C,连接AC,BC,再在地面上选取可以直接到达点B和点C的点D,连接DB,DC,使CB平分∠ACD,AC=DC(点A,B,C,D在同一平面内),此时测量出线段BD的长度便是池塘两端A,B之间的距离.
论证　(1)请你证明“情境”中的结论正确;
探究　(2)请你再设计一种测量池塘两端A,B之间距离的方案,并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形,可以借助刻度尺或圆规).
【解析】(1)∵CB平分∠ACD,
∴∠ACB=∠DCB,
在△ACB和△DCB中,,
∴△ACB≌△DCB(SAS),∴AB=BD.
(2)(合理即可)方案:如图,在地面上选取可以直接到达点A和点B的点O,连接AO并延长到点C,使OC=OA,连接BO并延长到点D,使OD=OB,连接CD,此时测量出线段CD的长度便是池塘两端A,B之间的距离.
作图:(可以尺规作图,也可以直尺作图)
理由:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.
素养　思维提升　入境深探
火眼金睛(找错并纠正)
如图,AB∥DE,AB=DE,点C,F在AD上,AF=DC.求证:∠B=∠E.
【陷阱】　全等条件中所列的对应边不是三角形的边　.
【正解】∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 七”14.2　三角形全等的判定
第5课时
课时目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.熟练应用全等的判定方法判定两个直角三角形全等.(推理能力、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.用“HL”判定两个直角三角形全等 图示文字语言符号语言 　斜边　和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“　HL　”)
2.判定直角三角形全等的方法 共五种,分别是:SSS,　SAS　,　ASA　,AAS,　HL　 1.如图,BD⊥AB,BD⊥CD,添加条件后能用“HL”判定△ABD≌△CDB的是 (A) A.AD=CB B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 2.下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是(D) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两锐角相等
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“HL”判定两个直角三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,四边形ABCD中,∠B=90°,连接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC上,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,若AB=AF.
求证:(1)∠DAC=∠FAB;
(2)DF=CE+EF;
【自主解答】(1)∵∠B=90°,AF⊥DE,
∴∠AFD=∠ABC=90°,
在Rt△ADF和Rt△ACB中,
∴ Rt△ADF≌Rt△ACB(HL),
∴∠DAF=∠CAB,∴∠DAF+∠FAC=∠CAB+∠FAC,
即∠DAC=∠FAB.
(2)连接AE,
∵∠B=90°,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠ABC=90°,
在Rt△AFE和Rt△ABE中,
∴ Rt△AFE≌Rt△ABE(HL),∴EF=EB,
由(1)知Rt△ADF≌Rt△ACB,∴DF=CB,
∴DF=CE+BE=CE+EF.
举一反三
如图,A,C,E三点在同一条直线上,∠ACB=∠E=90°,AB=AD,AE=CE+DE.
(1)求证:AC=DE.
(2)求∠BAD的度数.
【解析】(1)∵AE=CE+DE,AE=CE+AC,
∴AC=DE.
(2)在Rt△ABC和Rt△DAE中,
∵AB=DA,AC=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DAE(HL),
∴∠BAC=∠D,
∵∠DAE+∠D=90°,
∴∠DAE+∠BAC=90°,
∴∠BAD=90°.
重点2　直角三角形全等的判定(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P42例6拓展·2024镇江中考)如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD.
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB=________°.
【自主解答】(1)在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)∵∠DAB=70°,∠D=90°,
∴∠DBA=90°-70°=20°,
由(1)知△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA=20°.
答案:20
举一反三
1.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)若AC∥DB,且AC=BD,则△ACE≌△BDF,其根据是　AAS　;
(2)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,其根据是　SAS　;
(3)若AC=BD,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,其根据是　HL　.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B,C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧(如图所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
【解析】(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∵
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
∴∠DAB=∠ECA,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下:
同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
技法点拨
判定直角三角形方法的选取技巧
1.若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等,用“HL”判定.
2.若有一组锐角和斜边分别相等,用“AAS”判定.
3.若有一组锐角和一组直角边分别相等,
(1)直角边是锐角的对边,用“AAS”判定.
(2)直角边是锐角的邻边,用“ASA”判定.
4.若有两对直角边分别相等用“SAS”判定.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十一”14.2　三角形全等的判定
第2课时
课时目标
探索用“ASA”和“AAS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(角边角) 图示文字语言符号语言 两角和它们的　夹边　分别相等的两个三角形全等(可简写为“角边角”或“　ASA　”)
1.已知:如图,∠1=∠2,∠C=∠D,BC=BD,△ABD≌　△EBC　,依据是　ASA　.
2.三角形全等的判定(角角边) 图示文字语言符号语言 两角分别相等且其中一组等角的　对边　相等的两个三角形全等(可简写为“角角边”或 “　AAS　”)
注意:使用边边角不能证明两个三角形全等 2.如图,D,E是边BC上的两点,BD=CE,∠ADB=∠AEC,现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE,请你再添加一个条件:　∠BAD=∠CAE　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“ASA”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P45T15拓展)如图,点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在l的异侧,AB∥DE,∠A=∠D,测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=11 m,BF=3 m,求FC的长.
【自主解答】(1)∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF,
在△ABC与△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(ASA);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=FE,∴CE=BF=3 m,∵BE=11 m,
∴FC=BE-BF-CE=11-3-3=5(m).
举一反三
(2025·唐山期中)如图,已知AC=AB,∠B=∠C,∠EAB=∠DAC.请猜想BD与CE是否相等,并证明你的猜想.
【解析】BD=CE.
证明:∵∠EAB=∠DAC,
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,
∴∠EAC=∠DAB,
在△DAB和△EAC中,,
∴△DAB≌△EAC(ASA),
∴BD=CE.
重点2　用“AAS”判定三角形全等(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P43习题14.2T2拓展)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,且BE=CD,∠B=∠C,若AE=4,BD=3,求AC的长.
【自主解答】点D,E分别在线段AB,AC上,且BE=CD,∠B=∠C,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(AAS),∴AE=AD,AB=AC,
∵AE=4,BD=3,∴AD=4,
∴AB=AC=AD+BD=4+3=7,
∴AC的长为7.
举一反三
如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.
求证:(1)△ACD≌△BEC;
(2)AB=AD+BE.
【证明】(1)∵∠DCE=∠A,
∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE,
∴∠D=∠BCE,
在△ACD和△BEC中,,
∴△ACD≌△BEC(AAS);
(2)∵△ACD≌△BEC,
∴AD=BC,AC=BE,
∴BC+AC=AD+BE,∴AB=AD+BE.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
(1)学习中的数学:
如图1,线段AB∥CD,AC,BD相交于点E,E为AC的中点.求证:△ABE≌△CDE.
(2)生活中的数学:如图2,有一块不规则的土地ABCD,AB∥CD,点E,F分别在AB和CD上,EF为分割线,把土地分别分给了甲、乙二人,现经甲、乙二人协商,想把分割线EF变得最短,且保证甲、乙二人的土地面积不变,聪明的你能设计一种方案,解决这个问题吗
请给出你的方案,并证明方案的正确性.
【解析】(1)∵点E为AC的中点,∴AE=CE,
∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D.
在△ABE和△CDE中,,
∴△ABE≌△CDE(AAS);
(2)方案:如图,取EF的中点O,过点O作OM⊥AB于点M,延长MO交CD于点N,
线段MN为新的分割线.
理由:∵OM⊥AB,∴∠OME=90°.
∵AB∥CD,
∴∠MEO=∠NFO,∠ONF=∠OME=90°,
∴MN⊥CD,∵O为EF的中点,∴OE=OF,
在△OME和△ONF中,,
∴△OME≌△ONF(AAS),
∴S△OME=S△ONF,
∴甲分割出去的土地△ONF的面积等于补还给甲的土地△OME的面积,甲和乙的土地面积没有发生改变.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 八”14.2　三角形全等的判定
第5课时
课时目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.熟练应用全等的判定方法判定两个直角三角形全等.(推理能力、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.用“HL”判定两个直角三角形全等 图示文字语言符号语言 和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“ ”)
2.判定直角三角形全等的方法 共五种,分别是:SSS, , ,AAS, 1.如图,BD⊥AB,BD⊥CD,添加条件后能用“HL”判定△ABD≌△CDB的是 ( ) A.AD=CB B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 2.下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是( ) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两锐角相等
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“HL”判定两个直角三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,四边形ABCD中,∠B=90°,连接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC上,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,若AB=AF.
求证:(1)∠DAC=∠FAB;
(2)DF=CE+EF;
举一反三
如图,A,C,E三点在同一条直线上,∠ACB=∠E=90°,AB=AD,AE=CE+DE.
(1)求证:AC=DE.
(2)求∠BAD的度数.
重点2　直角三角形全等的判定(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P42例6拓展·2024镇江中考)如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD.
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB=________°.
举一反三
1.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)若AC∥DB,且AC=BD,则△ACE≌△BDF,其根据是 ;
(2)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,其根据是 ;
(3)若AC=BD,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,其根据是 .
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B,C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧(如图所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
技法点拨
判定直角三角形方法的选取技巧
1.若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等,用“HL”判定.
2.若有一组锐角和斜边分别相等,用“AAS”判定.
3.若有一组锐角和一组直角边分别相等,
(1)直角边是锐角的对边,用“AAS”判定.
(2)直角边是锐角的邻边,用“ASA”判定.
4.若有两对直角边分别相等用“SAS”判定.14.2　三角形全等的判定
第2课时
课时目标
探索用“ASA”和“AAS”证明三角形全等的方法,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.三角形全等的判定(角边角) 图示文字语言符号语言 两角和它们的 分别相等的两个三角形全等(可简写为“角边角”或“ ”)
1.已知:如图,∠1=∠2,∠C=∠D,BC=BD,△ABD≌ ,依据是 .
2.三角形全等的判定(角角边) 图示文字语言符号语言 两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等(可简写为“角角边”或 “ ”)
注意:使用边边角不能证明两个三角形全等 2.如图,D,E是边BC上的两点,BD=CE,∠ADB=∠AEC,现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE,请你再添加一个条件: .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用“ASA”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P45T15拓展)如图,点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在l的异侧,AB∥DE,∠A=∠D,测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=11 m,BF=3 m,求FC的长.
举一反三
(2025·唐山期中)如图,已知AC=AB,∠B=∠C,∠EAB=∠DAC.请猜想BD与CE是否相等,并证明你的猜想.
重点2　用“AAS”判定三角形全等(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P43习题14.2T2拓展)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,且BE=CD,∠B=∠C,若AE=4,BD=3,求AC的长.
举一反三
如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.
求证:(1)△ACD≌△BEC;
(2)AB=AD+BE.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
(1)学习中的数学:
如图1,线段AB∥CD,AC,BD相交于点E,E为AC的中点.求证:△ABE≌△CDE.
(2)生活中的数学:如图2,有一块不规则的土地ABCD,AB∥CD,点E,F分别在AB和CD上,EF为分割线,把土地分别分给了甲、乙二人,现经甲、乙二人协商,想把分割线EF变得最短,且保证甲、乙二人的土地面积不变,聪明的你能设计一种方案,解决这个问题吗
请给出你的方案,并证明方案的正确性.14.2　三角形全等的判定
第4课时
课时目标
掌握用尺规作一个角等于已知角,并能综合应用前面所学习的知识进行有关的作图.(抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.作一个角等于已知角 2.作一个角等于已知角的应用 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,可说明△COD≌△C'O'D',进而得出∠AOB=∠A'O'B'的依据是　SSS　. 2.如图,过直线l1外一点P作它的平行线l2, 其作图依据是 (D) A.两直线平行,同位角相等 B.两直线平行,内错角相等 C.同位角相等,两直线平行 D.内错角相等,两直线平行
重点　典例研析　启思凝智
重点1　作角的和、差(几何直观、应用意识)
【典例1】如图,已知∠α,∠β, 且∠α>∠β, 作∠DEF,使∠DEF=∠α-∠β.
【自主解答】如图,∠DEF为所求,
举一反三
1.如图,已知∠AOB与∠EO'F,分别以O,O'为圆心,以同样长为半径画弧,分别交OA,OB于点A',B',交O'E,O'F于点E',F'.以B'为圆心,以E'F'长为半径画弧,交弧A'B'于点H.下列结论不正确的是 (A)
A.∠AOB=2∠EO'F
B.∠AOB>∠EO'F
C.∠HOB=∠EO'F
D.∠AOH=∠AOB-∠EO'F
2.如图,∠α=35°,观察尺规作图的痕迹,∠AOB的度数为　70°　.
重点2　作已知直线的平行线(几何直观、应用意识)
【典例2】
(教材再开发·P40例4拓展)如图,P是∠ABC内一点,按要求完成下列问题
(1)借助三角尺,过点P作PD⊥AB,垂足为D;
(2)借助圆规和无刻度的直尺,过点P作BC的平行线,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)比较线段PD和PE的长短,并说明理由.
【自主解答】(1)如图所示,PD⊥AB,垂足为D.
(2)如图所示,PE∥BC,PE即为所求作.
(3)PE>PD.
理由:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
举一反三
如图,已知∠A=60°,∠B=45°,延长BC至点D.
(1)过点C作CE∥AB(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)求∠ACD的度数.
【解析】(1)如图所示,即为所求;
(2)∵CE∥AB,∠A=60°,∠B=45°,
∴∠ACE=∠A=60°,∠DCE=∠B=45°,
∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=105°.
技法点拨
作已知直线的平行线的两个关键
1.分析题意,转化为过哪个点作一个角等于已知角;
2.作一个角等于已知角时分清是作内错角还是同位角.
重点3　作三角形(几何直观、应用意识)
【典例3】(教材再开发·P40例5拓展)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
一个缺角的三角形残片如图所示,请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形.并说出作图依据.
【解析】如图所示,△CDE即为所求.
根据作图可得CD=AB,∠ECD=∠A,∠EDC=∠B,
∴△CDE是和原三角形全等的三角形.
依据的是ASA.
举一反三
1.如图,已知∠A和一条长度为a的线段,作一个以∠A为底角,a为腰长的等腰三角形的方法是:①连接FG;②以点F为圆心,a的长为半径画弧,交射线DM于点G;③在∠A的两边上截取AB=a,AC=a;④画射线DM,以点D为圆心,a的长为半径画弧,在射线DM上截取DE,并以点E为圆心,BC的长为半径画弧,两弧交于点F.以上画法正确的顺序是 (C)
A.③④①② B.④③②①
C.③④②① D.④③①②
2.如图,已知△ABC,请根据下列要求进行尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.求作△DEF,使AB=DE,∠A=∠E,∠C=∠F.
【解析】(1)如图,CD即为小明船只的航线,
由作图可知,∠BAC=∠DCE,
∴AB∥CD ,
∴CD为所求的航线;
(2)如图,设两河岸直线l,直线a之间的距离为d,过点A作AN⊥l于点A,在AN上取AN=d,过N作MN⊥AN于点N,交BA的延长线于点M,则AM=AB,测量出AM的长即得AB的长,
理由如下:
如图,过点B作BP⊥l于点P,则BP=d,
由作图可知AN⊥l,AN⊥MN,AN=d,
∴AN=BP,∠ANM=∠BPA=90°,∠BPA=∠NAP=90°,
∴AN∥BP ,∴∠MAN=∠ABP,
∴△MAN≌△ABP(ASA),
∴AB=AM,
∴测量AM的长即可得AB的长.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十”

展开更多......

收起↑