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14.3　角的平分线
课时目标
1.探索并理解角平分线的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.会尺规作已知角的平分线.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.角平分线的性质和判定 内容性质判定文字 语言角的平分线上的点到角两边的距离 角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上 符号 语言∵OC平分∠AOC,PE⊥OB,PD⊥OA,∴PD=PE∵PE⊥OB,PD⊥OA,PD=PE, ∴OC平分∠AOC图形
1.(1)如图,C是∠AOB的平分线上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,则下列结论不一定成立的是 ( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.OC=CD+CE B.∠OCD=∠OCE C.OD=OE D.CD=CE (2)如图,在△ABC中,D到AB和AC距离相等,∠B=40°,∠C=60°,则∠BAD的度数为 .
2.尺规作图 作已知角的平分线 2.如图,用尺规作图:作∠AOB的平分线OM的依据是 (填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”).
重点　典例研析　启思凝智
重点1　角平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P49探究拓展)已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
举一反三
如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,点E,D分别为垂足,CF=CB.求证:BE=FD.
重点2　角平分线的判定(几何直观、模型观念)
【典例2】 (教材再开发·P52T1变式)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
举一反三
如图,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D.
求证:AD平分∠BAC.
素养　思维提升　入境深探
溯根求源
教材呈现:下面是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容
我们知道,角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来,交换这个性质的题设和结论,得到的命题还成立吗 也就是说,到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗 通过判定两个三角形全等,可以得到:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(1)定理证明:请根据教材中的分析,结合图①,补充完整该证明过程.
已知:PD⊥AO,PE⊥BO,垂足分别是D,E,且PD=PE.
求证:OC平分∠AOB.
(2)定理应用:如图②,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.14.3　角的平分线
课时目标
1.探索并理解角平分线的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力)
2.会尺规作已知角的平分线.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.角平分线的性质和判定 内容性质判定文字 语言角的平分线上的点到角两边的距离　相等　 角的内部到角两边距离　相等　的点在角的平分线上 符号 语言∵OC平分∠AOC,PE⊥OB,PD⊥OA,∴PD=PE∵PE⊥OB,PD⊥OA,PD=PE, ∴OC平分∠AOC图形
1.(1)如图,C是∠AOB的平分线上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,则下列结论不一定成立的是 (A) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.OC=CD+CE B.∠OCD=∠OCE C.OD=OE D.CD=CE (2)如图,在△ABC中,D到AB和AC距离相等,∠B=40°,∠C=60°,则∠BAD的度数为　40°　.
2.尺规作图 作已知角的平分线 2.如图,用尺规作图:作∠AOB的平分线OM的依据是　SSS　(填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”).
重点　典例研析　启思凝智
重点1　角平分线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P49探究拓展)已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
【解析】∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
举一反三
如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,点E,D分别为垂足,CF=CB.求证:BE=FD.
【证明】∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE.
在Rt△CBE和Rt△CFD中,
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL),∴BE=FD.
重点2　角平分线的判定(几何直观、模型观念)
【典例2】 (教材再开发·P52T1变式)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
【自主解答】∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.
举一反三
如图,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D.
求证:AD平分∠BAC.
【证明】∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF.
又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,
∴AD平分∠BAC.
素养　思维提升　入境深探
溯根求源
教材呈现:下面是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容
我们知道,角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来,交换这个性质的题设和结论,得到的命题还成立吗 也就是说,到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗 通过判定两个三角形全等,可以得到:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(1)定理证明:请根据教材中的分析,结合图①,补充完整该证明过程.
已知:PD⊥AO,PE⊥BO,垂足分别是D,E,且PD=PE.
求证:OC平分∠AOB.
证明过程:∵PD⊥AO,PE⊥BO,∴∠PDO=∠PEO=90°.……(未写完)
(2)定理应用:如图②,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.
【证明】(1)在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠DOP=∠EOP,
∴OC平分∠AOB.
(2)如图,过点E作EF⊥AD于F,
∵DE平分∠ADC,∠C=90°,∴EC=EF,
∵E是BC的中点,∴EC=EB,∴EF=EB.
又∵∠B=90°,∴EB⊥AB,
∵EF⊥AD,∴AE是∠DAB的平分线.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十二”

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