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第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
课程标准 学习目标
①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。 ②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题；
知识点01：平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，故.
故答案为：-5
知识点03：向量模的坐标表示
（1）向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，解得，所以，所以．
故选：C．
（2）两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
（3）向量的单位向量的坐标表示
设，表示方向上的单位向量
知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ．
【答案】/0.5
【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.
故答案为：
题型01 平面向量数量积的坐标表示
【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】B
【详解】正六边形中，每个内角都是，，有，
以为原点，为轴， 为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，，，则有，
所以，，，
，，
由平面向量数量积的运算可得.
故选：B．
【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
【答案】0
【详解】∵，，∴，
∴.
故答案为：0.
【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则由题意可得，
解得，
所以，
故选：D
【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则 .
【答案】
【详解】如图，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（），
则，
，
，所以（负值舍去），
即有，
故答案为：.
题型02 向量垂直的坐标表示
【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由.
因为，所以．
故选:A.
【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则 ．
【答案】9
【详解】，，则，，
，则，解得.
故答案为：
【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则 ．
【答案】
【详解】，则，
由，所以，解得．
故答案为：
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】，，，
解得.
故选：A.
题型03 利用向量的数量积求参数
【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
即，解得，
，解得．
故选：D
【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数 ．
【答案】0
【详解】由题意可得，
故，
即，
故答案为：0
【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【详解】因为，则，即，
整理可得，
又因为向量，，则，解得.
故答案为：.
【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
题型04 向量的投影
【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，所以，
则在上的投影向量的模为
，
则在上的投影向量为.
故选：A．
【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【答案】
【详解】因为，，
则，，
又，所以，
即，解得，
所以，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：
【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为 .
【答案】
【详解】向量，，
则在方向上的投影为.
故答案为：
【变式2】（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】因为向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：.
故答案为：.
题型05 向量的模
【典例1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由平面向量，可得，
由，可得，即，则，
所以.
故选：C．
【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】由题意，可得，则，
又由，可得，
则，解得，
即，所以.
故选：B.
【变式1】（2023上·河北唐山·高三统考期中）已知向量，满足，，，则等于 ．
【答案】
【详解】因为向量，满足，，，
所以，解得，
所以，
故答案为: .
【变式2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知向量，，若，则 .
【答案】
【详解】因为，，
则，，
又，
即，
解得，
则
故答案为：
题型06 向量的夹角
【典例1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： 且与不共线，
即，解得：且，
所以实数的范围是，
故选：C.
【典例2】（2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知向量，．
(1)若向量与垂直，求k的值
(2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）依题意得：，，
∵向量与垂直，
∴，解得．
（2）由（1），，
∵向量与的夹角为锐角，
∴且．
解得且.
∴k的取值范围是．
【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ ）
A． B．(，4)
C． D．( ，1 )
【答案】D
【详解】因向量的夹角为锐角，则，
且不共线，即.
综上可知，或.
故选：A
【变式2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）已知向量，．
(1)若，试判断向量与是否垂直；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)向量与不垂直；
(2)
【详解】（1）若，则，，
故，
∴，所以当时，向量与不垂直；
（2）由题意知，，
向量与的夹角为钝角，∴，解得，
当与反向时，有，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是．
题型07 向量数量积的最值（范围）问题
【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，
故选：A.
【典例2】（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

【答案】
【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点，，，
设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，
易知外接圆的半径为，
所以点，则，
所以，
因为，所以.
即的取值范围为.
故答案为：

【变式1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则点、、，
设点，，，，
且，则，可得，
由于点在正内，则，可得，则，
可得，，
，
所以当时，取最小值.
故选：C.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以．

设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备）
则，所以，得，
所以，所以，．
所以，
所以当时，取得最小值，为．
故选：A
题型08向量模的最值（范围）问题
【典例1】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
【答案】
【详解】设，
则由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
当时，取得最小值，
此时，即.
故答案为：.
【典例2】（2023下·河南周口·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点,，
(1)求的值；
(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）因为,，所以，
故.
因为，所以.
（2），
，
，
因为，所以当时，取得最小值为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意得，，则，
所以，又，所以，
于是，
由于，故当时，的最小值是.
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，即，得，
所以．
由题知，又，
所以当时，取得最小值，最小值为5，
当时，取得最大值，最大值为25，
故的取值范围为．
故答案为：；
题型09向量夹角最值（范围问题）
【典例1】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
【典例2】（2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由且，则，构建如下平面直角坐标系，
G为原点，结合中线可令，，，则，，
∴，
由，当且仅当时等号成立，
所以，仅当时等号成立，即的最小值为.
故答案为：
【变式1】（2021下·江苏·高一期中）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即得.
【详解】向量，，由，得，所以.
故选：D
2．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两边平方可得，带入即可得解,
【详解】因为，
等式两边平方得，
又，所以，
解得.
故选：D.
3．（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】在上的投影向量为．
故选：B.
4．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知向量，，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解.
【详解】因为，所以即，所以，
所以，
故选:D.
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.
【详解】设，因为，，
所以，即①．
又因为，所以，
即，即②．
联立①②可得或，
所以或，所以.
故选：B
6．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以，
则.
故选：C
7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】先求出向量的模，然后由数量积定义结合三角函数有界性可得的最大值，然后可解.
【详解】由题知，，
所以，当同向时等号成立，
所以，要使恒成立，只需，解得或.
故选：B
8．（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，即，
故，，
则，
则，
因为，所以，，
故.
故选：B
二、多选题
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．当时，向量在向量方向上的投影向量为
D．若或，则与夹角为钝角
【答案】DC
【分析】根据向量的坐标运算逐个判断即可.
【详解】对于A：若，则，
解得或，A正确；
对于B：，若，则，
即，解得，所以B错误；
对于C：当时，，
所以向量在向量方向上的投影向量为，C正确；
对于D：当时，，，
此时与的方向相反，此时与夹角为，D错误，
故选：AC
10．（2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试）若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.
【详解】由题向量，
可得，可得，所以，所以AC错误，B正确；
又由，，所以，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2023·贵州黔东南·统考一模）向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】
【分析】根据投影向量公式可得，然后由向量模的坐标表示可得.
【详解】因为，
所以向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，
所以.
故答案为：
12．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则 .
【答案】
【分析】以图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系.写出各点坐标进而求得向量的坐标，即可求得数量积.
【详解】因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.
以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
所以.
故答案为：
四、解答题
13．（2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，向量.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）设，由题意知，
因为，所以，
又因为，所以，
所以或.
（2）由题意，则，
当与共线时，，
因为与的夹角为锐角，
所以，
解得，且，
所以与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
14．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）给定三个平面向量．
(1)求的大小；
(2)若向量与向量共线，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
则，
所以，
因为，所以；
（2），
，
因为向量与向量共线，所以，
解得．
B能力提升
1．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
2．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，
则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．
故选：C．
3．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】根据题意设，可得，
所以，
设向量夹角为，
则，
设，得，代入，
整理得，
由，得，
即，
解得，
则当时，有最大值，
此时有最小值，
由于，可知最小时角最大，所以最大夹角的余弦值为.
故答案为:.
C综合素养
4．（2023下·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动，则 ；的最小值是 ．

【答案】 /
【详解】
以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，，
设，，
则；
因为，所以，，
所以时，则，此时最大为.
故答案为：；
5．（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点C是线段AB上靠近点B的三等分点．
(1)证明：；
(2)已知，且，设函数，求函数的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）由题意知三点共线且则可表示为
可得，
移项可得：
（2）∵，，，
∴
，
∴，，
即，
∵，∴，则开口向下对称轴为，
则函数在区间，单调递增,
故
6．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量，且．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若，且的最小值为．求实数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
（2）
，
因为，所以，所以.
（3）由（1）（2），可得，
，
因为，所以，
设,则，，
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾；
②当时，当且仅当时，取得最小值，
由已知得，解得（，舍），
③当时，当且仅当时，取得最小值，
由已知得，解得，这与相矛盾．
综上所述，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
课程标准 学习目标
①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。 ②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题；
知识点01：平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，故.
故答案为：-5
知识点03：向量模的坐标表示
（1）向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，解得，所以，所以．
故选：C．
（2）两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
（3）向量的单位向量的坐标表示
设，表示方向上的单位向量
知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ．
【答案】/0.5
【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.
故答案为：
题型01 平面向量数量积的坐标表示
【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则 .
题型02 向量垂直的坐标表示
【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则 ．
【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则 ．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
题型03 利用向量的数量积求参数
【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数 ．
【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则 ．
【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 向量的投影
【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为 .
【变式2】（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
题型05 向量的模
【典例1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】（2023上·河北唐山·高三统考期中）已知向量，满足，，，则等于 ．
【变式2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知向量，，若，则 .
题型06 向量的夹角
【典例1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知向量，．
(1)若向量与垂直，求k的值
(2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围
【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ ）
A． B．(，4)
C． D．( ，1 )
【变式2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）已知向量，．
(1)若，试判断向量与是否垂直；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
题型07 向量数量积的最值（范围）问题
【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

【变式1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
题型08向量模的最值（范围）问题
【典例1】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
【典例2】（2023下·河南周口·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点,，
(1)求的值；
(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ．
题型09向量夹角最值（范围问题）
【典例1】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 .
【变式1】（2021下·江苏·高一期中）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知向量，，若，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
6．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．当时，向量在向量方向上的投影向量为
D．若或，则与夹角为钝角
10．（2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试）若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2023·贵州黔东南·统考一模）向量在向量上的投影向量为，则 .
12．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则 .
四、解答题
13．（2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，向量.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
14．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）给定三个平面向量．
(1)求的大小；
(2)若向量与向量共线，求实数的值．
B能力提升
1．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ．
C综合素养
4．（2023下·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动，则 ；的最小值是 ．

5．（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点C是线段AB上靠近点B的三等分点．
(1)证明：；
(2)已知，且，设函数，求函数的最小值.
6．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量，且．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若，且的最小值为．求实数的值．
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