资源简介

15.3.1　等腰三角形
第2课时
课时目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、模型观念)
2.会用尺规作等腰三角形.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定 (1)文字语言:有两个角　相等　的三角形是等腰三角形(简写成“　等角对等边　”). (2)符号语言:∵∠B=∠C, ∴AB=AC. 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(B) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
2.尺规作图:作等腰三角形 2.“已知等腰三角形的底边和底边上的高,用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是(A) A.作一条线段等于已知线段,作已知线段的垂直平分线 B.作已知角的平分线 C.过直线外一点作已知直线的垂线 D.作一个角等于已知角
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等腰三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在△ABC中,AC=6 cm,AB=8 cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB,AC于E,F.
(1)求证:△DFC是等腰三角形;
(2)求△AEF的周长.
【自主解答】(1)∵EF∥BC,∴∠FDC=∠DCB.
∵CD平分∠ACB,∴∠FCD=∠DCB,
∴∠FDC=∠FCD,∴FD=FC,
∴△DFC是等腰三角形.
(2)∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴ED=EB,
∵AC=6 cm,AB=8 cm,
∴△AEF的周长为AE+EF+AF
=AE+ED+FD+AF
=AE+EB+FC+AF
=AB+AC
=8+6
=14(cm).
举一反三
如图,在△ABC中,点D为AB上一点,点E为AC的中点,连接DE并延长到点F使得EF=DE,连接CF.若CE平分∠BCF,求证:△ABC为等腰三角形.
【证明】∵E为AC中点,∴AE=EC,
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(SAS),∴∠A=∠ACF,
∵CE平分∠BCF,∴∠ACB=∠ACF,
∴∠ACB=∠A,∴AB=CB,
∴△ABC为等腰三角形.
重点2　等腰三角形的性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P81练习T1拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D.
(1)求∠ADB的度数;
(2)过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E,判断△ADE是否是等腰三角形并说明理由.
【自主解答】(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=36°,
∴∠ADB=180°-36°-36°=108°.
(2)△ADE是等腰三角形,理由如下:
∵AE∥BC,
∴∠DAE=∠C=72°,
∵∠ADB=108°,
∴∠ADE=180°-108°=72°,
∴∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=AC,点E在BA的延长线上,EF⊥BC,垂足为F,EF与AC交于点O,若OA=4,OC=3,则BE的长为(C)
A.7 B.9 C.11 D.12
素养　思维提升　入境深探
情境建模
我们知道“等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合”,简称“三线合一”.小明尝试着逆向思考:如图1,点D在△ABC的边BC上,给出下列三个条件:①AD平分∠BAC;②AD⊥BC;③BD=CD.
【推理论证】(1)由哪两个条件可以判定AB=AC 用序号写出所有符合条件的情形,并选择其中一种情形,给出证明.
【应用内化】(2)如图2,在△ABC中,BC=a,AC=b,CD是∠ACB的平分线,过A点作CD的垂线,分别交CD,BC于点E,F,请用含a,b的代数式表示BF的长.
【解析】(1)①②和②③可以判定AB=AC.
推理论证:选择①②,证明过程如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=∠CDA=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠C+∠CAD=90°,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
选择②③,证明过程如下:
∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
(2)∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACE=∠FCE,
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=∠FEC=90°.
∵在Rt△FCE与Rt△ACE中,∠CFE+∠FCE=90°,
∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠CFE=∠CAE,
∴FC=AC=b,
∴BF=BC-FC=a-b.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十九”15.3.1　等腰三角形
第2课时
课时目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、模型观念)
2.会用尺规作等腰三角形.(模型观念、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定 (1)文字语言:有两个角 的三角形是等腰三角形(简写成“ ”). (2)符号语言:∵∠B=∠C, ∴AB=AC. 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
2.尺规作图:作等腰三角形 2.“已知等腰三角形的底边和底边上的高,用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是( ) A.作一条线段等于已知线段,作已知线段的垂直平分线 B.作已知角的平分线 C.过直线外一点作已知直线的垂线 D.作一个角等于已知角
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等腰三角形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在△ABC中,AC=6 cm,AB=8 cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB,AC于E,F.
(1)求证:△DFC是等腰三角形;
(2)求△AEF的周长.
举一反三
如图,在△ABC中,点D为AB上一点,点E为AC的中点,连接DE并延长到点F使得EF=DE,连接CF.若CE平分∠BCF,求证:△ABC为等腰三角形.
重点2　等腰三角形的性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P81练习T1拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D.
(1)求∠ADB的度数;
(2)过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E,判断△ADE是否是等腰三角形并说明理由.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=AC,点E在BA的延长线上,EF⊥BC,垂足为F,EF与AC交于点O,若OA=4,OC=3,则BE的长为( )
A.7 B.9 C.11 D.12
素养　思维提升　入境深探
情境建模
我们知道“等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合”,简称“三线合一”.小明尝试着逆向思考:如图1,点D在△ABC的边BC上,给出下列三个条件:①AD平分∠BAC;②AD⊥BC;③BD=CD.
【推理论证】(1)由哪两个条件可以判定AB=AC 用序号写出所有符合条件的情形,并选择其中一种情形,给出证明.
【应用内化】(2)如图2,在△ABC中,BC=a,AC=b,CD是∠ACB的平分线,过A点作CD的垂线,分别交CD,BC于点E,F,请用含a,b的代数式表示BF的长.15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时
　课时目标
1.了解等腰三角形的概念.(几何直观、模型观念)
2.探索并证明等腰三角形的性质定理,并能进行有关的计算和证明.(推理能力、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的定义及有关概念 (1)有　两边　相等的三角形是等腰三角形. (2)相等的两边叫作　腰　,另一边叫作　底边　,两腰的夹角叫作　顶角　,　腰　和　底边　的夹角叫作底角. 1.等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为　6　.
2.等腰三角形的性质 图形性质性质1性质2文字 语言等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)符号 语言∵AB=AC, ∴∠B=∠C∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
2.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,若 ∠BAC=50°,则∠C=　65°　;若 ∠C=71°,AD为BC边上的中线,则 ∠BAD=　19°　. (2)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,且BC=6,则BD长为　3　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等边对等角性质的应用(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P79例1拓展)如图,D,E分别是△ABC边BC,AC上的点,若AB=AC,AD=AE,∠CDE=20°,求∠BAD的度数.
【解析】∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+20°.
∵∠AED是△EDC的外角,
∴∠AED=∠ACB+20°,
∴∠BAD=∠ADE+20°-∠B=∠ACB+20°+20°-∠B=40°.
∴∠BAD的度数为40°.
举一反三
1.(2024·甘孜州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,按如下步骤作图:①以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点F,作射线BF交AC于点G.则∠ABG的大小为　35　度.
2.(2024·济南中考)如图,已知l1∥l2,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,顶点A,B分别在l1,l2上,当∠1=70°时,∠2=　65°　.
重点2　等腰三角形的三线合一(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P78三线合一巩固)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.
(1)求证:PE=PF;
(2)求证:PD平分∠BPC.
【证明】(1)∵AB=AC,D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC,又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴PE=PF.
(2)∵AB=AC,D是BC边的中点,
∴AD⊥BC,∴线段PD在BC的垂直平分线上,∴PB=PC,∴PD平分∠BPC.
举一反三
如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)若∠B=35°,求∠C的度数.
【解析】(1)连接AE,
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E,
∴AE=BE,∵BE=AC,∴AE=AC,
∵D为线段CE的中点,∴AD⊥BC.
(2)∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B=35°,
∴∠AEC=2∠B=70°,
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=70°.
素养　思维提升　入境深探
　开放探索
利用等腰三角形的性质求角的度数
【探究1】如图①,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,若∠C=72°,则∠BAD的度数为　18　°;
【探究2】如图②,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和△AEF的中线,若∠BAF=110°,∠CAE=16°,则∠DAG的度数为　63　°;
【探究3】如图③,在△ABC和△ABE中,AB=AC,AB=AE,AD,AF分别为△ABC和△ABE的中线,AD与BE交于点O,若∠AOF=77°,则∠CAE的度数为　26　°.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十八”15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时
　课时目标
1.了解等腰三角形的概念.(几何直观、模型观念)
2.探索并证明等腰三角形的性质定理,并能进行有关的计算和证明.(推理能力、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的定义及有关概念 (1)有 相等的三角形是等腰三角形. (2)相等的两边叫作 ,另一边叫作 ,两腰的夹角叫作 , 和 的夹角叫作底角. 1.等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为 .
2.等腰三角形的性质 图形性质性质1性质2文字 语言等腰三角形的两个 相等(简写成“ ”)等腰三角形 、 及 重合(简写成“三线合一”)符号 语言∵AB=AC, ∴∠B=∠C∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
2.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,若 ∠BAC=50°,则∠C= ;若 ∠C=71°,AD为BC边上的中线,则 ∠BAD= . (2)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,且BC=6,则BD长为 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等边对等角性质的应用(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P79例1拓展)如图,D,E分别是△ABC边BC,AC上的点,若AB=AC,AD=AE,∠CDE=20°,求∠BAD的度数.
举一反三
1.(2024·甘孜州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,按如下步骤作图:①以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点F,作射线BF交AC于点G.则∠ABG的大小为 度.
2.(2024·济南中考)如图,已知l1∥l2,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,顶点A,B分别在l1,l2上,当∠1=70°时,∠2= .
重点2　等腰三角形的三线合一(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P78三线合一巩固)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.
(1)求证:PE=PF;
(2)求证:PD平分∠BPC.
举一反三
如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)若∠B=35°,求∠C的度数.
素养　思维提升　入境深探
　开放探索
利用等腰三角形的性质求角的度数
【探究1】如图①,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,若∠C=72°,则∠BAD的度数为 ;
【探究2】如图②,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和△AEF的中线,若∠BAF=110°,∠CAE=16°,则∠DAG的度数为 ;
【探究3】如图③,在△ABC和△ABE中,AB=AC,AB=AE,AD,AF分别为△ABC和△ABE的中线,AD与BE交于点O,若∠AOF=77°,则∠CAE的度数为

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