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第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理
课程标准 学习目标
①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 ②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。 ③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。 ④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 ⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。 1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力
知识点01：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
【即学即练1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）在中，角的对边分别为，，，．则 ．
【答案】
【详解】在中，，，，
因为，所以，
因为，
所以，所以.
故答案为：.
知识点02：解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
【即学即练2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】由题意可得的面积为.
故答案为：.
题型01 已知两角及任意一边解三角形
【典例1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【详解】在中，，
因为，所以，
则由正弦定理得.
故选：B．
【典例2】（2023下·河北邯郸·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 .
【答案】
【详解】由三角形内角和定理，可得，
由正弦定理，可得，
解得.
故答案为：.
【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则 .
【答案】14
【详解】如图所示，在中，因为，
由正弦定理知，可得，解得，
在中，由，且，
由余弦定理得，所以.
故答案为：.
【变式1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）在中，边长，则边长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得即，解得，
故选：B.
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则 ； ； ．
【答案】
【详解】由，故，
则，
由正弦定理得，.
故答案为：；；.
【变式3】（2023下·湖南邵阳·高三统考学业考试）中，角的对边分别为，已知，，，则 .
【答案】
【详解】在中，，，，由正弦定理，得到.
故答案为：.
题型02 已知两边和其中一边的对角解三角形
【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】因为中，，，，
所以，，
因为，可得，即，
所以或.
故选：D.
【典例2】（2023上·甘肃平凉·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)求c的值．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，
解得.
（2）由余弦定理可得，，
即，
解得或(舍去)，所以.
【典例3】（2023上·山西太原·高三统考期中）在中，，，，在上，且．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）解：因为，且，可得，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理得，
可得，解得或，
①当时，的面积为；
②当时，的面积为．
【变式1】（2023上·安徽·高二校联考期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据正弦定理，即，则，
，，则，所以.
故选：B
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ．
【答案】或
【详解】由正弦定理得，
因为，，所以或．
故答案为：或.
【变式3】（2023上·江西·高二校联考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，
所以.
（2）由余弦定理，，
所以，
所以，解得或（舍）,
所以，
故的面积为.
题型03 三角形解的个数
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
【答案】D
【详解】由，得，
又 ，，故只能为锐角，即，
故该三角形只有一解．
故选：A.
【典例2】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由可得：，且，
若，则，由正弦定理可得,
则，所以B为锐角，
此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.
故选：C
【典例3】（多选）（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】DBD
【详解】易知，
对于A，由正弦定理可知
由正弦函数的图象与性质可得或，
又，则A有两个解，即A正确；
对于B，同上或,
又，则B有两个解，即B正确；
对于C，同上得，且，
故C只有一解，即C错误；
对于D，如下图所示，则易知，即此时有两解，即D正确.

故选：ABD
【典例4】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 .
【答案】
【详解】由正弦定理可知，即，所以，
因为有两个解，即有两解，又，则，
由正弦函数的性质，可得且，
所以，即，解得，
即的取值范围是.
故答案为：
【变式1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（ ）
A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在
【答案】D
【详解】因为，，，
由正弦定理，即，所以，
又，
由正弦函数的性质可得不存在，所以满足条件的不存在.
故选：D
【变式2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得，所以,
因为该三角形有两解，故,
故，即，
故选：B
【变式3】（多选）（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一个解
B．若，则有两个解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】DBD
【详解】对于A，由正弦定理，，因为，
因此，有唯一解，故A正确；
对于B，由正弦定理，，因为，
所以或，有两解，故B正确；
对于C，因为，，
所以或，即或，因此为等腰或直角三角形，
故C错误；
对于D，当为钝角时，为钝角三角形，
当为直角时，不满足条件，
当为锐角时，，因此，，
因此为钝角三角形，故D正确.
故选：ABD.
【变式4】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
【答案】
【详解】
由图可得，要使有两解，则，即，解得.
故答案为：.
题型04 判断三角形的形状
【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即为等边三角形.
故选：B
【典例2】（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【详解】，，
根据正弦定理可知：，
，
在中，，或，即，即.
为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
【典例3】（2023上·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考阶段练习）在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
【答案】直角三角形
【详解】由二倍角公式可知，，
且注意到在中，有，
因此可将已知转换为，解得，
因为是的一个内角，所以，即是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【变式1】（2023上·北京海淀·高三统考期中）在中，，则（ ）
A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角
【答案】C
【详解】由，即，，
又，所以，化简得，
则，故在中，，
故选：C
【变式2】（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】因为，则，可得，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，则，整理可得.
所以，为等边三角形.
故选：A.
【变式3】（2023上·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）在中，，则的形状为 三角形．
【答案】直角
【详解】在中，由，得，即，
由余弦定理得，整理得，
所以是直角三角形.
故答案为：直角
题型05 利用正（余）弦定理求范围或最值
【典例1】（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】设外接圆的半径为R，则
，
即.
因为，所以，由正弦定理得，
由二倍角公式得，
则.
由和差化积公式得，即.
又因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以或（舍去），
即，，
由正弦定理得，即.
由题意得，解得，，解得，
又，所以，
所以，则a的取值范围是.
故答案为：.
【典例2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)证明：
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
又，所以，
所以，
整理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即.
（2）由（1）可知，，
因为，所以由正弦定理可得，，即，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则.
记，则，
由对勾函数可知，在上单调递增，
所以，即的取值范围为
【典例3】（2024·陕西宝鸡·校考一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，
由正弦定理，
所以，即，
又，所以，解得.
（2）由题，得，
又（时取“=”）
所以，
即的最小值是，时取等号.
【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：由，可得，
因为，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面积．
（2）解：因为，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，则，
因为，故，所以，
即的取值范围为.
【变式2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为
(1)求角A的大小；
(2)当时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，
又，所以
（2），，由正弦定理，
所以，
因为为锐角三角形，所以，则，
所以，
所以
【变式3】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直．
(1)若，求的值；
(2)若角的内角平分线与相交于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）向量与向量垂直，
则，
由正弦定理得，
则，
，
，
即；
（2）根据题意，因为为角的内角平分线，
所以
，
根据余弦定理可得
，
又，
所以，（当且仅当，取等号），
所以，所以的最小值为2．
题型06 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例1】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则 ．
【答案】
【详解】由于，由正弦定理可得，
因为解得，
又，由余弦定理得，
解得．
故答案为：.
【典例2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以；
当且仅当，即时，等号成立；
即的最小值为.
故答案为：
【典例3】（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
【变式1】（2023上·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 .
【答案】/0.75
【详解】
在中，角对应的边分别为，点D在线段上，且满足，
所以，又，
所以由角平分线定理可得，所以，则，
又，所以，则，
由正弦定理得.
故答案为：.
【变式2】（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ．
【答案】
【详解】由正弦定理得，即，
，
由于，所以为锐角，,
所以，
由正弦定理得，
则.
故答案为：
【变式3】（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；④ ．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．
【答案】(1)①②③，①②④，理由见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）对于③，；
对于④，，
即，且，则，
故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．
（2）选①②③：时，
由余弦定理：，
整理得：且，则，
的面积为．
选①②④：时，
由余弦定理：，
整理得：，则，
的面积．
题型07 求三角形面积（定值）
【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理知：
所以
由得，
由，所以则，
由，所以.
（2）如图，由，
且，AD平分，
得，
令，则，又，且，
因为，
所以
，
即：，
化简得，所以，即，，
故的面积.

【典例2】（2024上·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求的值；
(2)求的面积；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
.
由正弦定理可得.
（2），
所以的面积.
【典例3】（2023·四川内江·统考一模）的内角、、所对的边分别为、、，，．
(1)求角的大小；
(2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理可得,，，即，
所以，，，
故，即.
（2）因为为的重心，的延长线交于点，且，
所以点为中点，且，在中，，，即，
在和中，,化简得，
所以，故，
所以的面积为．
【变式1】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求：的值．
(2)求：的值．
(3)若，求：的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），由正弦定理得：
将这入上式得，由余弦定理可得.
（2），由，则，
又，即，，又，
又.
（3），由知：，由（2）可知，
又，
的面积为.
【变式2】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1），
在三角形中，，
，，，
在中，，
，
又，
，，
由正弦定理，得，
，或；
（2）因为为锐角三角形，所以，
，
点为三角形重心，
所以，
又，
所以，
所以的面积为.
题型08 根据三角形面积求参数
【典例1】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求角的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得,
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以,
因为，所以，所以，
所以，即；
（2）因为，，所以,
即，
设的角平分线交于，因为，
所以，所以.
【典例2】（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）在中，角所对的边分别为且.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）利用正弦定理由可得，
又在中，易知，可得，所以；
即，
可得，显然，所以，
所以，又，可得；
（2）由余弦定理可得，
代入整理可得，
解得或（舍）；
所以的面积为，解得，所以；
设边上的高为，则，可得，
即边上的高为.
【典例3】（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)15
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，则，
即，
因为，所以，所以，所以．
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
即，得．
所以的周长为.
【变式1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，将 代入，
，即，所以．
故.
（2）由于，
又为锐角，即.
，.
所以，结合解得.
故.
【变式2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，
又，
代入整理可得，
因为，所以，
又，所以，
（2）由及可得，，
又周长为3b，则，所以，
根据余弦定理可得，，
整理可得，
设AC边上的高为h，则，解得，
所以AC边上的高为.
【变式3】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，面积为，且.
(1)求；
(2)若为的中点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由题意及三角形的面积公式，得，所以.
由正弦定理，得.
由余弦定理的推论，得，整理得.
因为，所以，所以.
由余弦定理的推论，得.
方法二：（1）由已知及三角形的面积公式，得，所以.
由，得，
所以.
在中，因为，所以.又为锐角，所以也为锐角，
所以.
（2）方法一：由（1）知.
又，所以，解得，
所以.
在中，由余弦定理，得.
方法二：由（1），知.由，得①.
由题意，知，
所以，所以②.
由（1）知，所以③.
由①②③，得.
在中，由余弦定理，得
题型09 三角形面积最值（范围）问题
【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
【典例2】（2023·广东·统考二模）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.

(1)求的取值范围；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部，
所以，又因为为正三角形，，所以.
在中，由余弦定理得，
又因，
将，代入并整理得且，解得，
所以的取值范围是；
（2）在中，由余弦定理可得，，
由（1）知，所以，
又因为为正三角形，所以，
又，
所以
，
所以当，即时，且成立，
四边形的面积取得最大值，最大值为.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意及正弦定理，得，
即，
因为，所以，
因为，所以，，
又因为，所以．
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，
所以，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
从而．
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若点D在边上，平分，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
由二倍角公式得，，解得，，
因为，所以.
（2）因为，BD平分，所以，
因为且，所以，
化简得，，因为，所以，解得，
当且仅当时取等，此时，
所以面积的最小值为.
【变式2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在中，，，分别为内角，，所对的边，.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件及正弦定理得，
因为，
所以，
故，因为，所以，
故，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即，
故，
由基本不等式得，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故.
【变式3】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即．
由正弦定理得．
由，得，则，
由，得．
（2）由余弦定理得，则．
由，得，当且仅当时，等号成立．
故，即面积的最大值为．
题型10 求三角形周长（定值）
【典例1】（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）由已知，在中有，故，
即，
即，而，所以，
又，故的面积为.
（2）由余弦定理，得，可得，
所以，
所以，即，
所以的周长为3.
【典例2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
由正弦定理得，
整理得．
由余弦定理得．
，．
，，，
，均小于，
是锐角三角形．
（2），，
又，，
在中，由正弦定理得，
即，，，
的周长为．
【变式1】（2023上·云南楚雄·高三统考期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)设BD是AC边上的高，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为，
所以，即.
因为，，
所以，解得.
（2）因为，，
所以.
又由，可得，所以.
由余弦定理，可得，即，
即，
所以，
所以的周长为.
【变式2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理及余弦定理可得：
化简得：.
（2）因为，且为三角形内角，
.
，所以.
由余弦定理可得:，
所以，
，
，即，
所以周长为.
题型11 三角形周长最值（范围）问题
【典例1】（2024上·贵州·高三统考开学考试）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．

(1)求的面积；
(2)求的周长的最大值．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）因为平面四边形存在外接圆，
所以，，
又，所以，
所以的面积．
（2）在中，由余弦定理得
，
解得．
在中，由余弦定理得，
即
．
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，故的周长．
【典例2】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别是，已知，为在方向上的投影向量．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由为在方向上的投影向量知，，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，
又．所以；
（2）由正弦定理得．
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，故的周长的取值范围是．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，
因为，所以，得，
因为，所以．
（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得，得．
法一：可化为，
因为，所以，
所以，得，
当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以的最大值是4．
法二：，
令
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以的最大值为4．
【典例4】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
【变式1】（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
所以，，
可得，由，可得.
（2）因为，由正弦定理，
可得，
可得
，
因为锐角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得.
周长的取值范围为.
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．已知①；②；③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．
(1)求角；
(2)若．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，由可得：
，故有，
又∵，∴；
选②，∵，
由正余弦定理得，∴，
又，∴；
选③，∵，由正弦定理可得，
∴，
∵，∴，∴，又，∴．
（2）由余弦定理得∵，∴．
又有，当且仅当时取等号，
可得．即的取值范围是．
【变式3】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由正弦定理可得，
即，
因为，，故，，
又，故.
（2）
因为，故，
在中，，得，
在中，，得，
故，而，，
所以，
由题意知，，
故，即的取值范围为.
【变式4】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在单位圆上的三点A，B，C构成的锐角中，内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求a；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 及正弦定理得：，
由余弦定理得：，
又因为，所以，
因为外接圆半径为1，.
（2）因为的外接圆半径，所以
所以，
所以，
又因为为锐角三角形，即，故，
所以，所以，
所以，即的取值范围是.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，结合求出答案.
【详解】由正弦定理得，即，
故，
因为，所以，故.
故选：A
2．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考开学考试）在中，角的对边分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得正确答案.
【详解】由正弦定理得，
.
故选：D
3．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据满足条件的有两个，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，，，且满足条件的有两个，
则，即，解得.
故选：B.
4．（2023上·全国·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】D
【分析】运用正弦定理边化角及和角公式计算即可.
【详解】由及正弦定理得，
所以．
又在中，，所以，
所以，所以为直角三角形．
故选：A.
5．（2023上·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解，即可根据正弦定理求解.
【详解】由余弦定理可得,
由正弦定理可得,
故选：B
6．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据题意利用倍角公式和正弦定理结合充分、必要条件分析判断.
【分析】在中，，则，
因为，等价于，等价于，
由正弦定理可知：等价于，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．（2023上·北京大兴·高三统考期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，画出和边长，以为圆心，为半径作圆与边有两个交点时即可求出的取值范围.
【详解】根据题意如下图所示：

易知当时，，若满足条件的三角形只有一个；
由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意；
所以可得，即；
即的取值范围是.
故选：C
8．（2023·全国·模拟预测）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差（ ）（参考数据：，）

A．2.016米 B．2.232米 C．2.428米 D．2.614米
【答案】B
【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.
【详解】在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．
因为，
且，
所以，所以（米）．
故选：B．
二、多选题
9．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DCD
【分析】根据正弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，A选项正确.
B选项，由正弦定理得，
而当时，则或，则或，
所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，
所以，所以C选项正确.
D选项，，由正弦定理得，
所以D选项正确.
故选：ACD
10．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】由正弦定理得到或，分两种情况，求出答案.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
即，
所以，所以或．
当时，，因为，所以，
所以，，则，
当时，，
综上：的值为或2.
故选：BC
三、填空题
11．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 .
【答案】/
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换.
【详解】因为，所以，则有，
因为,所以，所以.
故的面积为.
故答案为:.
12．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 .
【答案】 6
【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用，表示；根据的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值.
【详解】如图所示，中，，
是边的中点，是线段的中点，则，
，
即；
由的面积为，得，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为6.
故答案为：；6
四、解答题
13．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为且．
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由的面积为可得，再根据余弦定理即可得，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.
（2）由题意，解得.
由余弦定理，可得.
故的周长为
14．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得，根据最小正周期公式即得.
（2）由（1）得，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果.
【详解】（1） ，
的最小正周期；
（2）由，可得，又，
，， ，
由，得，
由余弦定理得：，得，
由正弦定理得外接圆的半径.
B能力提升
1．（2023上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，
因为，即，
整理得，
则．
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：B.
2．（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得，
所以，
因为钝角中，，
当为锐角时，，得，则，
所以，则，所以；
当为钝角时，，得，则，
所以，则，所以；
综上：．
故选：C.
3．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，
由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，可得，
因为角的平分线交于点，，
由，即，
所以，，所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
4．（2023上·山东泰安·高三统考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，求；
(2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）解：由题意，，，，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：
如上图，由（1）知，
∵，∴，
∴在中，，又知，
∴.
∵，
∴在中，，
∴，
∴.
∴
，
当且仅当即时，等号成立，
∴的面积最大值为4.
C综合素养
1．（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．面积的最大值是 B．
C． D．面积的最大值是
【答案】DB
【详解】由题意，得，
即,
即，结合正弦定理得，B正确；
由得
，
当，即时，面积取到最大值是，A正确，D错误，
对于C，假设，由于，，故，
则，
这与三角形面积有意义不相符，C错误，
故选：AB
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现. 已知点在圆上，且，，则四边形的面积为 .
【答案】
【详解】如图所示：设圆心为，连接，，
，，故平分，，
又，解得，，，
中：，即，
解得或（舍）.
故，
故四边形的面积为.
故答案为：.
3．（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）刘微（约公元225-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限思想的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为 （结论用圆周率表示）
【答案】
【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，
则，即，所以.
故答案为：
4．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．

(1)当时，求的长度；
(2)求长度的最大值．
【答案】(1)6
(2)6
【详解】（1）在中，，，，则，，
因为，所以
在中，，，
由余弦定理所以的长度为.
（2）在中，由余弦定理得，所以，
设，在中，由余弦定理得，
所以 ①
在中，由正弦定理得，
所以，
代入①可得,
因为,
所以，
当即时，的最大值为，
所以长度的最大值为6．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理
课程标准 学习目标
①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 ②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。 ③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。 ④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 ⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。 1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力
知识点01：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
【即学即练1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）在中，角的对边分别为，，，．则 ．
【答案】
【详解】在中，，，，
因为，所以，
因为，
所以，所以.
故答案为：.
知识点02：解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
【即学即练2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】由题意可得的面积为.
故答案为：.
题型01 已知两角及任意一边解三角形
【典例1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【典例2】（2023下·河北邯郸·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 .
【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则 .
【变式1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）在中，边长，则边长（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则 ； ； ．
【变式3】（2023下·湖南邵阳·高三统考学业考试）中，角的对边分别为，已知，，，则 .
题型02 已知两边和其中一边的对角解三角形
【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【典例2】（2023上·甘肃平凉·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)求c的值．
【典例3】（2023上·山西太原·高三统考期中）在中，，，，在上，且．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【变式1】（2023上·安徽·高二校联考期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ．
【变式3】（2023上·江西·高二校联考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，.
(1)求；
(2)求的面积.
题型03 三角形解的个数
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
【典例2】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多选）（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【典例4】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 .
【变式1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（ ）
A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在
【变式2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（多选）（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一个解
B．若，则有两个解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
【变式4】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
题型04 判断三角形的形状
【典例1】（2023上·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例2】（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形
【典例3】（2023上·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考阶段练习）在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
【变式1】（2023上·北京海淀·高三统考期中）在中，，则（ ）
A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角
【变式2】（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式3】（2023上·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）在中，，则的形状为 三角形．
题型05 利用正（余）弦定理求范围或最值
【典例1】（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 .
【典例2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)证明：
(2)若，求的取值范围．
【典例3】（2024·陕西宝鸡·校考一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
【变式2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为
(1)求角A的大小；
(2)当时，求的取值范围.
【变式3】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直．
(1)若，求的值；
(2)若角的内角平分线与相交于点，求的最小值．
题型06 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例1】（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则 ．
【典例2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，，则的最小值为 .
【典例3】（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【变式1】（2023上·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 .
【变式2】（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ．
【变式3】（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；④ ．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．
题型07 求三角形面积（定值）
【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.
【典例2】（2024上·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求的值；
(2)求的面积；
【典例3】（2023·四川内江·统考一模）的内角、、所对的边分别为、、，，．
(1)求角的大小；
(2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．
【变式1】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求：的值．
(2)求：的值．
(3)若，求：的面积．
【变式2】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
题型08 根据三角形面积求参数
【典例1】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求角的角平分线的长.
【典例2】（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）在中，角所对的边分别为且.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求边上的高.
【典例3】（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C；
(2)若的面积为，求的周长．
【变式1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值．
【变式2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.
【变式3】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，面积为，且.
(1)求；
(2)若为的中点，求的长.
题型09 三角形面积最值（范围）问题
【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【典例2】（2023·广东·统考二模）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.

(1)求的取值范围；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积S的取值范围．
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若点D在边上，平分，且，求面积的最小值．
【变式2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在中，，，分别为内角，，所对的边，.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【变式3】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
题型10 求三角形周长（定值）
【典例1】（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
【典例2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
【变式1】（2023上·云南楚雄·高三统考期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)设BD是AC边上的高，且，，求的周长.
【变式2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)若，的面积为，求的周长．
题型11 三角形周长最值（范围）问题
【典例1】（2024上·贵州·高三统考开学考试）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．

(1)求的面积；
(2)求的周长的最大值．
【典例2】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别是，已知，为在方向上的投影向量．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【典例4】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
【变式1】（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．已知①；②；③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．
(1)求角；
(2)若．求的取值范围．
【变式3】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【变式4】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在单位圆上的三点A，B，C构成的锐角中，内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求a；
(2)求的取值范围．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考开学考试）在中，角的对边分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023上·全国·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．（2023上·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023上·北京大兴·高三统考期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差（ ）（参考数据：，）

A．2.016米 B．2.232米 C．2.428米 D．2.614米
二、多选题
9．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
三、填空题
11．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 .
12．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 .
四、解答题
13．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为且．
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
14．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.
B能力提升
1．（2023上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
2．（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东泰安·高三统考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，求；
(2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值.
C综合素养
1．（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．面积的最大值是 B．
C． D．面积的最大值是
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现. 已知点在圆上，且，，则四边形的面积为 .
3．（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）刘微（约公元225-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限思想的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为 （结论用圆周率表示）
4．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．

(1)当时，求的长度；
(2)求长度的最大值．
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