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第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末题型大总结
题型01平面向量的线性运算及坐标运算
【典例1】（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】..
故选：C
【典例2】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）如图，已知两个单位向量和向量 与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，
又，结合三角函数的定义易得，
而，
，
所以，
故，
即.
故选：D

【典例3】（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知点及平面向量，，．
(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）,
因为点P在x轴上，
所以，解得.
（2），，
又因为，
所以，
解得.
【变式1】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
因为C，P，D三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
.
故选：C
【变式2】（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知向量，，，若，则等于
【答案】
【详解】，，，
，即，即，解得.
故答案为：.
【变式3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．

【答案】
【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，

∵．
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
综上，，
故答案为：
题型02平面向量的共线及其推论
【典例1】（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，
由题设，又共线，
所以，即，注意，

由
，当且仅当，即时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
【典例2】（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角 .
【答案】
【详解】因为向量共线，
所以，即，
在中，由余弦定理得，，又，所以.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若，方向相反，则 ．
【答案】
【详解】因为，，且，方向相反，
所以可设，
则，解得或（舍去），
所以，．
故答案为：.
【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．-6 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】由向量，
因为，所以
所以．
故选:C.
【变式2】（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为 .
【答案】
【详解】由，，，
可得 ，解之得
故答案为：
【变式3】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】因为，所以，得.
又是的中点，，，
所以.
因为三点共线，所以，即，且，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故答案为：
题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）
方法一：定义法
【典例1】（2023下·北京西城·高一统考期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选：A
【典例2】（2023下·四川巴中·高一统考期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设，则，因为，
所以，
又，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：D
【变式1】（2023下·湖北武汉·高一校联考阶段练习）在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意设（），
因为点为的中点，所以，
所以
，
令，则对称轴为，
所以在上递增，
所以，即，
所以的取值范围是，
故选：B

方法二：坐标法
【典例1】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知向量，，则 .
【答案】5
【详解】向量，，则，
.
故答案为：5
【典例2】（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意不妨令，，设，
可得，
则.
故选：B.
【变式1】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
【答案】0
【详解】∵，，∴，
∴.
故答案为：0.
【变式2】（2023上·北京·高三中关村中学校考阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，所以，
所以.
故选：A.
方法三：极化恒等式法
【典例1】（2023下·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分别取线段、的中点、，连接、，
则，
所以，，
所以，点在以线段为直径的半圆弧上，如下图所示：
当点为线段与半圆弧的交点时，取最小值，
结合图形可知，，故，
同理可得，
故选：B.
【典例2】（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，

因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，
所以.
故选：A
【变式1】（2023下·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，易得，即可求得的最小值为.
【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示：

设为的中点，
则；
所以当取最小值时，取得最小值；
，
所以.
故选：C
方法四：几何意义法
【典例1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知得．
如图：作于，则就是在上的射影，且．

根据数量积的几何性质可知．
同理可得，
故．
故选：A．
【典例2】（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ．
【答案】【详解】正六边形中，过点作于，

则，，，
，
由图可知，在方向上的投影的取值范围是，
所以，，
即，故的取值范围为.
故答案为：.
【变式1】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点.
因为，，,所以.
由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1，
当在点处时，在上的投影有最小值，
又因为，所以的取值范围是.
故选：D
方法五：自主建系法
【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，
故选：A.
【典例2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ．
【答案】 1
【详解】过点作⊥于点，
因为，故，故为的中点，
故，
以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，
解得，
故，，
设，，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：1，
【变式1】（2023下·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】连接AF，因为，故，
因为，故，
故，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则
在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，
等于的模与在方向上的投影的乘积，
又，∴的最大值为，
故选：C ．
题型04平面向量的夹角（锐角，钝角，直角）
【典例1】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为，，
向量与夹角为锐角，即需且与不共线，
得，解得：，
所以“”是“向量与的夹角为锐角”的充要条件.故C项正确.
故选：C.
【典例2】（2020下·甘肃张掖·高一山丹县第一中学校考期中）已知向量（1，2），（1，1），若与的夹角为直角，则实数λ＝ ，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
【答案】
【详解】（1）因为，故可得，
又因为与的夹角为直角，故可得，
即，解得；
（2）令，即可得，
解得；
当与的夹角为时，不妨设，
故可得，
即，，
解得，；
故要满足与的夹角为锐角，
只需.
故答案为：；.
【典例3】（2023下·高一单元测试）已知，分别确定实数的值或取值范围，使得：
(1)与的夹角为直角；
(2)与的夹角为钝角；
(3)与的夹角为锐角.
【答案】(1)
(2)
(3)且
【详解】（1）已知与的夹角为直角，所以，解得.
（2）已知与的夹角为钝角，则，且与不反向，
即，解得.
当与共线时，，即，此时.
所以.
（3）当与的夹角为锐角时，则，且与不同向，
即，解得.
当与共线时，，，
所以且.
【典例4】（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：.
【变式1】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由已知可得，由可得，解得，
所以由与的夹角为钝角可得解得，且.
因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.
综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B．
【变式2】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，且与的夹角为钝角，
所以，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，
所以，
综上可得且，即的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（2023下·内蒙古呼和浩特·高一内蒙古师大附中校考阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为与的夹角为钝角，所以，
即，所以，解得，
同时向量，也不能成的角， 所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式4】（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得.
（2）解：当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是.
题型05求向量的夹角（定值，最值，范围）
【典例1】（2023·四川内江·统考一模）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，又，所以，得到，
所以，得到，
所以，
故选：B.
【典例2】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解法一 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，
∴，，∴，∴，
则，∴，
故选：A．

解法二 设，，则，，，，
，
∴，
，，
∴，
故选：A．
【典例3】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为单位向量，的夹角为，
则，
所以，
又，
所以，
当取最大值时，必有，
则，
又，，则，所以，
所以，
故的最大值为.
故选：D．
【典例4】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，为单位向量，则，即，
，得，
令，
，
，
，
，
有，
由，则，即，得，
，即.
故答案为：
【变式1】（2023下·广西河池·高一统考期末）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以，
则，即恒成立.
所以，解得，
因为，所以，
故，的夹角的取值范围是.
故选：A.
【变式2】（2022·高一课时练习）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为关于的方程有实根，
所以，所以，
因为均是非零向量，且，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
【变式3】（2023下·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期末）若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】由题意可知：，
因为在上的投影向量为，所以，
可得，
，
，
所以，
故答案为：.
【变式4】（2023下·河北保定·高一统考期末）已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，即，所以三点共线，
又为的外心，所以为直角三角形，
且，为斜边的中点，，，
过作的垂线，垂足为，如图：
则向量在向量上的投影向量为，且，

，
，
所以，
因为，所以当时取得最小值为.
故选：B
题型06向量的模与距离（定值，最值，范围）
【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（ ）
A．49 B．19 C．7 D．
【答案】C
【详解】由题意得，
故，
故选：C
【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】BD
【详解】因为平面向量两两夹角相等，即两两夹角为或．
当两两夹角为时，；
当两两夹角为时，
，
则．
综上，或，
故选：BD．
【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数x的值为 ．
【答案】
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
所以,
当时，的值最小.
故答案为：.
【典例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【答案】
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
【变式1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是 .
【答案】/
【详解】
设，，
，点是的重心，
，
．∴是直角三角形，
又∵，即，
以A为原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，，则且，
，，
故
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
【变式2】（2020上·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知向量满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由向量满足，
设，则，设向量，其中，
联立方程组，解得，
可得，
因为，可得，所以，可得
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式3】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 .
【答案】/0.2
【详解】，
由于，
故当时，此时取最小值，
故答案为：
【变式4】（2023上·上海松江·高三校考期中）已知单位向量的夹角为. 若，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由已知，，
，
.
故答案为：
题型07平面向量与其它知识的交汇题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】由已知，所以圆的外接圆直径为，
因为，
所以，
所以，
因为，即，所以时，取到最小值．
故选：D．
【典例2】（2023上·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ．
【答案】
【详解】当时，取得最大值，
又，如图所示，
，
设，，
则，
所以，即，解得，
故，或，
，
或，
故答案为：
【典例3】（2022上·山西忻州·高三校考期末）已知锐角中，三个内角为A、B、C，两向量，．若与是共线向量．
(1)求的大小；
(2)若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）解：因为与是共线向量，
故，
整理得，，
即，
因为为锐角三角形，
所以，故；
（2）令，
因为，所以，
故
，
因为为锐角三角形，
所以，故，解得，
所以，所以，
因为恒成立，
所以，，
故的最小值为2.
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意x，，（，），则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】
当且仅当时取到最小值1，两边平方即
在时，取到最小值1，
，
∴，
可得.
.
故选：A.
【变式2】（2023上·上海虹口·高三统考期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ．
【答案】3
【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点，
以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，

由对任意的，均有，得向量、、是以为起点，
各边中点为终点的向量，则，
所以.
故答案为：3
【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知向量，函数．
(1)求的解析式与单调递增区间；
(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【详解】（1），，
所以
，即．
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（2）当时，，
所以，
又当时，恒成立，所以，
即实数m的取值范围为．
题型08利用正（余）弦定理解三角形
【典例1】（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故选：B.
【典例2】（多选）（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且，则为等边三角形
C．若，则是等腰三角形
D．在中，，则使有两解的的范围是
【答案】DBD
【详解】对A，即，即，
因为，故原式成立，故A正确；
对B，则，即，
故，由可得.
又可得，
即，故，由可得.
故，则为等边三角形，故B正确；
对C，当时，满足，则或，
所以或，故不一定为等腰三角形，故C错误；
对D，要使有两解，则需，故，即，故D正确.

故选：ABD
【典例3】（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

【答案】
【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以．
又因为在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因为，所以为锐角，所以，
则，
又，所以．
故答案为：.
【典例4】（多选）（2021下·湖北·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BD
【详解】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；
选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；
选项D，根据已知可解出，，
∴三角形有唯一解.
故选：BD.
【变式1】（多选）（2019下·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】BD
【详解】选项A，当时，则，
满足，即不一定是等腰三角形，可能为直角三角形，故A项错误；
选项B，由大角对大边可得，，
由正弦定理，得，
则，即，故B项正确；
选项C，由正弦定理得，即，
又，则，故为锐角，
由此唯一确定，边也唯一确定，故有唯一解，故C项错误；
选项D，已知，
由正弦定理得，则，
所以，则角为钝角，
故是钝角三角形，D项正确.
故选：BD.
【变式2】（多选）（2023下·山西大同·高一校考阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若是直角三角形，则
【答案】DCD
【详解】对于A：若，则，结合正弦定理得，故A正确；
对于B：若，由正弦定理可得，
所以，故或，
即或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：若三角形为锐角三角形，则，故，
同理可得，，
三式相加得，故C正确；
对于D：若是直角三角形，不妨设为直角，则，
由正弦定理可得，所以，
所以，又，所以，则，
同理可证或为直角时也成立，故D正确．
故选：ACD．
【变式3】（2022下·福建福州·高一校联考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= .
【答案】
【详解】在中，由正弦定理可得：，
所以①，
在中，由正弦定理可得：，
所以②，
又因为，所以由①②可得：，
解得：，
所以在中，由余弦定理得：
，
解得：.
故答案为: .
题型09三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题
【典例1】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由余弦定理可得，整理可得，
由正弦定理可得
，
因为、，则，
因为正弦函数在上单调递增，所以，，所以，，
则，
因为为锐角三角形，则，解得，则，
所以，
，
令，则函数在上为增函数，
故，
故选：D.
【典例2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，点是线段上的一点，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为．由正弦定理得．即．
由余弦定理得．
又．所以．
（2）因为．所以，又，
所以，即．
在中，由余弦定理得，
所以．
解得或（舍）．
所以的周长．
【典例3】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若，的内心为I，求周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，则由余弦定理，，
又，所以．
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，即，
因为，因此，即，又，所以．
（2）
如图，由（1）知，，有，
因为的内心为，所以，于是．
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为，
由，得，所以，
所以周长的取值范围为．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，
，
则，又,
所以
（2）因为，
所以,
则
，
因为三角形为锐角三角形，
所以,解得，
令，所以，
所以.
【典例5】（2023上·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.

(1)若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和；
(2)若，且，设，求对角线的最大值和此时的值.
【答案】(1)，
(2)当时，对角线长的最大值为
【详解】（1）解：因为的面积，即，
整理可得，所以，，
又因为，则，设，则，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，则，所以，，
因为，则，所以，，
因为，则，所以，，解得，即.
（2）解：因为，则，其中，
则，
由余弦定理可得
，则，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，，故，故为等腰直角三角形，
则，
所以，
，
易知，则，
故当时，即当时，取最大值，且最大值为.
【变式1】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 .
【答案】
【详解】由，可得，
由正弦定理可得，，而，
整理得，
即，，
，所以上式变为，
又，，
因为，所以，解得，
又由余弦定理可得，，解得，
，.
故答案为：.
【变式2】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证法一：因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，
所以，
由正弦定理得，即；
证法二：因为，
所以，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
由正弦定理可得，即.
（2）由上可知，则，解得，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
故，
则，
，
由于，，，
∴.
【变式4】（2023上·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求外接圆半径.
(2)求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设外接圆半径为，
因为，,，
所以，则，
即，整理得，
所以由余弦定理可得，，
因为，所以，
故外接圆半径.
（2）因为，
所以，即，
又因为，，
所以，即，当且仅当等号成立.
又因为，，
故的周长的最大值为．
题型10三角形(四边形）中面积的定值，最值，范围问题
【典例1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求；
(2)若D是边上一点，，且，求的面积，
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
将代入得，，
化简得，即，
则；
（2）由（1）知，则，
则在中，由，解得，
所以，解得，则，
故的面积.

【典例2】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知中，在线段上，．
(1)若，求的长；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在线段上，，
所以，又，，
在中，，即，
则，又，所以，则，
在中，
，
所以．
（2）在中，，
所以，
则，当且仅当时，等号成立．
所以，即的最大值为．
因为，所以，
故的最大值为．
【典例3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.

(1)求B；
(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题设及余弦定理，
由，且，则.
（2）由（1）及已知：，即，
所以为等边三角形，令且，
而，等腰的顶角为，且，
所以，则，
所以四边形面积，
故，
而，故仅当时.
【典例4】（2023下·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，即；
（2）法一：由及（1）知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，.
由（1）知，
所以，
因为在上单调递增，
故，故，
故，
从而.
因此面积的取值范围是；
法二：因为，，
由余弦定理得，即，故，
为锐角三角形，则，即，
由①得，解得，
由②得，解得或（舍去），
综上，
所以.
【变式1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设，
(1)求角；
(2)若，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
整理得，
可得，
即，
因为，则，所以，
可得，即，
又因为，可得，所以，所以.
（2）解法一：在中，由余弦定理得，即，①
因为，所以且，即，
在和中，由余弦定理可得，
即，即，②
联立①②消去，可得，
因为，当且仅时，等号成立，所以，即，
所以的面积.
故面积最大值为.
解法二：延长至，使，连，则且，
可得，
在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的面积.
故面积最大值为.

【变式2】（2023上·全国·高三校联考开学考试）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
又，所以，
因为，所以，则，所以.
（2）由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，所以，
因为，
又的最大值为，所以面积的最大值为，当且仅当时取最大值.
【变式3】（2023下·内蒙古·高二校联考期末）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．

(1)求的周长；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，解得．
故的周长为．
（2）由，，，四点共圆可得：，
在中，由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立．
所以，
所以．
故面积的最大值为.
【变式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由条件及正弦定理得，
，，，
.
（2），由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，
，
所以的面积的最大值为.
题型11三角形中的中线问题
方法一：中线向量化
【典例1】（2023·河南·统考三模）在中，角的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线，求三角形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，中，满足，
根据正弦定理，可得，
因为，可得，所以，
又由，解得，，
又因为，所以．
（2）因为若边上的中线，可得，即，
即
所以，当且仅当时成立．
故面积的最大值为.
【典例2】（2023上·江苏南京·高三期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为的中点，求中线长的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）因为，所以，
则.
因为，
所以，
又，所以，
由题意知，所以.
（2）因为为的中点，所以，
则，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
则，当且仅当取等号，即，
所以，即中线长的最大值为.
【变式1】（2023上·湖南岳阳·高二湖南省平江县第一中学校考阶段练习）已知的角所对的边分别是，且.
(1)求b；
(2)若是的中线，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即，
由正弦定理，得，
因为，所以，所以.
（2）因为是的中线，所以，
又，，设，
则，
即，解得，即，
所以的面积为.
【变式2】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，AC边上的中线，求的面积S．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
因为，所以
（2）
方法二：角互补
【典例1】（2023·福建三明·高一校联考期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
【答案】
【详解】记的中点为，连接，如图，
因为，，
所以在中，，则，
又因为，边上的中线长度为，即，
故由余弦定理得，整理可得，
所以.
故答案为：.
【典例2】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______．
在①CM为的一条中线；
(1)求边长AB；
(2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由倍角公式可得，则，
又因为，则，
所以，即．
且，则，可得，
又因为，所以．
若选择①：若CM为的中线，设，
由余弦定理可得，，
因为，可得，
即，整理得，可知，
又因为，解得或（舍去），
所以；
（2）设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，解得，
所以，
由题意可知：，所以的周长，
所以的面积．
设内切圆的半径为r，则，解得，
可得，所以．
【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】解：如图所示：
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
两式相加得，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
【变式2】4．（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，已知角、、所对的边分别为、、，，，在下列条件中选择一个，判断是否存在．如果存在，那么求出的面积；如果不存在，那么请说明理由．
①边的中线长为；
【答案】条件选择见解析，答案见解析
【详解】解：因为，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理得，所以，
即，
因为，所以，，所以，所以.

选择①：边的中线长为，
在中，，（i）
在中，，（ii）
因为，所以，，
所以，，
（i）+（ii）可得，即，
因为，所以，解得或，
所以存在，所以，的面积为；
题型12三角形中角平分线问题
【典例1】（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．或3
【答案】D
【详解】由，因为，可得，
又由边上的角平分线，所以，
在中，可得，
在中，可得,
因为，且，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
又由，即，
因为，可得，即，可得，
所以.
故选：A.

【典例2】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，，的角平分线交于，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
由正弦定理得，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，∴.
（2）由余弦定理得，，
∴，解得或（舍去），
由，
∴，
∴.

【变式1】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 .
【答案】/
【详解】因为的角平分线交于点，且，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，且，所以，
可得，所以，
又因为，且，为角的平分线，
可得，
因为，且，
可得，解得，
所以.
故答案为：.

【变式2】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，
(1)若，，求c；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示，

，
，，
，
，
在中，由正弦定理得，即，
（2），是的角平分线，如图所示，

则，
由得，
又，所以，
在中，由余弦定理得，则，
设的周长为l，则，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
即：，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，所以的周长最小值为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末题型大总结
题型01平面向量的线性运算及坐标运算
【典例1】（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）如图，已知两个单位向量和向量 与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）

A． B． C．1 D．
【典例3】（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知点及平面向量，，．
(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；
(2)当时，求实数k的值．
【变式1】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A． B．3 C． D．
【变式2】2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知向量，，，若，则等于
【变式3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．

题型02平面向量的共线及其推论
【典例1】（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例2】（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角 .
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若，方向相反，则 ．
【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．-6 B．0 C． D．
【变式2】（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为 .
【变式3】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为 .
题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）
方法一：定义法
【典例1】（2023下·北京西城·高一统考期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

【典例2】（2023下·四川巴中·高一统考期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·湖北武汉·高一校联考阶段练习）在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

方法二：坐标法
【典例1】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知向量，，则 .
【典例2】（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
【变式2】（2023上·北京·高三中关村中学校考阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
方法三：极化恒等式法
【典例1】（2023下·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【变式1】（2023下·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．

方法四：几何意义法
【典例1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ．

【变式1】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法五：自主建系法
【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ．
【变式1】（2023下·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（ ）

A．1 B． C． D．
题型04平面向量的夹角（锐角，钝角，直角）
【典例1】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2020下·甘肃张掖·高一山丹县第一中学校考期中）已知向量（1，2），（1，1），若与的夹角为直角，则实数λ＝ ，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
【典例3】（2023下·高一单元测试）已知，分别确定实数的值或取值范围，使得：
(1)与的夹角为直角；
(2)与的夹角为钝角；
(3)与的夹角为锐角.
【典例4】（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【变式1】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【变式3】（2023下·内蒙古呼和浩特·高一内蒙古师大附中校考阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
【变式4】（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
题型05求向量的夹角（定值，最值，范围）
【典例1】（2023·四川内江·统考一模）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【典例4】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【变式1】（2023下·广西河池·高一统考期末）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022·高一课时练习）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期末）若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为 ．
【变式4】（2023下·河北保定·高一统考期末）已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
题型06向量的模与距离（定值，最值，范围）
【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（ ）
A．49 B．19 C．7 D．
【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数x的值为 ．
【典例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【变式1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是 .
【变式2】（2020上·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知向量满足，则的取值范围是 ．
【变式3】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 .
【变式4】（2023上·上海松江·高三校考期中）已知单位向量的夹角为. 若，则的取值范围是 .
题型07平面向量与其它知识的交汇题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【典例2】（2023上·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ．
【典例3】（2022上·山西忻州·高三校考期末）已知锐角中，三个内角为A、B、C，两向量，．若与是共线向量．
(1)求的大小；
(2)若恒成立，求的最小值．
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意x，，（，），则（ ）
A． B． C． D．3
【变式2】（2023上·上海虹口·高三统考期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ．
【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知向量，函数．
(1)求的解析式与单调递增区间；
(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
题型08利用正（余）弦定理解三角形
【典例1】（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例2】（多选）（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且，则为等边三角形
C．若，则是等腰三角形
D．在中，，则使有两解的的范围是
【典例3】（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

【典例4】（多选）（2021下·湖北·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1】（多选）（2019下·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【变式2】（多选）（2023下·山西大同·高一校考阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若是直角三角形，则
【变式3】（2022下·福建福州·高一校联考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= .
题型09三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题
【典例1】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，点是线段上的一点，，求的周长．
【典例3】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若，的内心为I，求周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【典例5】（2023上·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.

(1)若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和；
(2)若，且，设，求对角线的最大值和此时的值.
【变式1】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 .
【变式2】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【变式4】（2023上·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求外接圆半径.
(2)求周长的最大值．
题型10三角形(四边形）中面积的定值，最值，范围问题
【典例1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求；
(2)若D是边上一点，，且，求的面积，
【典例2】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知中，在线段上，．
(1)若，求的长；
(2)求面积的最大值．
【典例3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.

(1)求B；
(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值．
【典例4】（2023下·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设，
(1)求角；
(2)若，且，求面积的最大值.
【变式2】（2023上·全国·高三校联考开学考试）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【变式3】（2023下·内蒙古·高二校联考期末）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．

(1)求的周长；
(2)求面积的最大值．
【变式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC的面积的最大值.
题型11三角形中的中线问题
方法一：中线向量化
【典例1】（2023·河南·统考三模）在中，角的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线，求三角形面积的最大值．
【典例2】（2023上·江苏南京·高三期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为的中点，求中线长的最大值.
【变式1】（2023上·湖南岳阳·高二湖南省平江县第一中学校考阶段练习）已知的角所对的边分别是，且.
(1)求b；
(2)若是的中线，且，求的面积.
【变式2】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，AC边上的中线，求的面积S．
方法二：角互补
【典例1】（2023·福建三明·高一校联考期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
【典例2】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______．
在①CM为的一条中线；
(1)求边长AB；
【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为 .
【变式2】（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，已知角、、所对的边分别为、、，，，在下列条件中选择一个，判断是否存在．如果存在，那么求出的面积；如果不存在，那么请说明理由．
①边的中线长为；

题型12三角形中角平分线问题
【典例1】（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．或3

【典例2】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，，的角平分线交于，求的值.

【变式1】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 .

【变式2】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，
(1)若，，求c；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．
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