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第15讲 拓展三：三角形周长（边长）与面积问题
题型01三角形周长（边）定值问题
【典例1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，将 代入，
，即，所以．
故.
（2）由于，
又为锐角，即.
，.
所以，结合解得.
故.
【典例2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）在中角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得
，
因为，
所以，
由于，所以，所以，
所以，又，故.
（2）由题得的面积，故①，
而，且，故②，
由①②得，，
所以.
【典例3】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且__________.
在①；②两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求；
(2)若外接圆的半径为的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①：由及正弦定理，得.，
.
又，
.
若选②：由，得.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）设外接圆的半径为，由正弦定理，得.
又，所以.
由，
可得，解得，
所以的周长为.
【变式1】（2023下·上海松江·高一统考期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，且，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
得，得，
因为，所以，所以.
（2）由（1）知，，又，所以，
因为的面积为，所以，得，
由余弦定理得，
所以.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求；
(2)若的面积为且，求的周长.
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）
，
因为，
所以，
解得；
（2）在中，由（1）可得，，
∵，即，
因为，则，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，
∴，则，
∴三角形周长.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，，，，的面积为．
(1)求；
(2)若，，求CD的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的面积为，即，
解得．
因为，所以，
所以，由余弦定理得，
，
所以
．
又，所以．
（2）方法一：
设，设，则．
由，得，所以．
在中，由余弦定理得，
，
即
将代入得．
由得或2．
当时，，与不符，
故，所以．
在中，由余弦定理得．
方法二：
以B为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意知，，，
由得，
则点D到BC的距离为，设，．
因为，
所以，
解得，即，所以．
题型02三角形周长（边）最值问题
【典例1】（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）.
(1)求；
(2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：,
所以
因为在内，有,所以，
所以,
所以,或，
即， 或，由，故.
（2）因为是角的内角平分线，且，
所以,即，
整理得：，所以，所以，
当且仅当时，上式取到最小值，
在中由余弦定理可得：，
所以周长：
，
当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为.
【典例2】（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角的值；
(2)已知点为的中点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为、，则，
由正弦定理可得，
所以，，故.
（2）解：因为为的中点，则，
所以，，
所以，，
由余弦定理可得，
所以，，，
由基本不等式可得，即，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【典例3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）由正弦定理：，
，
则，
又因为代入得：
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3．
【典例4】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)已知D为边上一点，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
于是，
由及正弦定理，
得，
因为，，，，
所以，
由，得.
（2）方法一：因为，
则
所以
，
则，
化简得：
∵，，∴
则，
故，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值是.

方法二：因为，
如图，可设，，，
在中，由余弦定理①，
在中，由余弦定理，
即：②，
得：
，
化简得，，
在中，由余弦定理，
即，则代入得，
，整理得，
∵，，∴
即，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值是.
【变式1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知内角、、的对边为、、（其中），若.
(1)求角的大小；
(2)若点是边上的一点，，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
，
即有，
∵，∴，则，而，∴.
（2）由余弦定理有
；
，
而，，∴，，
又，所以.
又由（1）∴，，设，，
则由正弦定理有，，且，
所以
，
故，当时取到.
【变式2】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，所以，
则由正弦定理可得，
即，，
所以的周长，
又在中，，
则，
又在中，，所以，
所以当时，周长取最大值为.
【变式3】（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．
(1)求；
(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，
则，
所以，
化简可得，
又在中，，所以，
则，即，
又，，
所以，，
所以；
（2）由（1）得，
设，则，
在中，由正弦定理得，
即，且，
即，
在中，
由余弦定理得，
即，
由，所以，
所以当，即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，而且.
(1)求；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将整理得：，
由余弦定理得，
因为，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
在中，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
即周长的最大值为.
题型03三角形周长（边）范围问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为锐角三角形，所以，，.
又因为，所以，
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，即，
解得，
所以，即，
所以的取值范围为.
（2）因为，由（1）知，，
由正弦定理，得
，
故的周长，
令，由（1）知，则，
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为.
【典例2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由正弦定理可得，
即，
因为，，故，，
又，故.
（2）
因为，故，
在中，，得，
在中，，得，
故，而，，
所以，
由题意知，，
故，即的取值范围为.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的外接圆半径为．
由正弦定理，得，，．
因为，则，
整理得，
由余弦定理得，即，
又因为，则，可得，所以．
（2）由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，则，解得，
则，可得，
所以的取值范围是．
【典例4】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因为为锐角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，
所以，，解得.
根据正弦定理可得，
，.
因为
，
所以，，
，
所以，.
因为，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周长的取值范围为.
【变式1】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
，解得：（舍）或，
.
（2），，
，又，，
，则，，
，
，，，，
又，周长的取值范围为.
【变式2】（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知的三内角所对的边分别是，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，且，
，
由正弦定理得，
，
即，
，；
（2）由余弦定理，得
，
当且仅当时取等号．
，故，又，
∴的取值范围是，
所以周长的取值范围是.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以.
【变式4】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为的内心，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，得：
即：，所以：，
又：，所以：，
又：，所以：，
所以：.
（2）因为，所以，
如图，连接，因为为的内心，所以：，
所以：，
设，则.
在中，由正弦定理得:，
所以：，
所以：，
其中：，
因为，所以不妨取，
又，所以，其中，
当时，取得最大值.
因为，所以，
又，所以，
综上，的取值范围是.

题型04三角形面积定值问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
化简得．
因为，，所以．
因为，所以．
（2）因为为的中点，所以，
等式两边平方得，
即①．
在中，由余弦定理得②，
联立①②解得，
所以．
【典例2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求：的值．
(2)求：的值．
(3)若，求：的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），由正弦定理得：
将这入上式得，由余弦定理可得.
（2），由，则，
又，即，，又，
又.
（3），由知：，由（2）可知，
又，
的面积为.
【典例3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角C；
(2)若的平分线交AB于点D，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意及正弦定理得．
又因为，
所以，
则，
所以.
又因为
所以，
所以，
则．
又，
所以．
（2）
因为CD平分，.
所以，
则.
设点到边的距离为.
则.
又因为，
所以，且，.
则在中，
在中，
由以上两个式子得：或.
当，时，，不符合题意．
当时，满足三角形三边关系，符合题意，此时.
所以.
【变式1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)已知，当取得最大值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由正弦定理以及，
可得，
则，
则，
所以，即，所以，即.
（2）解：由余弦定理可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，则的最大值为，此时，
所以的面积为.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)求外接圆的周长；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理可得，
且，则．
又因为，由正弦定理得外接圆的半径，
所以外接圆的周长为．
（2）在中，，，，
由正弦定理得，可得，
又因为，可知，可得，
则，
所以的面积为．
【变式3】（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列．
(1)若，求；
(2)若，当取得最小值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即，
即，
于是有
所以或，解得或（舍去）．
因为，，成等差数列，
所以．
由，得，
所以，即，
所以．
（2）由，得，
则，
当且仅当时，等号成立，
此时，
所以的面积．
题型05三角形面积最值问题
【典例1】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又由余弦定理可得，
，
，又，
（2）设边上的中线为，由向量关系可得，
，
，又，，
，
，(当且仅当时取等号)
所以面积的最大值为
【典例2】（2023上·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意：
则，
则，
则，
又由余弦定理得得，
所以
（2）由余弦定理得，又，所以
当即时取得最大值，即，
此时，又，满足构成三角形的条件，
故的最大值为.
【典例3】（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形中，.
(1)若，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由已知，得，
所以，所以.
在中，因为，所以，又，
由正弦定理得，得，
因为，所以，所以，所以.
（2）在中，由已知，
所以，
由余弦定理，
在中，因为，
又，所以
所以，
所以四边形的面积，
因为，所以，当，即时，，
故四边形面积的最大值为.
【变式1】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）内角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)是边上一点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由，根据正弦定理可得
因为B为三角形内角可知，，且，
所以，即
因为A为三角形的内角，，故；
所以，即.
（2）
是边上一点，且，所以；
如下图所示：

中，由余弦定理可得，
中，由余弦定理可得，
因为；
所以可得
整理可得，
中，由余弦定理可得；
联立两式可得，
当且仅当时取等号，此时
所以
所以面积的最大值为.
【变式2】（2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
即，
又，则，所以，
又因，所以；
（2）由余弦定理得，
即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最大值为．
【变式3】（2021上·四川资阳·高三阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，
所以
又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取等号
所以面积，
故面积S的最大值为．
题型06三角形面积范围问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，
得，
在中，由正弦定理得，
即，
再由余弦定理得，
又，所以；
（2）由是角的平分线，
则，
所以，
又，
所以，即，
所以，解得，即，
当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的取值范围是.
【典例2】（2023上·湖南常德·高二汉寿县第一中学校考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
（2）由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得．
又在中，，
所以，则，
又，则，所以，
又，所以.
（2）因为，则，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
故，则.
【典例4】（2023上·河北秦皇岛·高二校考开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B为锐角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
【变式1】（2023上·河北邢台·高三校联考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得.，
即.
因为在中，，
所以.
又是锐角，所以.
（2）由正弦定理得，
则，
所以
.
由，得，
所以，所以，
所以.
所以面积的取值范围为.
【变式2】（2023上·湖南湘西·高二校联考阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理得，
又因为，
可得，
且，则，可得，则，
又因为，则，可得，所以．
（2）由正弦定理，可得，
则面积
，
因为为锐角三角形，故，解得，
所以，则，可得，
所以的取值范围为．
【变式3】（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
(2)面积的取值范围为.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，，
所以，又，
所以，故，
所以，
又，所以，
所以，因为，
所以，故，
设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，又，
所以，
所以的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
（2）由三角形面积公式可得，的面积，
又，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
故面积的取值范围为.
【变式4】（2023上·福建福州·高二福州三中校考期中）已知在，角所对的边分别是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
整理可得，又，所以．
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以
又因为，可得，
所以（当且仅当时，等号成立），
可得，
由，,
即面积的取值范围是．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第15讲 拓展三：三角形周长（边长）与面积问题
题型01三角形周长（边）定值问题
【典例1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值．
【典例2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）在中角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的值.
【典例3】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且__________.
在①；②两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求；
(2)若外接圆的半径为的面积为，求的周长.
【变式1】（2023下·上海松江·高一统考期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，且，求a的值．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求；
(2)若的面积为且，求的周长.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，，，，的面积为．
(1)求；
(2)若，，求CD的长度．
题型02三角形周长（边）最值问题
【典例1】（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）.
(1)求；
(2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.
【典例2】（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角的值；
(2)已知点为的中点，且，求的最大值.
【典例3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【典例4】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)已知D为边上一点，，且，求的最小值.
【变式1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知内角、、的对边为、、（其中），若.
(1)求角的大小；
(2)若点是边上的一点，，，求的最大值.
【变式2】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
【变式3】（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．
(1)求；
(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，而且.
(1)求；
(2)求周长的最大值.
题型03三角形周长（边）范围问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求周长的取值范围.
【典例2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
【典例4】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【变式1】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
【变式2】（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知的三内角所对的边分别是，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形周长的取值范围．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【变式4】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为的内心，求的取值范围.

题型04三角形面积定值问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的面积．
【典例2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求：的值．
(2)求：的值．
(3)若，求：的面积．
【典例3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求角C；
(2)若的平分线交AB于点D，且，求的面积．
【变式1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)已知，当取得最大值时，求的面积.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)求外接圆的周长；
(2)若，求的面积．
【变式3】（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列．
(1)若，求；
(2)若，当取得最小值时，求的面积.
题型05三角形面积最值问题
【典例1】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．
【典例2】（2023上·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
【典例3】（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形中，.
(1)若，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
【变式1】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）内角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)是边上一点，且，求面积的最大值．
【变式2】（2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【变式3】（2021上·四川资阳·高三阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
题型06三角形面积范围问题
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
【典例2】（2023上·湖南常德·高二汉寿县第一中学校考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
【典例4】（2023上·河北秦皇岛·高二校考开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
【变式1】（2023上·河北邢台·高三校联考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【变式2】（2023上·湖南湘西·高二校联考阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的取值范围．
【变式3】（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式4】（2023上·福建福州·高二福州三中校考期中）已知在，角所对的边分别是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
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