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15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时
课时目标
1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和逆定理,并能熟练地进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观)
2.写出一个命题的逆命题,并能判断其真假.(抽象能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.线段的垂直平分线的性质和判定 图示文字 语言线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　相等　 与线段两个端点距离　相等　的点在这条线段的垂直平分线上 符号 语言∵PC⊥AB,AC=BC, ∴PA=　PB　 ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上
1.(1)如图,点P是△ABC内的一点,若PA=PC,则(C) A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AC的垂直平分线上 D.点P在边AB的垂直平分线上 (2)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上一点.若PA=4,则线段PB的长度为　4　.
2.(1)互逆命题:两个命题的　题设　、　结论　正好相反,具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的　逆命题　. (2)互逆定理:如果一个定理的　逆命题　经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的　逆定理　. 2.(1)下列定理中,没有逆定理的是(D) A.直角三角形的两锐角互余 B.同位角相等,两直线平行 C.有两边相等的三角形是等腰三角形 D.全等三角形的对应角相等 (2)命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是　能被2整除的数一定是偶数　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　线段垂直平分线的性质与判定(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P70T4拓展)如图,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE.
(1)求证:AB=EC;
(2)若△ABC的周长为20 cm,AC=9 cm,求DC的长.
【自主解答】(1)∵EF垂直平分AC,
∴AE=EC.∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,∴AB=AE,∴AB=EC.
(2)∵△ABC的周长为20 cm,
∴AB+BC+AC=20 cm.
∵AC=9 cm,
∴AB+BC=11 cm.
∵AB=EC,BD=DE,
∴DC=DE+EC
=(AB+BC)
=5.5 cm.
举一反三
1.如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是(C)
A.小明的说法对
B.小亮的说法对,可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮的说法对,可添条件为“PO⊥AB”
D.两人的说法都不对
2.如图,在△ABC中,AB=5,BC=10,AC=9,MN为边BC的垂直平分线,点D为直线MN上一动点,则△ABD的周长的最小值为(C)
A.10 B.12 C.14 D.15
重点2　互逆命题(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P67T3拓展)写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例进行说明.
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)末位数是0或5的整数能被5整除.
(3)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形,那么这条线段是这个三角形的中线;
(4)对顶角是有公共顶点且相等的角.
【自主解答】(1)逆命题:在同一平面内,如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线.判断:真命题.
(2)逆命题:能被5整除的整数,其末位数是0或5.
判断:真命题.
(3)逆命题:如果一条线段是一个三角形的中线,那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形.
判断:真命题.
(4)逆命题:如果两个角有公共顶点且相等,那么这两个角是对顶角.
判断:假命题.
反例如下:如图,∠1=∠2,且共顶点O,但这两个角不是对顶角.
举一反三
1.命题“等角的余角相等”的条件为　如果两个角与另外两个相等的角互余　,结论为　这两个角相等　;它的逆命题为　如果两个角相等,那么这两个角与另外两个相等的角互余　,逆命题是　假　命题(填“真”或“假”).
2.按要求解答下列各小题.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角;
②如果a+b>0,那么ab>0;
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理.
【解析】(1)①“相等的角是内错角”的逆命题:如果两个角是内错角,那么这两个角相等.
②“如果a+b>0,那么ab>0”的逆命题:如果ab>0,那么a+b>0.
(2)因为定理首先是真命题,而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题,故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆定理.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十四”15.1.2　线段的垂直平分线
第2课时
课时目标
1.会用尺规作线段的垂直平分线,并能作出简单图形的对称轴.(抽象能力、几何直观)
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.作线段的垂直平分线 1.已知:线段AB,如图,求作:线段AB的垂直平分线. 【解析】作图如图: 直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线.
2.过一点作已知直线的垂线 2.观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的　高线　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　作线段垂直平分线(模型观念)
【典例1】已知A村和B村坐落在两相交河流流域内,如图所示.A,B两村计划合建一座引水站P,要求所建引水站P必须满足下列条件:①到两条河流岸边的距离相等;②到A,B两村的距离也相等.请你通过作图确定引水站P的位置.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点P即为所求.
举一反三
1.通过如下尺规作图,能得到BD=AD的是(C)
2.(2025·柳州质检)如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E,若AE=4 cm,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的周长为　22　cm.
3.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,在BC上求作一点E,使DE+BE=BC.(尺规作图,不要求写作法,保留作图痕迹)
【解析】如图,点E即为所求,
理由:由作图知MN是CD的垂直平分线,∴DE=CE,
∴BC=BE+CE=BE+DE.
重点2　图形的对称轴(应用意识)
【典例2】(教材再开发·P68作五角星的对称轴拓展)如图,△ABC与△DEF关于某直线对称,请画出它们的对称轴.
【解析】连接BE,画出BE的垂直平分线,即为所求的对称轴,如图所示.
举一反三
1.如图,在△ABC中,AB=AC,求作该三角形的对称轴.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】作对称轴如图所示.
2.如图,△ABC和△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺在图①和图②中,分别作出直线l.
【解析】图①过AC,DF的交点M和BC与EF的交点N作直线即为对称轴l;图②中,延长两组对应边得到两个交点M,N,然后过这两点作直线即为对称轴直线l.如图所示.
技法点拨
作对称轴的“三字诀”
1.找:无论是作成轴对称的两个图形的对称轴,还是作轴对称图形的对称轴,其关键点都是找出图形中的任意一对对称点.
2.连:连接这对对称点.
3.作:作所连线段的垂直平分线,该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴.
重点3　作垂线(模型观念)
【典例3】(教材再开发·P68例题拓展)如图,已知△ABC.
(1)按要求作图:
①作出△ABC的角平分线AD;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F;
(2)在(1)的基础上,若△ABC的面积是21,AB=8,DF=3,求AC的长.
【解析】(1)①如图,AD即为所求;
②如图,DE,DF即为所求;
(2)由(1)知DE=DF=3,∵AB=8,
∴S△ABD=AB·DE=12,
∴S△ADC=S△ABC-S△ABD=9,
∴AC·DF=9,即AC=9,
∴AC=6.
举一反三
1.如图,C,E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE的长为半径画弧交直线l于A,B两点,再分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,CD交直线l于点F,则下列结论不一定正确的是(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.CD=CA B.CD⊥直线l
C.AF=BF D.CD平分线段AB
2.如图,在△ABC中,∠B=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为　50°　.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
如图,为一家餐馆的平面区域示意图,AB,CF为走廊通道,BC为顾客用餐区域,其中∠B=∠C=90°.为了提高配菜及送餐效率,需规划一条直线型的机器人通道AD(其中点D在通道CF上),并在通道AD上设置一个机器人送餐停靠点G,使得机器人从点G出发,分别沿送餐路线G→A→B与G→D→C送至接餐点B,C的路程相等,且都等于通道AD的长度.求作通道AD和机器人送餐停靠点G.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
【解析】AD即为所求通道,点G即为所求停靠点,如图所示:
延长AB,交DQ于点R,
根据作图可知:CQ=BQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠RBQ=180°-90°=90°,
∴∠C=∠RBQ=90°.
∵∠BQR=∠CQD,
∴△BQR≌△CQD(ASA),
∴DQ=RQ,CD=BR.
∵AQ⊥DQ,
∴AQ垂直平分DR,
∴AD=AR.
∵AG=CD,
∴AG=CD=BR,
∴AG+AB=AB+BR=AR=AD.
∵DG+DC=DG+AG=AD,
∴AG+AB=DG+DC=AD.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十五”15.1.2　线段的垂直平分线
第2课时
课时目标
1.会用尺规作线段的垂直平分线,并能作出简单图形的对称轴.(抽象能力、几何直观)
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.作线段的垂直平分线 1.已知:线段AB,如图,求作:线段AB的垂直平分线.
2.过一点作已知直线的垂线 2.观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　作线段垂直平分线(模型观念)
【典例1】已知A村和B村坐落在两相交河流流域内,如图所示.A,B两村计划合建一座引水站P,要求所建引水站P必须满足下列条件:①到两条河流岸边的距离相等;②到A,B两村的距离也相等.请你通过作图确定引水站P的位置.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
举一反三
1.通过如下尺规作图,能得到BD=AD的是( )
2.(2025·柳州质检)如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E,若AE=4 cm,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的周长为 cm.
3.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,在BC上求作一点E,使DE+BE=BC.(尺规作图,不要求写作法,保留作图痕迹)
重点2　图形的对称轴(应用意识)
【典例2】(教材再开发·P68作五角星的对称轴拓展)如图,△ABC与△DEF关于某直线对称,请画出它们的对称轴.
举一反三
1.如图,在△ABC中,AB=AC,求作该三角形的对称轴.(保留作图痕迹,不写作法)
2.如图,△ABC和△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺在图①和图②中,分别作出直线l.
技法点拨
作对称轴的“三字诀”
1.找:无论是作成轴对称的两个图形的对称轴,还是作轴对称图形的对称轴,其关键点都是找出图形中的任意一对对称点.
2.连:连接这对对称点.
3.作:作所连线段的垂直平分线,该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴.
重点3　作垂线(模型观念)
【典例3】(教材再开发·P68例题拓展)如图,已知△ABC.
(1)按要求作图:
①作出△ABC的角平分线AD;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F;
(2)在(1)的基础上,若△ABC的面积是21,AB=8,DF=3,求AC的长.
举一反三
1.如图,C,E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE的长为半径画弧交直线l于A,B两点,再分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,CD交直线l于点F,则下列结论不一定正确的是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.CD=CA B.CD⊥直线l
C.AF=BF D.CD平分线段AB
2.如图,在△ABC中,∠B=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 .
素养　思维提升　入境深探
链接生活
如图,为一家餐馆的平面区域示意图,AB,CF为走廊通道,BC为顾客用餐区域,其中∠B=∠C=90°.为了提高配菜及送餐效率,需规划一条直线型的机器人通道AD(其中点D在通道CF上),并在通道AD上设置一个机器人送餐停靠点G,使得机器人从点G出发,分别沿送餐路线G→A→B与G→D→C送至接餐点B,C的路程相等,且都等于通道AD的长度.求作通道AD和机器人送餐停靠点G.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时
课时目标
1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和逆定理,并能熟练地进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观)
2.写出一个命题的逆命题,并能判断其真假.(抽象能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.线段的垂直平分线的性质和判定 图示文字 语言线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 与线段两个端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上 符号 语言∵PC⊥AB,AC=BC, ∴PA= ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上
1.(1)如图,点P是△ABC内的一点,若PA=PC,则( ) A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AC的垂直平分线上 D.点P在边AB的垂直平分线上 (2)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上一点.若PA=4,则线段PB的长度为 .
2.(1)互逆命题:两个命题的 、 正好相反,具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的 . (2)互逆定理:如果一个定理的 经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的 . 2.(1)下列定理中,没有逆定理的是( ) A.直角三角形的两锐角互余 B.同位角相等,两直线平行 C.有两边相等的三角形是等腰三角形 D.全等三角形的对应角相等 (2)命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　线段垂直平分线的性质与判定(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P70T4拓展)如图,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE.
(1)求证:AB=EC;
(2)若△ABC的周长为20 cm,AC=9 cm,求DC的长.
举一反三
1.如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是( )
A.小明的说法对
B.小亮的说法对,可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮的说法对,可添条件为“PO⊥AB”
D.两人的说法都不对
2.如图,在△ABC中,AB=5,BC=10,AC=9,MN为边BC的垂直平分线,点D为直线MN上一动点,则△ABD的周长的最小值为( )
A.10 B.12 C.14 D.15
重点2　互逆命题(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P67T3拓展)写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例进行说明.
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)末位数是0或5的整数能被5整除.
(3)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形,那么这条线段是这个三角形的中线;
(4)对顶角是有公共顶点且相等的角.
举一反三
1.命题“等角的余角相等”的条件为 ;它的逆命题为 ,逆命题是 填“真”或“假”).
2.按要求解答下列各小题.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角;
②如果a+b>0,那么ab>0;
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理.

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