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第07讲 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
课程标准 学习目标
①借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ②掌握两个向量加、减运算的坐标表示。 ③掌握平面向量数乘运算的坐标表示。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 ⑤能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。 1.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养； 2.熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养； 3.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.；
知识点01：平面向量的正交分解
（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.
知识点02：平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，
对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应
②两向量相等时，坐标一样
③，，
④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标
【即学即练1】（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标.
【详解】根据平面直角坐标系，可知，，
∴，.
故选：C.
（2）点的坐标与向量的坐标的关系
区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号
②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
知识点03：平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
【即学即练2】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标化的加法运算即可得到答案.
【详解】，
故选：C.
（2）任一向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
，，则.
（3）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
【即学即练3】2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，，且
所以，
所以，解得：，所以.
故选：B.
知识点04：平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
【即学即练4】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
题型01 平面向量的正交分解及坐标表示
【典例1】（2023·广西·校联考模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为和是正交单位向量，，，
可得，所以，解得或.
故选：B．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，再利用平面向量坐标运算求解即可.
【详解】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则，
所以.
因为，所以.
所以.
所以.
故答案为：4
【典例3】（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为 ．
【答案】
【分析】分别求出，的表达式，利用定义求出，的夹角即可.
【详解】①，
②,
得，
得，
，
【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．
【答案】．
【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案.
【详解】因为，
又，所以．
因此在基下的坐标为．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

【答案】答案见解析
【分析】根据基底和向量的坐标等知识求得正确答案.
【详解】由图可知：
，对应坐标为；
，对应坐标为；
，对应坐标为；
，对应坐标为.
【变式3】（2022·山东·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化为，然后利用两角和的正弦与余弦公式，求得点坐标，即可得解.
【详解】由，得，
将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，
，
又，，
.
故选：D.
题型02 平面向量的坐标运算
【典例1】（2023上·山西·高二统考学业考试）若向量，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算法则求坐标.
【详解】
故答案为：.
【典例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，求
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案.
【详解】，
.
【变式1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练行四边形中，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则
故选：C
【变式2】（2023上·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知向量，满足，，则 .
【答案】
【分析】首先计算出，，再进行线性运算即可.
【详解】因为，，
两式相加得，即，
所以，
故答案为：.
题型03 由向量线性运算结果求参数
【典例1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【详解】设，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B.
【典例2】（2023下·山东菏泽·高一统考期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，

∴，则，
由，得：，
∴，解得，则
故选：B.
【变式1】（2023·河北·统考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】在正六边形ABCDEF中，以A为原点，
分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
不妨令，则，
,
由，可得，解之得
故选：B
【变式2】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则
【答案】
【分析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解.
【详解】设，则，，
则，得，，
故答案为：
题型04 向量坐标运算解决几何问题
【典例1】（2022下·天津南开·高一南开中学校考期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】
建立如图示坐标系，由则有：
因为E为上一点，可设
所以.
因为，所以，即，解得：，所以.
由得：
，解得：，所以.
故选：D
【典例2】（多选）（2023下·河北唐山·高一统考期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）

A．满足的点有且只有一个
B．满足的点有两个
C．存在最小值
D．不存在最大值
【答案】BC
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以；
②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在（不含点C）上时，，且，
所以，即，所以；
④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，
对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，
对于CD，由①②③④可得：
当，即点为点时，取到最小值0；
当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，
故选：BC.

【变式1】（多选）（2022·江苏·高三专题练习）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个
【答案】DBD
【详解】如图建系，取，∵，
∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A：取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B：当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；
选项C：当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D：当点取的中点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故D错误；
故选：ABD.
【变式2】（2022下·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
【答案】(1)
(2)两人约有小时不能通话
【详解】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.
题型05线段的定比分点
【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
故选：C.
【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】点在线段的延长线上，且，
，即,
所以．
所以点P的坐标为.
故选：D.
【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 .
【答案】
【详解】点在线段的延长线上，且，
，
,,,．
所以点P的坐标为.
故答案为：.
【变式2】（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】由题意得，点为中点，设点，则
，解得，
所以点的坐标为.
故选:B．
题型06 由向量的坐标求模
【典例1】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】向量，，则，
所以.
故选：B
【典例2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量，，且，则实数 ．
【答案】±1
【详解】由题意，得，所以，解得．
故答案为：±1.
【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因为，，过点作交于点，所以，
所以，即，
所以，，设，其中，
，，
，
，
当时，取最小值．
故答案为：．
【变式1】（2022下·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：C.
【变式2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知平面向量，则 .
【答案】
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
【变式3】（2022上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 .
【答案】6
【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以当，即时，的最小值为6.
故答案为：6
题型07 由向量坐标线性运算解决最值和范围问题
【典例1】（2019·全国·高三校联考阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，

，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选：B
【典例2】（2022下·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【详解】由题意知，，
又可得，
整理得，
令，则，
且，
∴，
∴，即的最小值是3.
故选：C
【典例3】（2022上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为 取得最小值时，的值为 .
【答案】 5
【详解】以C为原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系,
则，令，，，
则，，,
由，可得，解之得,
当时， 则，，,
则，
则,
，
则当取得最小值时，
故答案为：5；
【变式1】（2022下·山东·高一山东师范大学附中校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
【变式2】（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 .
【答案】
【详解】设，如图所示，
因为对任意的实数，都有恒成立，
由恒成立，则，
因为，，所以，，所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：.

题型08 平面向量共线的判定
【典例1】（2022下·北京·高一清华附中朝阳学校校考阶段练习）已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
【答案】D
【详解】由题设，，显然，A正确，
对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于.
故选：A
【典例2】（多选）（2021上·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期末）已知为坐标原点，，，则（ ）
A．与同方向的单位向量为
B．若，则点的坐标为
C．若，则
D．若，则四边形为平行四边形
【答案】DCD
【详解】A：，则，所以与同方向的单位向量为，正确；
B：由知：，即，错误；
C：由，，有，即，正确；
D：，，则有且，即四边形为平行四边形，正确；
故选：ACD.
【变式1】（多选）（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【详解】对于A，，显然不共线，可以作为一组基底，故A错误；
对于B，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故B正确；
对于C，，显然不共线，可以作为一组基底，故C错误；
对于D，，，则，两向量共线，不能作为一组基底，故D正确.
故选：BD
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线．
【答案】共线，理由见解析
【详解】解：已知、、，
所以，，，则，所以，向量与共线.
题型09 由向量共线求参数
【典例1】（2023·新疆·高三学业考试）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，，则，，
由与共线，则有，
化简得，即.
故选：A.
【典例2】（2023·四川成都·校联考一模）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【详解】若存在非零实数使得，即，又，，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选 ：B
【变式1】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知向量.若，则实数的值为 .
【答案】/
【详解】因为，
所以.
又，
所以，解得.
故答案为：.
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】，
又，故，解得.
故选：A
题型10 由坐标解决三点共线问题
【典例1】（多选）（2023下·江西赣州·高一校考阶段练习）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
【答案】BC
【详解】由已知可得，
．
因为A，B，C三点共线，所以，
所以，整理得，
解得k＝－2或11．
故选：BC．
【典例2】（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，又与共线，
，解得：.
（2），，又三点共线，
，解得：.
【变式1】（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）已知向量，，，若、、三点共线，则 .
【答案】
【详解】已知向量，，，
则，
，
因为、、三点共线，则，所以，，解得.
故答案为：.
【变式2】（2023上·天津河北·高三统考期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【详解】由，，可得，
由于，，三点共线，故共线，
所以，即，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
故答案为：2；
题型11由坐标解决线段平行和长度问题
【典例1】（2022·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
【典例2】（2022·高二课时练习）在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且．
【答案】证明见解析.
【详解】根据题意，如图建立坐标系，
设，，
点分别为的中点，则，
则，
则有，
故，且.
【变式1】（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【答案】
【详解】因为点，点在线段的延长线上，且，
可得，
设，则，即 ，
解得，即点的坐标为.
故答案为：.
【变式2】（2021·高一课时练习）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.
【答案】(3，3)
【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，
且共线，所以，即x=y.
又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线，
则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3，3).
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】设点的坐标为，则,
故，解得,
故点的坐标为.
故选:B.
2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用向量坐标的减法公式，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以.
故选：D
3．（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点，线段的中点坐标为，向量，若向量，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数乘运算以及向量平行的坐标公式求解即可.
【详解】设线段的中点为，则，
所以，
又因为，，
所以，得.
故选：C
4．（2023下·广东·高一校联考阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得与同向的单位向量是，据此可得答案.
【详解】由题，则与同向的单位向量是，对应坐标是.
故选：A．
5．（2021下·江西赣州·高一校联考期中）已知，点满足且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求得，由此确定正确选项.
【详解】由于，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
所以，
则.
故选：D
6．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，，若，则=（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【分析】根据向量平行，求出的值，再结合向量的坐标运算求模.
【详解】因为，所以：.
所以：
所以：.
故选：C
7．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．2或 B．2或1 C．或0 D．0或2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，由向量共线的坐标表示列方程求k的值．
【详解】由则，
因为与共线，
所以，即，解得或.
故选：D
8．（2023下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】建系，利用P在边BC上设出点的坐标，然后找出满足的方程，利用基本不等式求解即可.
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，，则，，，
设，
则.
因为，
所以，消去，得，
因为，，所以
，
当且仅当，结合，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．（2020上·湖南常德·高二常德市淮阳中学校考期中）已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】DC
【详解】因为向量，，所以，
若，则，即，解得或，
故A正确，B错；
当时，；
当时，；
故C正确，D错.
故选：AC.
10．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】DBC
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】建系如图，不妨设正方体的边长为，设，则根据题意可得：
，，，，，，, ,
，，，,,,
由于,所以，故,
对于A, ,故A正确，
对于B，,故B正确，
对于C，,故C正确，
对于D，，,故D错误，
故选：ABC

三、填空题
11．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【详解】，则，
由得，所以，
于是．
故答案为：
12．（2022·高一课时练习）在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， .
【答案】 ；
【详解】设点，，
∵，且，
∴，.
∵，，
∴，.
故，.
故答案为：；
四、解答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．

【答案】．
【详解】，分别是x轴和y轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线，则，组成平面上的一组基．
在轴上取与横坐标相同的点，则与轴平行或共线．
在轴上取与纵坐标相同的点，则与轴平行或共线．
因此．
由，的坐标可知，，
因此，即在基下的坐标为．
14．（2022下·吉林长春·高一校考期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）三点共线，，即，
，解得：.
（2）；
四边形为平行四边形，，
设，则，，，即.
15．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，，
(1)分别求，的坐标；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）依题意，，
.
（2）由（1）知，而，
由与向量平行，得，解得：，
所以实数k的值是.
B能力提升
1．（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】以正方体的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方体的棱长为，可得，
又由正方形的内切圆的方程为，设点的坐标为，
则，，
因为，可得，
所以，可得，
因为，所以.
故答案为：

2．（2022下·广东深圳·高一校考期中）已知向量，满足，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若设与的夹角为，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得：，
即，又由，得，，
代入解得：，所以，是不共线的向量.
由题可设：，因为，是不共线的向量，
所以且，解得．
（2）由于，
，
由与的夹角为：，
由于，所以．
3．（2023下·山东威海·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且.
(1)若点的横坐标为，现将向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，求点的坐标；
(2)已知向量与，的夹角分别为，，且，，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，点在第二象限且横坐标为，
所以点的坐标为，
设，由三角函数定义可知，，
因为向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，
所以角的终边位于射线上，
所以，，
设点的坐标为，
所以，，
所以点的坐标为.
（2）因为向量与的夹角为且，
所以，
所以点横纵坐标分别为，，
即点坐标为，所以.
因为向量与的夹角为，且点在第二象限，
所以角的终边位于射线上，
又，
，
所以点的横纵坐标分别为，，
即点坐标为，所以，
因为，
所以，
所以，
解得，所以.
4．（2023下·浙江·高一校联考期中）在平面直角坐标系中，已知.
(1)若，P为x轴上的一动点，点，当三点共线时，求点P的坐标；
(2)若，且与的夹角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，因为，所以，
因为，所以，，，
因为，，三点共线，即与共线，所以，解得，
则点的坐标为．
（2），所以，，，
因为与的夹角为，所以恒成立，
所以，
又因为，所以，
所以，
即，
因为，所以恒成立，
令，，，，所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
即的最小值为5，所以，
则的取值范围是．
5．（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；
(2)如果点满足，设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的坐标为，因为四边形是平行四边形，
所以，由于，，
故，所以，所以的坐标为；
（2），，，
，，，
，
，
所以当时，取得最小值，最小值为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第07讲 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
课程标准 学习目标
①借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ②掌握两个向量加、减运算的坐标表示。 ③掌握平面向量数乘运算的坐标表示。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 ⑤能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。 1.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养； 2.熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养； 3.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.；
知识点01：平面向量的正交分解
（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.
知识点02：平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，
对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应
②两向量相等时，坐标一样
③，，
④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标
【即学即练1】（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标.
【详解】根据平面直角坐标系，可知，，
∴，.
故选：C.
（2）点的坐标与向量的坐标的关系
区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号
②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
知识点03：平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
【即学即练2】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标化的加法运算即可得到答案.
【详解】，
故选：C.
（2）任一向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
，，则.
（3）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
【即学即练3】2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，，且
所以，
所以，解得：，所以.
故选：B.
知识点04：平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
【即学即练4】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
题型01 平面向量的正交分解及坐标表示
【典例1】（2023·广西·校联考模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【典例3】（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为 ．
【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

【变式3】（2022·山东·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型02 平面向量的坐标运算
【典例1】（2023上·山西·高二统考学业考试）若向量，，则 ．
【典例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，求
【变式1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练行四边形中，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知向量，满足，，则 .
题型03 由向量线性运算结果求参数
【典例1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【典例2】（2023下·山东菏泽·高一统考期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2023·河北·统考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则
题型04 向量坐标运算解决几何问题
【典例1】（2022下·天津南开·高一南开中学校考期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【典例2】（多选）（2023下·河北唐山·高一统考期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）

A．满足的点有且只有一个
B．满足的点有两个
C．存在最小值
D．不存在最大值
【变式1】（多选）（2022·江苏·高三专题练习）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个
【变式2】（2022下·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
题型05线段的定比分点
【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 .
【变式2】（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
题型06 由向量的坐标求模
【典例1】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量，，且，则实数 ．
【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为 .
【变式1】（2022下·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知平面向量，则 .
【变式3】（2022上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 .
题型07 由向量坐标线性运算解决最值和范围问题
【典例1】（2019·全国·高三校联考阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022下·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【典例3】（2022上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为 取得最小值时，的值为 .
【变式1】（2022下·山东·高一山东师范大学附中校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【变式2】（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 .
题型08 平面向量共线的判定
【典例1】（2022下·北京·高一清华附中朝阳学校校考阶段练习）已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
【典例2】（多选）（2021上·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期末）已知为坐标原点，，，则（ ）
A．与同方向的单位向量为
B．若，则点的坐标为
C．若，则
D．若，则四边形为平行四边形
【变式1】（多选）（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线．
题型09 由向量共线求参数
【典例1】（2023·新疆·高三学业考试）已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·四川成都·校联考一模）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式1】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知向量.若，则实数的值为 .
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型10 由坐标解决三点共线问题
【典例1】（多选）（2023下·江西赣州·高一校考阶段练习）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
【典例2】（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
【变式1】（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）已知向量，，，若、、三点共线，则 .
【变式2】（2023上·天津河北·高三统考期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
题型11由坐标解决线段平行和长度问题
【典例1】（2022·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【典例2】（2022·高二课时练习）在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且．
【变式1】（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【变式2】（2021·高一课时练习）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点，线段的中点坐标为，向量，若向量，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2023下·广东·高一校联考阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021下·江西赣州·高一校联考期中）已知，点满足且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，，若，则=（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
7．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．2或 B．2或1 C．或0 D．0或2
8．（2023下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．
二、多选题
9．（2020上·湖南常德·高二常德市淮阳中学校考期中）已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（ ）

A． B．
C． D．

三、填空题
11．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ．
12．（2022·高一课时练习）在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， .
四、解答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．

14．（2022下·吉林长春·高一校考期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
15．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，，
(1)分别求，的坐标；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
B能力提升
1．（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 .
2．（2022下·广东深圳·高一校考期中）已知向量，满足，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若设与的夹角为，求的大小．
3．（2023下·山东威海·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且.
(1)若点的横坐标为，现将向量绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，求点的坐标；
(2)已知向量与，的夹角分别为，，且，，若，求的值.
4．（2023下·浙江·高一校联考期中）在平面直角坐标系中，已知.
(1)若，P为x轴上的一动点，点，当三点共线时，求点P的坐标；
(2)若，且与的夹角，求m的取值范围．
5．（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；
(2)如果点满足，设，求的最小值．
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