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16.3.2　完全平方公式
第2课时
课时目标
1.了解添括号法则.(推理能力)
2.能够灵活应用平方差公式、完全平方公式.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.下列从左到右的变式正确的是( ) A.-a+b+c=-(a+b-c)　B.-(a-b+c)=-a+b-c C.a-b+c=-(a+b-c) D.-(a-b+c)=-a-b-c 2.x2-2x+3=-( )+3. 3.用公式计算(x+y-1)(x+y+1)可以化为( )2-( )2.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　添括号法则(推理能力)
【典例1】在括号内填上适当的项.
(1)2m-5n+4=2m-(　5n-4　);
(2)3x+2y-6=3x-(　-2y+6　);
(3)a-2b+c=c-(　-a+2b　);
(4)-4x+y-3=y+(　-4x-3　).
举一反三
1.下列添括号,正确的是( )
A.b+c=-(b+c)
B.a-b=+(a-b)
C.-2x+4y=-(-2x-4y)
D.2x-y-1=2x-(y-1)
2.把多项式3a2-a-4ab+2b2写成两个多项式的差:(3a2+2b2)-( ).
3.若x-y=3,m+n=2,则(y+m)-(x-n)的值是 .
技法点拨
添括号的巧记法则及三点注意
1.巧记法则:遇“+”不变,遇“-”都变.
2.三点注意:
(1)是哪些项需要放进括号里面去.
(2)这些项在放进括号前是什么符号.
(3)所添括号前是什么符号.
重点2　添括号法则在乘法运算中的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P116例5巩固)计算:
(1)(x-2y+1)(x+2y+1);
(2)(a-2b+3c)2.
举一反三
1.计算:(x-2y-z)2= .
2.如果有理数a,b同时满足(2a+2b+3)(2a+2b-3)=55,求a+b的值.
3.当x=1时,ax+b+1的值为-3,求(a+b+1)(1-a-b)的值.
技法点拨
在乘法公式中添括号的两种技巧
1.当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个化为“和”的形式,一个化为“差”的形式,可利用平方差公式.
2.一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用完全平方公式.
素养　思维提升　入境深探
阅读理解
比较两个数(或式子)的大小,有多种方法,如求差法、求商法、倒数法、平方法、估算法等.其中求差法是最常用的一种方法,如:
比较a和b的大小,可以求出a-b的结果.
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a请你解决以下问题:
若m≠0,Q=(m2-m+1)(m2+m+1),P=(m+1)2(m-1)2.
猜想Q和P的大小关系,并证明你的猜想.16.3.2　完全平方公式
第2课时
课时目标
1.了解添括号法则.(推理能力)
2.能够灵活应用平方差公式、完全平方公式.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.下列从左到右的变式正确的是(B) A.-a+b+c=-(a+b-c)　B.-(a-b+c)=-a+b-c C.a-b+c=-(a+b-c) D.-(a-b+c)=-a-b-c 2.x2-2x+3=-(　-x2+2x　)+3. 3.用公式计算(x+y-1)(x+y+1)可以化为(　x+y　)2-(　1　)2.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　添括号法则(推理能力)
【典例1】在括号内填上适当的项.
(1)2m-5n+4=2m-(　5n-4　);
(2)3x+2y-6=3x-(　-2y+6　);
(3)a-2b+c=c-(　-a+2b　);
(4)-4x+y-3=y+(　-4x-3　).
举一反三
1.下列添括号,正确的是(B)
A.b+c=-(b+c)
B.a-b=+(a-b)
C.-2x+4y=-(-2x-4y)
D.2x-y-1=2x-(y-1)
2.把多项式3a2-a-4ab+2b2写成两个多项式的差:(3a2+2b2)-(　a+4ab　).
3.若x-y=3,m+n=2,则(y+m)-(x-n)的值是　-1　.
技法点拨
添括号的巧记法则及三点注意
1.巧记法则:遇“+”不变,遇“-”都变.
2.三点注意:
(1)是哪些项需要放进括号里面去.
(2)这些项在放进括号前是什么符号.
(3)所添括号前是什么符号.
重点2　添括号法则在乘法运算中的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P116例5巩固)计算:
(1)(x-2y+1)(x+2y+1);
(2)(a-2b+3c)2.
【自主解答】(1)(x-2y+1)(x+2y+1)
=[(x+1)-2y][(x+1)+2y]
=(x+1)2-(2y)2=(x2+2x+1)-(4y2)
=x2+2x+1-4y2.
(2)(a-2b+3c)2=[(a-2b)+3c]2
=(a-2b)2+2(a-2b)(3c)+(3c)2
=a2+4b2+9c2-4ab+6ac-12bc.
举一反三
1.计算:(x-2y-z)2=　x2-4xy+4y2-2xz+4yz+z2　.
2.如果有理数a,b同时满足(2a+2b+3)(2a+2b-3)=55,求a+b的值.
【解析】已知等式变形得[2(a+b)+3][2(a+b)-3]=55,
整理得4(a+b)2-9=55,即(a+b)2=16,则a+b=4或-4.
3.当x=1时,ax+b+1的值为-3,求(a+b+1)(1-a-b)的值.
【解析】∵当x=1时,ax+b+1的值为-3,
∴a+b+1=-3,∴a+b=-4,
∴(a+b+1)(1-a-b)
=[(a+b)+1][1-(a+b)]
=1-(a+b)2
=1-(-4)2
=1-16
=-15.
技法点拨
在乘法公式中添括号的两种技巧
1.当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个化为“和”的形式,一个化为“差”的形式,可利用平方差公式.
2.一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用完全平方公式.
素养　思维提升　入境深探
阅读理解
比较两个数(或式子)的大小,有多种方法,如求差法、求商法、倒数法、平方法、估算法等.其中求差法是最常用的一种方法,如:
比较a和b的大小,可以求出a-b的结果.
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a请你解决以下问题:
若m≠0,Q=(m2-m+1)(m2+m+1),P=(m+1)2(m-1)2.
猜想Q和P的大小关系,并证明你的猜想.
【解析】Q>P.
证明:Q=(m2-m+1)(m2+m+1)
=[(m2+1)-m][(m2+1)+m]=(m2+1)2-m2
=m4+2m2+1-m2=m4+m2+1,
P=(m+1)2(m-1)2=(m2-1)2=m4-2m2+1,
Q-P=(m4+m2+1)-(m4-2m2+1)=3m2,
∵m≠0,∴3m2>0,即Q-P>0,
∴Q>P.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十九”16.3.2　完全平方公式
第1课时
课时目标
1.理解完全平方公式.(模型观念、推理能力)
2.掌握用完全平方公式进行简单运算.(运算能力)
3.能用完全平方公式解决数学问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.判断(对的打“√”,错的打“×”). (1)(x-2)2=x2-4.(×) (2)(m+3n)2=m2+3mn+9n2.(×) (3)(1-2n)2=1-4n+4n2.(√) 2.利用乘法公式计算正确的是( ) A.(x-3)2=x-6x+3 B.(2x+5)(2x-5)=4x2-5 C.(y+4)2=y2+16 D.(3x-2)2=9x2-12x+4 3.计算:(4-x)2= .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　完全平方公式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P115例3拓展)计算:
(1)(2a+3)2;　(2)(1-2m2)2;
(3)(-2xy-5)2;(4) (a2-b2)2.
举一反三
1.在下列运算①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;
④(x-=x2-2x+中,运算错误的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.计算:(1)(a-4b)2;
(2) (-a-4b) (a+4b).
3.若(3x+a)2=bx2+12x+c,求a+b+c的值.
技法点拨
完全平方公式的三点注意事项
1.将公式转化成数学模型,套用模型计算时,注意选择适合的模型.
2.公式中的a,b可以是数、单项式或多项式.
3.公式中的结果有三项,不要漏项和写错符号.
重点2　完全平方公式的应用(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P115例4拓展)计算:
(1)1982;(2)912-88×92.
举一反三
1.若a-b=6,ab=16,则a2+b2的值为( )
A.68 B.52 C.20 D.4
2.用简便方法计算:1 0012.
3.(2024·重庆中考A卷)计算:x(x-2y)+(x+y)2.
4.(2024·赤峰中考)已知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
技法点拨
　利用完全平方公式计算较大数的平方的三个步骤
1.判断 先判断这个数最接近的数(整十、整百、整千)
2.变形 将该数写为最接近的数(整十、整百、整千)与一个数的和或差的形式
3.计算 根据完全平方公式展开计算
素养　思维提升　入境深探
文化体验
杨辉三角
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个解释二项和的乘方规律的三角形.由于杨辉在书中提到,在他之前贾宪发明了上述方法,因此这个三角形也称“贾宪三角”.在欧洲,这个三角形叫“帕斯卡三角”,是帕斯卡在1654年发现的,比杨辉晚了近400年时间.
“杨辉三角”构造法则是这样的:两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如,在三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数;等等.
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.16.3.2　完全平方公式
第1课时
课时目标
1.理解完全平方公式.(模型观念、推理能力)
2.掌握用完全平方公式进行简单运算.(运算能力)
3.能用完全平方公式解决数学问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.判断(对的打“√”,错的打“×”). (1)(x-2)2=x2-4.(×) (2)(m+3n)2=m2+3mn+9n2.(×) (3)(1-2n)2=1-4n+4n2.(√) 2.利用乘法公式计算正确的是(D) A.(x-3)2=x-6x+3 B.(2x+5)(2x-5)=4x2-5 C.(y+4)2=y2+16 D.(3x-2)2=9x2-12x+4 3.计算:(4-x)2=　16-8x+x2　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　完全平方公式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P115例3拓展)计算:
(1)(2a+3)2;　(2)(1-2m2)2;
(3)(-2xy-5)2;(4) (a2-b2)2.
【自主解答】(1)(2a+3)2=(2a)2+2·(2a)·3+32=4a2+12a+9;
(2)(1-2m2)2=12-2×1×(2m2)+(2m2)2
=1-4m2+4m4;
(3)(-2xy-5)2=(-2xy)2-2·(-2xy)·5+52=4x2y2+20xy+25.
(4) (a2-b2)2=(a2)2-2·(a2)·(b2)+(b2)2=a4-a2b2+b4.
举一反三
1.在下列运算①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;
④(x-=x2-2x+中,运算错误的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.计算:(1)(a-4b)2;
(2) (-a-4b) (a+4b).
【解析】(1)原式=a2-2a·4b+(4b)2=a2-8ab+16b2.
(2)原式=-(a+4b) (a+4b)
=-(a+4b)2=-(a2+4ab+16b2)
=-a2-4ab-16b2.
3.若(3x+a)2=bx2+12x+c,求a+b+c的值.
【解析】(3x+a)2=(3x)2+2·(3x)·a+a2=9x2+6ax+a2=bx2+12x+c,所以b=9,6a=12,c=a2,解得a=2,b=9,c=4,所以a+b+c=2+9+4=15.
技法点拨
完全平方公式的三点注意事项
1.将公式转化成数学模型,套用模型计算时,注意选择适合的模型.
2.公式中的a,b可以是数、单项式或多项式.
3.公式中的结果有三项,不要漏项和写错符号.
重点2　完全平方公式的应用(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P115例4拓展)计算:
(1)1982;(2)912-88×92.
【自主解答】(1)原式=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204.
(2)原式=(90+1)2-(90-2)(90+2)
=902+2×90×1+1-902+4=185.
举一反三
1.若a-b=6,ab=16,则a2+b2的值为(A)
A.68 B.52 C.20 D.4
2.用简便方法计算:1 0012.
【解析】1 0012=(1 000+1)2=1 0002+2×1 000×1+12=1 000 000+2 000+1=
1 002 001.
3.(2024·重庆中考A卷)计算:x(x-2y)+(x+y)2.
【解析】原式=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2.
4.(2024·赤峰中考)已知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
【解析】(a-2)2+(a-1)(a+3)
=a2-4a+4+a2+3a-a-3=2a2-2a+1,
∵a2-a-3=0,∴a2-a=3,
当a2-a=3时,原式=2(a2-a)+1=2×3+1=6+1=7.
技法点拨
　利用完全平方公式计算较大数的平方的三个步骤
1.判断 先判断这个数最接近的数(整十、整百、整千)
2.变形 将该数写为最接近的数(整十、整百、整千)与一个数的和或差的形式
3.计算 根据完全平方公式展开计算
素养　思维提升　入境深探
文化体验
杨辉三角
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个解释二项和的乘方规律的三角形.由于杨辉在书中提到,在他之前贾宪发明了上述方法,因此这个三角形也称“贾宪三角”.在欧洲,这个三角形叫“帕斯卡三角”,是帕斯卡在1654年发现的,比杨辉晚了近400年时间.
“杨辉三角”构造法则是这样的:两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如,在三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数;等等.
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5
=(2-1)5=1.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十八”

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