资源简介

17.2　用公式法分解因式
第2课时
　课时目标
1.了解完全平方式的含义.(模型观念)
2.灵活应用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式.(运算能力)
3.能够运用各种方法去分解因式.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.完全平方式 文字语言:两个数的 加上(或减去)这两个数的积的 倍; 符号语言: 和 . 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)x2+6x+3是完全平方式.(×) (2)若y2+ay+16是完全平方式,则a=8.(×) (3)若m2-12m+k是完全平方式,则k=36.(√)
2.利用完全平方公式进行因式分解 文字语言:两个数的 加上(或减去)这两个数积的 倍,就等于这两个数的和(或差)的平方; 符号语言: 和 . 2.(1)分解因式x2+8x+16结果正确的是( ) A.(x-4)2 B.(x+4)2 C.(x-8)2 D.(x+8)2 (2)分解因式:4y2-4y+1= .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P130例4强化)分解因式:
(1)m2-12m+36;
(2)(a+b)2-4(a+b)+4;
(3)4x2-12xy+9y2.
【自主解答】(1)m2-12m+36=(m-6)2;
(2)(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b)2-2×(a+b)×2+22=(a+b-2)2;
(3)4x2-12xy+9y2=(2x)2-2×2x×3y+(3y)2=(2x-3y)2.
举一反三
1.下列多项式中,可以用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+2xy+4y2 B.-9x2-y2
C.4x-y2 D.x2-8xy+16y2
2.若多项式x2+mx+64分解因式为(x+8)2,则m= .
3.因式分解:
(1)x3-4x2+4x;　(2)m4-18m2+81.
技法点拨
用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的思路
1.从总体上去分析多项式的结构形式;
2.在多项式中确认平方项,从而找到公式中a和b所代表的内容;
3.最后确认是否存在a和b所代表两部分内容乘积的2倍,若存在,则可以用该公式;
4.根据公式写出结果.
重点2　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】在等腰△ABC中,三边长分别是a,b,c,并且满足a2-10a+25+|b-2|=0,求△ABC的周长.
举一反三
1.计算:1252-50×125+252=( )
A.100 B.150
C.10 000 D.22 500
2.a,b是等腰三角形的两边,且 a2+b2-6a-14b+58=0,求等腰三角形的周长.
技法点拨
应用完全平方式时的三大技巧
1.遇到多项式的值等于0,求另一个多项式的值,常常通过变形为完全平方式之和(非负数的和)的形式,然后利用非负数性质来解答.
2.完全平方式中的求值一般用整体代入思想.
3.类比平方差分解的添项去项法分解,完全平方公式要用到倍分关系变形求解.
素养　思维提升　入境深探
数学文化
数学家——苏菲·姬曼
　　苏菲·姬曼,18世纪出生于法国,是一位著名的数学家.为了读懂牛顿的著作,从小自学了拉丁文和希腊文.18岁时,她的一篇报告引起了当时著名数学家拉格朗日的高度重视,并给她充分肯定.她对于著名的费马猜想的证明有巨大的贡献,她的学术成就得到了认可,为了纪念苏菲·姬曼对数论的贡献,现在将P与2P+1都是素数的数称为“苏菲·姬曼质数”.对于苏菲·姬曼,还有一个“姬曼定理”也是被人常常应用.
分解因式:x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x),这是苏菲·姬曼给出的解法,就把它叫作“姬曼定理”.
请你依照苏菲·姬曼的做法,将下列式子因式分解:x2-2ax-b2-2ab.17.2　用公式法分解因式
第1课时
　课时目标
1.能够利用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.(运算能力)
2.用a2-b2=(a+b)(a-b)解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
　用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解 1.能利用平方差公式进行因式分解的是(B) A.m2+n2 B.m2-n2 C.-m2-n2 D.m2+1 2.多项式4x2-1分解因式的结果是(A) A.(2x+1)(2x-1) B.x(4x-1) C.(2x-1)2 D.4(x+1)(x-1) 3.若x2-y2=100,x+y=-25,则x-y的值是　-4　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P128例2拓展)
因式分解:
(1)9-x2;
(2)4m2-1;
(3)(a+b)2-c2.
【自主解答】(1)9-x2
=(3+x)(3-x);
(2)4m2-1=(2m+1)(2m-1);
(3)(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c).
举一反三
1.(2025·宁波模拟)分解因式a2-4,正确的是(C)
A.(a+1)(a-4) B.(a-2)2
C.(a-2)(a+2) D.(2a-1)(2a+1)
2.把(x-2)2-25分解因式,结果正确的是(B)
A.(x-2)(x+5) B.(x+3)(x-7)
C.(x-3)(x+7) D.(x+7)(x+3)
技法点拨
能利用平方差公式分解因式的多项式具有的特点
1.该多项式是一个二项式.
2.两项是差的形式.
3.每一项都能写成一个式子(可以是单项式、多项式)的平方的形式.
重点2　用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】如图,在一块长为2x m,宽为x m的长方形广场中心,留一块长为2y m,宽为y m的活动场地,其余的地方做花坛.
(1)求花坛的面积;
(2)当x=45,y=35,且修建花坛每平方米需花费50元时,则修建整个花坛需要多少元
【自主解答】(1)根据题意可知长方形广场的面积为2x2 m2,活动场地的面积为
2y2 m2,
故花坛的面积为(2x2-2y2)m2.
(2)当x=45,y=35时,2x2-2y2=2(x+y)(x-y)=2(45+35)(45-35)=2×80×10=1 600,
50×1 600=80 000(元).
答:修建整个花坛需要80 000元.
举一反三
1.若x+2y=4,x-2y=-1,则代数式x2-4y2的值为　-4　.
2.如图,在一块边长为a m的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b<)m的正方形修建花坛,其余的地方种植草坪.利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4时,草坪的面积.
【解析】根据题意得:草坪的面积为(a2-4b2)m2,当a=13.2,b=3.4时,(a2-4b2)
=(a+2b)(a-2b)=(13.2+6.8)×(13.2-6.8)=128(m2).
技法点拨
应用平方差公式分解因式解决的三类问题
1.已知两个数(或式)的和与差,求这两个数(或式)的平方差.
2.已知两个数(或式)的平方差,及这两个数(或式)的和或差,求这两个数(或式)的差或和.
3.已知两个数(或式)的平方差,确定能被哪个整数(或式)整除.
素养　思维提升　入境深探
　链接生活
密码
　　现代人越来越多地要和密码打交道,例如,你到银行存款,银行职员要你自拟一个六位数的密码,密码可以加强存款的安全性,但是如果自己忘记了密码,却又是件麻烦的事,因此,最好能有一套简单的程序,既要便于自己记忆,又能防止别人破译,万一自己一时忘记了,也会有一套程序把它“寻回”.
　　利用因式分解,可以为我们设计拟定密码的程序,下面用具体例子来加以说明.例如:我们选取一个多项式x4-y4,则它的因式分解为x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y).取x=y=8,则各因式得到的值为x2+y2=82+82=128;x+y=8+8=16;x-y=0.于是,我们就可以把128,16,0按照从小到大的顺序排列,即016128.把它作为密码.当然,同学们也可以充分发挥自己的想象力,编制出你自己所需要的特有的密码.
如果选取多项式16x4-y4,当x=5,y=5时,这个密码是什么
【解析】16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y),
当x=5,y=5时,4x2+y2=125,2x+y=15,2x-y=5,把125,15,5从小到大排列,即5,15,125,所以密码是515125.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十一”17.2　用公式法分解因式
第2课时
　课时目标
1.了解完全平方式的含义.(模型观念)
2.灵活应用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式.(运算能力)
3.能够运用各种方法去分解因式.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.完全平方式 文字语言:两个数的　平方和　加上(或减去)这两个数的积的　2　倍; 符号语言:　a2+2ab+b2　和　a2-2ab+b2　. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)x2+6x+3是完全平方式.(×) (2)若y2+ay+16是完全平方式,则a=8.(×) (3)若m2-12m+k是完全平方式,则k=36.(√)
2.利用完全平方公式进行因式分解 文字语言:两个数的　平方和　加上(或减去)这两个数积的　2　倍,就等于这两个数的和(或差)的平方; 符号语言:　a2+2ab+b2=(a+b)2　和　a2-2ab+b2=(a-b)2　. 2.(1)分解因式x2+8x+16结果正确的是(B) A.(x-4)2 B.(x+4)2 C.(x-8)2 D.(x+8)2 (2)分解因式:4y2-4y+1=　(2y-1)2　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P130例4强化)分解因式:
(1)m2-12m+36;
(2)(a+b)2-4(a+b)+4;
(3)4x2-12xy+9y2.
【自主解答】(1)m2-12m+36=(m-6)2;
(2)(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b)2-2×(a+b)×2+22=(a+b-2)2;
(3)4x2-12xy+9y2=(2x)2-2×2x×3y+(3y)2=(2x-3y)2.
举一反三
1.下列多项式中,可以用完全平方公式进行因式分解的是(D)
A.x2+2xy+4y2 B.-9x2-y2
C.4x-y2 D.x2-8xy+16y2
2.若多项式x2+mx+64分解因式为(x+8)2,则m=　16　.
3.因式分解:
(1)x3-4x2+4x;　(2)m4-18m2+81.
【解析】(1)x3-4x2+4x
=x(x2-4x+4)
=x(x-2)2;
(2)m4-18m2+81
=(m2-9)2
=[(m+3)(m-3)]2
=(m+3)2(m-3)2.
技法点拨
用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的思路
1.从总体上去分析多项式的结构形式;
2.在多项式中确认平方项,从而找到公式中a和b所代表的内容;
3.最后确认是否存在a和b所代表两部分内容乘积的2倍,若存在,则可以用该公式;
4.根据公式写出结果.
重点2　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】在等腰△ABC中,三边长分别是a,b,c,并且满足a2-10a+25+|b-2|=0,求△ABC的周长.
【自主解答】a2-10a+25+|b-2|=0,
即(a-5)2+|b-2|=0,解得a=5,b=2.
当c=5时,三角形的周长为5+5+2=12;
当c=2时,5,2,2不能组成三角形.
∴△ABC的周长为12.
举一反三
1.计算:1252-50×125+252=(C)
A.100 B.150
C.10 000 D.22 500
2.a,b是等腰三角形的两边,且 a2+b2-6a-14b+58=0,求等腰三角形的周长.
【解析】 ∵a2+b2-6a-14b+58=0,
∴(a2-6a+9)+(b2-14b+49)=0,
∴(a-3)2+(b-7)2=0,∴a=3,b=7.
当等腰三角形的腰长为7,则底为3,所以周长为7+7+3=17.当等腰三角形的腰长为3,底为7时,此三角形不存在,∴周长为17.
技法点拨
应用完全平方式时的三大技巧
1.遇到多项式的值等于0,求另一个多项式的值,常常通过变形为完全平方式之和(非负数的和)的形式,然后利用非负数性质来解答.
2.完全平方式中的求值一般用整体代入思想.
3.类比平方差分解的添项去项法分解,完全平方公式要用到倍分关系变形求解.
素养　思维提升　入境深探
数学文化
数学家——苏菲·姬曼
　　苏菲·姬曼,18世纪出生于法国,是一位著名的数学家.为了读懂牛顿的著作,从小自学了拉丁文和希腊文.18岁时,她的一篇报告引起了当时著名数学家拉格朗日的高度重视,并给她充分肯定.她对于著名的费马猜想的证明有巨大的贡献,她的学术成就得到了认可,为了纪念苏菲·姬曼对数论的贡献,现在将P与2P+1都是素数的数称为“苏菲·姬曼质数”.对于苏菲·姬曼,还有一个“姬曼定理”也是被人常常应用.
分解因式:x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x),这是苏菲·姬曼给出的解法,就把它叫作“姬曼定理”.
请你依照苏菲·姬曼的做法,将下列式子因式分解:x2-2ax-b2-2ab.
【解析】x2-2ax-b2-2ab=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab=(x2-2ax+a2)-(a2+b2+2ab)=(x-a)2-(a+b)2 =(x+b)(x-2a-b).
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十二”17.2　用公式法分解因式
第3课时
　课时目标
1.综合利用提公因式法和公式法分解因式.(运算能力)
2.用因式分解解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
因式分解的步骤: (1)提:若有公因式,则首先提公因式; (2)套:若多项式是两项,则套平方差公式; 若多项式是三项,则套完全平方公式; (3)查:检查因式分解是否分解彻底. 1.分解因式2x-8x3的结果是(D) A.2(x-8x3) B.2x(1-4x2) C.2x(1-8x2) D.2x(1+2x)(1-2x) 2.分解因式3a2-6a+3的结果是　3(a-1)2　. 3.分解因式:(3m+2n)2-(2m-7n)2=　5(m-n)(m+9n)　.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　综合利用提公因式法和公式法分解因式
【典例1】(教材再开发·P131例5强化)分解因式:
(1)m3n5-m5n3;
(2)a2(1-b)+4(b-1);
(3)3a2-6ab+3b2.
【自主解答】(1)m3n5-m5n3=m3n3(n2-m2)=m3n3(n-m)(n+m).
(2)a2(1-b)+4(b-1)=a2(1-b)-4(1-b)=(1-b)(a2-4)=(1-b)(a-2)(a+2).
(3)3a2-6ab+3b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2.
举一反三
1.因式分解9a(a+b)2-a(a-b)2的结果是　4a(2a+b)(a+2b)　.
2.(2024·扬州中考)分解因式:2x2-4x+2=　2(x-1)2　.
重点2　综合公式法分解因式
【典例2】(教材再开发·P131例6强化)分解因式:
(1)(x2-2x)2-1;　　　(2)x4-8x2+16.
【自主解答】(1)(x2-2x)2-1=(x2-2x+1)(x2-2x-1)=(x-1)2(x2-2x-1);
(2)x4-8x2+16=(x2-4)2=[(x+2)(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2.
举一反三
1.分解因式x4y4-2x2y2+1的结果是　(xy+1)2(xy-1)2　.
2.分解因式:b4-(a2-2ab)2.
【解析】b4-(a2-2ab)2
=[b2+(a2-2ab)][b2-(a2-2ab)]
=(b2+a2-2ab)(b2-a2+2ab)
=(a-b)2(b2-a2+2ab).
技法点拨
因式分解的两个“提醒”
1.在因式分解时,首先从整体上去把握多项式的结构特点,从而确定套哪种公式;
2.及时检查每一个因式是否能够继续分解.
素养　思维提升　入境深探
火眼金睛(找错并纠正)
　因式分解:4(2a+b)2-(a-7b)2.
【陷阱】　因式分解不彻底　.
【正解】原式=[2(2a+b)]2-(a-7b)2
=[2(2a+b)+(a-7b)][2(2a+b)-(a-7b)]=(5a-5b)(3a+9b)
=15(a-b)(a+3b).
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十三”17.2　用公式法分解因式
第3课时
　课时目标
1.综合利用提公因式法和公式法分解因式.(运算能力)
2.用因式分解解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
因式分解的步骤: (1)提:若有公因式,则首先提公因式; (2)套:若多项式是两项,则套平方差公式; 若多项式是三项,则套完全平方公式; (3)查:检查因式分解是否分解彻底. 1.分解因式2x-8x3的结果是( ) A.2(x-8x3) B.2x(1-4x2) C.2x(1-8x2) D.2x(1+2x)(1-2x) 2.分解因式3a2-6a+3的结果是 . 3.分解因式:(3m+2n)2-(2m-7n)2= .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　综合利用提公因式法和公式法分解因式
【典例1】(教材再开发·P131例5强化)分解因式:
(1)m3n5-m5n3;
(2)a2(1-b)+4(b-1);
(3)3a2-6ab+3b2.
举一反三
1.因式分解9a(a+b)2-a(a-b)2的结果是 .
2.(2024·扬州中考)分解因式:2x2-4x+2= .
重点2　综合公式法分解因式
【典例2】(教材再开发·P131例6强化)分解因式:
(1)(x2-2x)2-1;　　　(2)x4-8x2+16.
举一反三
1.分解因式x4y4-2x2y2+1的结果是 .
2.分解因式:b4-(a2-2ab)2.
技法点拨
因式分解的两个“提醒”
1.在因式分解时,首先从整体上去把握多项式的结构特点,从而确定套哪种公式;
2.及时检查每一个因式是否能够继续分解.
素养　思维提升　入境深探
火眼金睛(找错并纠正)
　因式分解:4(2a+b)2-(a-7b)2.17.2　用公式法分解因式
第1课时
　课时目标
1.能够利用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.(运算能力)
2.用a2-b2=(a+b)(a-b)解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
　用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解 1.能利用平方差公式进行因式分解的是( ) A.m2+n2 B.m2-n2 C.-m2-n2 D.m2+1 2.多项式4x2-1分解因式的结果是( ) A.(2x+1)(2x-1) B.x(4x-1) C.(2x-1)2 D.4(x+1)(x-1) 3.若x2-y2=100,x+y=-25,则x-y的值是 .
重点　典例研析　启思凝智
重点1　用a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P128例2拓展)
因式分解:
(1)9-x2;
(2)4m2-1;
(3)(a+b)2-c2.
举一反三
1.(2025·宁波模拟)分解因式a2-4,正确的是( )
A.(a+1)(a-4) B.(a-2)2
C.(a-2)(a+2) D.(2a-1)(2a+1)
2.把(x-2)2-25分解因式,结果正确的是( )
A.(x-2)(x+5) B.(x+3)(x-7)
C.(x-3)(x+7) D.(x+7)(x+3)
技法点拨
能利用平方差公式分解因式的多项式具有的特点
1.该多项式是一个二项式.
2.两项是差的形式.
3.每一项都能写成一个式子(可以是单项式、多项式)的平方的形式.
重点2　用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】如图,在一块长为2x m,宽为x m的长方形广场中心,留一块长为2y m,宽为y m的活动场地,其余的地方做花坛.
(1)求花坛的面积;
(2)当x=45,y=35,且修建花坛每平方米需花费50元时,则修建整个花坛需要多少元
举一反三
1.若x+2y=4,x-2y=-1,则代数式x2-4y2的值为 .
2.如图,在一块边长为a m的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b<)m的正方形修建花坛,其余的地方种植草坪.利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4时,草坪的面积.
技法点拨
应用平方差公式分解因式解决的三类问题
1.已知两个数(或式)的和与差,求这两个数(或式)的平方差.
2.已知两个数(或式)的平方差,及这两个数(或式)的和或差,求这两个数(或式)的差或和.
3.已知两个数(或式)的平方差,确定能被哪个整数(或式)整除.
素养　思维提升　入境深探
　链接生活
密码
　　现代人越来越多地要和密码打交道,例如,你到银行存款,银行职员要你自拟一个六位数的密码,密码可以加强存款的安全性,但是如果自己忘记了密码,却又是件麻烦的事,因此,最好能有一套简单的程序,既要便于自己记忆,又能防止别人破译,万一自己一时忘记了,也会有一套程序把它“寻回”.
　　利用因式分解,可以为我们设计拟定密码的程序,下面用具体例子来加以说明.例如:我们选取一个多项式x4-y4,则它的因式分解为x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y).取x=y=8,则各因式得到的值为x2+y2=82+82=128;x+y=8+8=16;x-y=0.于是,我们就可以把128,16,0按照从小到大的顺序排列,即016128.把它作为密码.当然,同学们也可以充分发挥自己的想象力,编制出你自己所需要的特有的密码.
如果选取多项式16x4-y4,当x=5,y=5时,这个密码是什么

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