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15.3.2　等边三角形
课时目标
1.了解等边三角形的概念,探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、模型观念)
2.探索并证明在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(模型观念、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.(1)如图,已知等边△ABC, ①若一边长为2,则它的周长是 ; ②若AD∥BC,则∠1的度数为 . (2)如图,在等腰△ABC中,AB=AC, ①若AB= ,则△ABC为等边三角形; ②若∠A= °,则△ABC为等边三角形; ③若∠B= °,则△ABC为等边三角形.
2.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 的一半. 2.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则BC的长是 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等边三角形的性质和判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P82例4拓展)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
举一反三
(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
重点2　含30°角的直角三角形的性质(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P83例5拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,连接AE.若AE=3,求BC的长.
举一反三
(2025·福州质检)如图,在等边三角形ABC中,BC=4,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则EC的长为 .
素养　思维提升　入境深探
【教材溯源】课本P85T11是这样叙述的:如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.求证BE=DC.
【特殊探究】我们看到此时点A,B,C三点不在同一直线上,当此三点在同一直线上时,会有哪些结论 请同学们看下面的问题.
如图,已知A,B,C三点在同一条直线上,△ABD与△ACE都是等边三角形,其中线段BE交AD于点F,线段CD交AE于点G,线段BE与线段CD相交于点O,连接FG.
求证:(1)BE=CD;
(2)∠DOB=60°;
(3)△AFG是等边三角形.15.3.2　等边三角形
课时目标
1.了解等边三角形的概念,探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、模型观念)
2.探索并证明在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(模型观念、推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.(1)如图,已知等边△ABC, ①若一边长为2,则它的周长是　6　; ②若AD∥BC,则∠1的度数为　60°　. (2)如图,在等腰△ABC中,AB=AC, ①若AB=　BC　,则△ABC为等边三角形; ②若∠A=　60　°,则△ABC为等边三角形; ③若∠B=　60　°,则△ABC为等边三角形.
2.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于　斜边　的一半. 2.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则BC的长是　5　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　等边三角形的性质和判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P82例4拓展)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)求证:DC=CF.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,
∴∠CEF=∠F=30°,
∴EC=CF,∴DC=CF.
举一反三
(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
【证明】∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
重点2　含30°角的直角三角形的性质(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P83例5拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,连接AE.若AE=3,求BC的长.
【自主解答】∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°(等边对等角),
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°(三角形内角和定理).
∵点D是AC的中点,且DE⊥AC,
∴EC=EA=3(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等),
∴∠EAC=∠C=30°,
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°.
∵在Rt△ABE中,∠B=30°,
∴BE=2AE=6(直角三角形中30°的角所对直角边等于斜边一半),
∴BC=BE+EC=9.
举一反三
(2025·福州质检)如图,在等边三角形ABC中,BC=4,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则EC的长为 　.
素养　思维提升　入境深探
【教材溯源】课本P85T11是这样叙述的:如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.求证BE=DC.
【特殊探究】我们看到此时点A,B,C三点不在同一直线上,当此三点在同一直线上时,会有哪些结论 请同学们看下面的问题.
如图,已知A,B,C三点在同一条直线上,△ABD与△ACE都是等边三角形,其中线段BE交AD于点F,线段CD交AE于点G,线段BE与线段CD相交于点O,连接FG.
求证:(1)BE=CD;
(2)∠DOB=60°;
(3)△AFG是等边三角形.
【证明】(1)∵△ABD和△ACE均是等边三角形,∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=
∠CAE=60°,∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,
∴∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ADC中,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
(2)∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠BFA=∠DFE,∠DFE+∠ADC+∠DOB=∠BFA+∠ABE+∠BAD=180°,
∴∠DOB=∠BAD=60°.
(3)∵∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°,
∴∠FAG=∠BAD.
在△ABF和△ADG中,
∴△ABF≌△ADG(ASA),
∴AF=AG,
∴△FAG是等边三角形.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十”

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