资源简介

18.5　分式方程
第1课时
课时目标
1.了解分式方程的概念.(模型观念)
2.掌握分式方程的基本解法.(运算能力、应用意识)
3.理解去分母所得整式方程的解使分母为0的原因,掌握验根的方法.(推理能力、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.分式方程 分母中含 的方程. 1.下列是分式方程的是 ( ) A.+　　　　B.+=0 C.(x-2)=x D.+1=0
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为 ,具体做法是“ ”,即方程两边乘 . (2)检验:把整式方程的解代入 ,如果最简公分母的值不为 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3时,去分母正确的是 ( ) A.2x=3-3x+3　 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6　 D.2x=3-6x+2 (2)分式方程=的解为 ( ) A.x=2　 B.x=3　 C.x=4　 D.x=5
重点　典例研析　启思凝智
重点1　分式方程的解法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P165例1强化)解方程:
(1)(2024·南通中考)-1=;
(2)-=8.
举一反三
1.(2024·济宁中考)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是 ( )
A.2-6x+2=-5
B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5
D.6x-2+1=5
2.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是 ( )
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
3.(2025·重庆质检)解方程:+=.
技法点拨
解分式方程的步骤
1.去分母化为整式方程.
2.解整式方程.
3.检验整式方程的解是否使最简公分母等于0.
特别提醒:
检验是解分式方程的必要步骤,当整式方程的解不使最简公分母为0时,它是原分式方程的解,否则就不是原分式方程的解,原分式方程无解.
重点2　由分式方程的解求参数的值或取值范围(运算能力)
【典例2】已知关于x的分式方程-=4的解为非负数,求a的取值范围.
举一反三
1.(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为 ( )
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
2.(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 .
素养　思维提升　入境深探
难题拆解
(2024·重庆中考A卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.
【层层剖析·清障碍】
拆解一:关于x的不等式组的解集为 ,若解集中至少有2个整数解,则 ;
拆解二:关于y的分式方程=2-的解为 ;
拆解三:若关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则具备的条件是:y是非负整数,且y .
【水到渠成·破难题】18.5　分式方程
第1课时
课时目标
1.了解分式方程的概念.(模型观念)
2.掌握分式方程的基本解法.(运算能力、应用意识)
3.理解去分母所得整式方程的解使分母为0的原因,掌握验根的方法.(推理能力、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.分式方程 分母中含　未知数　的方程. 1.下列是分式方程的是 (D) A.+　　　　B.+=0 C.(x-2)=x D.+1=0
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为　整式方程　,具体做法是“　去分母　”,即方程两边乘　最简公分母　. (2)检验:把整式方程的解代入　最简公分母　,如果最简公分母的值不为　0　,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3时,去分母正确的是 (C) A.2x=3-3x+3　 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6　 D.2x=3-6x+2 (2)分式方程=的解为 (C) A.x=2　 B.x=3　 C.x=4　 D.x=5
重点　典例研析　启思凝智
重点1　分式方程的解法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P165例1强化)解方程:
(1)(2024·南通中考)-1=;
(2)-=8.
【自主解答】(1)原方程化为:-1=,
去分母,得3x-(3x+3)=2x,
去括号,得3x-3x-3=2x,解得x=-,
检验:当x=-时,3(x+1)=-≠0,所以x=-是原方程的解;
(2)原方程化为:+=8,
去分母,得x-8+1=8x-56,
解得x=7,
检验:当x=7时,x-7=0,所以x=7不是原分式方程的解,
所以原分式方程无解.
举一反三
1.(2024·济宁中考)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是 (A)
A.2-6x+2=-5
B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5
D.6x-2+1=5
2.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是 (D)
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
3.(2025·重庆质检)解方程:+=.
【解析】原方程化为:-=,
两边同乘x(x-1)得,1-3x=4(x-1),解得x=,当x=时,x(x-1)=-≠0,∴x=是分式方程的解.
技法点拨
解分式方程的步骤
1.去分母化为整式方程.
2.解整式方程.
3.检验整式方程的解是否使最简公分母等于0.
特别提醒:
检验是解分式方程的必要步骤,当整式方程的解不使最简公分母为0时,它是原分式方程的解,否则就不是原分式方程的解,原分式方程无解.
重点2　由分式方程的解求参数的值或取值范围(运算能力)
【典例2】已知关于x的分式方程-=4的解为非负数,求a的取值范围.
【自主解答】原分式方程可化为+=4,
方程两边同乘(x-3)得,x+3a=4(x-3),
去括号得,x+3a=4x-12,
移项得,x-4x=-12-3a,
合并同类项得,-3x=-12-3a,
系数化为1得,x=a+4.
∵原分式方程的解为非负数,∴x≥0,x≠3,
即a+4≥0,a+4≠3,解得a≥-4且a≠-1.
举一反三
1.(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为 (B)
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
2.(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为　2或-1　.
素养　思维提升　入境深探
难题拆解
(2024·重庆中考A卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.
【层层剖析·清障碍】
拆解一:关于x的不等式组的解集为 ≤x<4　,若解集中至少有2个整数解,则　a≤8　;
拆解二:关于y的分式方程=2-的解为　y=且y≠1　;
拆解三:若关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则具备的条件是:y是非负整数,且y　≠1　.
【水到渠成·破难题】
【解析】,
解不等式①,得x<4,解不等式②,得x≥,
∴该不等式组的解集为≤x<4.
∵该不等式组至少有2个整数解,
∴≤2,解得a≤8.
解分式方程=2-得,y=且y≠1,
∵该分式方程的解为非负整数,
∴≥0且≠1,解得a≥2且a≠4,
所以2≤a≤8且a≠4,即a=2,3,5,6,7,8,
当a=3,5,7时,y=不是整数,
所以a=2,6,8,即2+6+8=16.
答案:≤x<4　a≤8　y=且y≠1　≠1
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 四十一”18.5　分式方程
第2课时
　课时目标
1.掌握列分式方程解应用题的具体步骤.(模型观念、应用意识)
2.运用分式方程解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.某校学生去距离学校12 km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是( ) A.0.2 km/min　B.0.3 km/min　C.0.4 km/min　D.0.6 km/min 2.某市为了构建城市立体交通网络,决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成,需将工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要 个月.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　工程问题(模型观念、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P167例3拓展)为保障水果种植基地用水,现要修建灌溉水渠.计划修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙两个施工队合作完成.乙施工队每天比甲施工队多修建30米,甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米;
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元,乙施工队每天的修建费用为12万元,若先由甲施工队单独修建若干天,再由甲、乙两个施工队合作修建,恰好14天完成修建任务,求共需修建费用多少万元.
举一反三
某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成,甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
(2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元
重点2　行程问题(模型观念、应用意识)
【典例2】(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐甲型车比乘坐乙型车少用2小时,甲型车的平均速度是乙型车的平均速度的3倍,求乙型车的平均速度.
举一反三
1.(2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为 ( )
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
2.从珠海到深圳的距离大约为160 km,工作日与周末由于车流量不同,所以行驶的平均速度和所用的时间不同.工作日与周末的行驶速度比为3∶2,周末所用的时间比工作日多用了50 min.求周末从珠海到深圳的平均行驶速度是多少.
技法点拨
行程问题的三种时间关系
1.甲早走同时到:时间差=早走时间.
2.甲早走早到:时间差=早走时间-早到时间.
3.甲早走晚到:时间差=早走时间+晚到时间.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
金师傅近期准备换车,看中了两款车.其中一款燃油车的售价为10万元,另一款新能源车的售价为14万元.金师傅计划用车10年.导购人员给金师傅介绍说:“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.”面对燃油车与新能源车的利弊,假设你是金师傅,你该如何选择
(路程单位为千米,结果取整数)
燃油车
油箱容积:40升
油价:9元/升
续航里程:a千米
每千米行驶费用:元
新能源车
电池容量:60千瓦时
电价:0.6元/千瓦时
续航里程:a千米
每千米行驶费用: 元 18.5　分式方程
第2课时
　课时目标
1.掌握列分式方程解应用题的具体步骤.(模型观念、应用意识)
2.运用分式方程解决实际问题.(运算能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.某校学生去距离学校12 km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是(D) A.0.2 km/min　B.0.3 km/min　C.0.4 km/min　D.0.6 km/min 2.某市为了构建城市立体交通网络,决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成,需将工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要　30　个月.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　工程问题(模型观念、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P167例3拓展)为保障水果种植基地用水,现要修建灌溉水渠.计划修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙两个施工队合作完成.乙施工队每天比甲施工队多修建30米,甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米;
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元,乙施工队每天的修建费用为12万元,若先由甲施工队单独修建若干天,再由甲、乙两个施工队合作修建,恰好14天完成修建任务,求共需修建费用多少万元.
【解析】(1)设甲施工队每天修建x米,则乙施工队每天修建(x+30)米,
根据题意,得×=,解得x=60,
经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意,60+30=90(米),
答:甲施工队每天修建60米,乙施工队每天修建90米;
(2)设先由甲施工队单独修建m天,根据题意,得60m+(60+90)(14-m)=1 650,解得m=5,∴总修建费用为9×14+12×(14-5)=234(万元).
答:共需修建费用234万元.
举一反三
某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成,甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
(2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元
【解析】(1)设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队单独完成此项工程需要2x天,+=1,
解得x=30,经检验,x=30是原方程的解,
∴当x=30时,2x=60.
答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天,30天.
(2)设甲工程队单独施工y天,由题意得,y+(20-)×(1+2.5)≤64,解得y≥36.
答:甲工程队至少要单独施工36天.
重点2　行程问题(模型观念、应用意识)
【典例2】(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐甲型车比乘坐乙型车少用2小时,甲型车的平均速度是乙型车的平均速度的3倍,求乙型车的平均速度.
【自主解答】设乙型车的平均速度是x千米/时,则甲型车的平均速度是3x千米/时,根据题意得:-=2,解得x=100.
经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意.
答:乙型车的平均速度是100千米/时.
举一反三
1.(2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为 (D)
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
2.从珠海到深圳的距离大约为160 km,工作日与周末由于车流量不同,所以行驶的平均速度和所用的时间不同.工作日与周末的行驶速度比为3∶2,周末所用的时间比工作日多用了50 min.求周末从珠海到深圳的平均行驶速度是多少.
【解析】设周末从珠海到深圳的平均行驶速度为2x km/h,则工作日从珠海到深圳的平均行驶速度为3x km/h,
由题意得,-=,解得x=32.
经检验,x=32是原方程的解.当x=32时,2x=64.
答:周末从珠海到深圳的平均行驶速度是64 km/h.
技法点拨
行程问题的三种时间关系
1.甲早走同时到:时间差=早走时间.
2.甲早走早到:时间差=早走时间-早到时间.
3.甲早走晚到:时间差=早走时间+晚到时间.
素养　思维提升　入境深探
链接生活
金师傅近期准备换车,看中了两款车.其中一款燃油车的售价为10万元,另一款新能源车的售价为14万元.金师傅计划用车10年.导购人员给金师傅介绍说:“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.”面对燃油车与新能源车的利弊,假设你是金师傅,你该如何选择
(路程单位为千米,结果取整数)
燃油车
油箱容积:40升
油价:9元/升
续航里程:a千米
每千米行驶费用:元
新能源车
电池容量:60千瓦时
电价:0.6元/千瓦时
续航里程:a千米
每千米行驶费用:　　元
【解析】新能源车的每千米行驶费用为=(元),由题意得:-=0.54,解得a=600,经检验,a=600是原分式方程的解,则==0.6,==0.06,所以燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元.设10年行驶里程为x千米,则燃油车的总费用为(100 000+4 800×10+0.6x)元,
新能源车的总费用为(140 000+7 500×10+0.06x)元,
若100 000+4 800×10+0.6x>140 000+7 500×10+0.06x,
解得x>124 074,所以当这10年内总里程大于124 074千米时,选择新能源车实惠,当这10年内总里程小于124 074千米时,选择燃油车实惠,当这10年内总里程等于124 074千米时,选择燃油车和新能源车都可以.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 四十二”

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