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第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题
题型01三角形中中线长（定值）
【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】由于向量与平行，
所以，由正弦定理得，
由于所以，
由于，所以.
，两边平方得
，
所以.
故选：D
【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .
【答案】
【详解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案为：.
【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，
因为为中BC边的中线，
所以，
则
，
所以.

【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知的面积为，则的中线长的一个值为 .
【答案】或
【详解】因为的面积为，
所以，
故或；
①当时，，
故，
因为，所以，
故；
②当时，，
故，
在中，由余弦定理可知，
在中，由余弦定理可知，，
故.
综上所述，的中线长为或.
故答案为：或.
【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.

故答案为：
【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
即，
又因为，所以，所以.
又因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，所以得，
由余弦定理得：.
又，
所以，
得，故的长为.
题型02三角形中中线长（最值，范围）问题
【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在中，，则边上的中线的长的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：延长到点，使，连接，如图所示：

在和中，
，
，
．
在中，由三角形的三边关系，得，
即，
，
故答案为：．
【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为 ．
【答案】
【详解】
在中有，
故由正弦定理可得，
由余弦定理得，
由三角形中线的性质可得：，
即，
又，
故，当且仅当时取得等号，
所以.
故答案为：.
【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③.在以上三个条件中选择一个，并作答.
(1)求角A；
(2)已知△ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）若选①，因为：，即：，
则：，即：，所以：，
因为：，故；
若选②，原式等价于，即，
即：，因为：，则，所以：，
则：，故；
若选③，原式等价于，即：，
所以：，即：，即：，
因为：，故.
（2）因为，所以：，
因为为的中点，则：
所以：，
则：当且仅当时，等号成立，
因此：的最小值为.
【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】，
，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：

【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角；
(2)求边上中线长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得：，
即，
所以，而，从而；
（2）解法1：设外接圆半径为R，则，
如图所示，过点C作，交BD延长线于E，
则∽，则，

故，
所以，
，
又因为，故，则，
所以，即；
解法2：由平行四边形性质可得，
所以，
因为
，
又因为，故，则，
所以，则，即；
解法3：
因为，
所以，所以，
又因为， 结合解法2可知，
所以，即，
当且仅当时取到最大值；
解法4：
如图所示，，，
设外接圆半径为R，则，
故有外接圆如图，D为的中点，
则，

由图可知，
所以.
题型03已知中线长，求其它元素
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，
因为，所以，得，
因为，所以．
（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得，得．
法一：可化为，
因为，所以，
所以，得，
当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以的最大值是4．
法二：，
令
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以的最大值为4．
【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由，，，，
所以，即，
由于，所以.
（2）在中，由，得，
由，得，.
则，
由正弦定理得，，
设，，由余弦定理得，故，

在中，由余弦定理得，，
即，
解得，则，
所以的面积.
【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.
【答案】(1)的最小正周期，的单调递减区间为；
(2)
【详解】（1），
，
故的最小正周期，
由，得，
的单调递减区间为；
（2）由（1）得，，即，
，
又，
，
，
，当仅时取等号，
面积，
面积的最大值为.
【变式1】．（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角；
(2)的中线＝，＝，求AB.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，有，
化简可得，
可得，
因为是的内角，于是，
故，解得.

（2）延长至，使得，易知，于是，
由余弦定理可得，
即，
解得或（舍去），
于是，所以.
【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由已知及正弦定理得：，
则，
在中，，∴，又因为,故.
（2）解法一：∵，为中点，则，
∴由，得，
在中，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故的面积为.
解法二：由，得，
由题意得，则，
即有，解得：，
故的面积为.
【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理及，得，
化简得，所以，
由余弦定理可得，由于.所以．
（2）在中，由，得，
由，得．
则，
由正弦定理得，，
设，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则，
所以的面积．

【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若的中线BD长为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
整理得，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，得.
（2）因为D为AC中点，
所以，
因为，
所以，
整理得，
所以，得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为8.

题型04求角平分线长（定值）问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足，∴，故，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∴，
在ABD中，由余弦定理，
得，
解得或者（舍去），
故选：D．
【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴为等腰三角形，，，
又∵为角平分线，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，
.
故选：A．
【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．

【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）解：
，
所以，，可得，
又因为，故.
（2）解：（i）因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
（ii）因为，即，
因此，.
【典例5】（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】(1)
(2)正确条件为①③，（i），（ii）
【详解】（1）由题设，
而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
【变式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，
解得，（负值舍），
而AD平分，即，
又，故，
则，
故选：B
【变式2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【变式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动．
(1)若 D为BC边的中点， 求AD．
(2)若 AD为的角平分线， 求AD．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由余弦定理推论可得，即． ．
∵D为BC边的中点， 所以，
即，所以．
（2）不妨设，
∵AD为的角平分线， 由面积公式有，
，
得，
．
【变式4】（2023下·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可知.
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）由题意知，
所以，
所以，
解得.
【变式5】（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.
(1)求；
(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，∵，
∴由正弦定理得，∴，
∵，，∴，即.
设外接圆半径为，则外接圆面积，∴，
∴由正弦定理，得，，
∵，∴或.
当时，由余弦定理，∴，
解得，∴（舍）；
当时，由余弦定理，∴，
解得，∴.
综上所述，.
（2）
由第（1）问知，，若为角的角平分线，则，
如图，设，，的面积分别为，，，
则，
∴
∴，
∴解得，.
题型05求角平分线长（最值，范围）问题
【典例1】（2019下·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】中，∠BAC=, AD是角平分线得
，，
而
因此
得
而，
所以
故选D项.
【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为 .
【答案】
【详解】
设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
因为，所以.
由已知可得，.
又，，
即，
整理得，
当且仅当时，等号成立.
故AM的最大值为.
故答案为：.
【典例3】（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知△的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故根据余弦定理有.
（2）因为为三角形内角，则由（1）知，
因为的面积为，所以，
即，解得，
又因为，，所以，所以，
所以．
于是.
那么．
所以（当且仅当时等号成立）
故的最大值为．
【典例4】（2022下·河北保定·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，得，
因为，所以，即.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.
因为，所以.
因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以，
所以，即.故的最小值为.
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．
【答案】
【详解】如图，设，则，，，

在中，由正弦定理得，即，
所以
，
在中，由，即得，
所以，
由于在上单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
【变式2】（2022下·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则 ，的取值范围是 .
【答案】
【详解】由正弦定理得：，又，；
为的角平分线，设，则；
，即，
；
由余弦定理知：，
，；
（当且仅当时取等号），，即，
又，，，
即的取值范围为.
故答案为：；.
【变式3】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为AD为角A的角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.
所以长的最大值为.
题型06已知角平分线，求其它元素
【典例1】（2022上·贵州·高三统考开学考试）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是 .
【答案】
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：
【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．
【答案】
【详解】如图，设，则，，，

在中，由正弦定理得，即，
所以
，
在中，由，即得，
所以，
由于在上单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
【典例3】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在中，，
所以，
所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，
且
所以，
由余弦定理得：，
整理得，
解得或（舍去），
所以，
所以的周长为.
【典例4】（2023上·全国·高三专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
【典例5】（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知的内角A，B，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若为的角平分线，D在边上，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
因为，则，
可得，即，所以.
（2）若为的角平分线，则，
因为，即，
整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值.
【变式1】（2023上·福建泉州·高三校考期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
【答案】6
【详解】因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，且，所以，
又，所以，设，
则由余弦定理得，
，
所以，化简得，解得，所以，
所以，所以，
.
故答案为：6
【变式2】（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角；
(2)是的角平分线，若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得：，即，
又，所以.
（2）在中，得：①，又，
得：，化简得：②，
由①②得：，所以
【变式3】（2023上·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，,
所以，即，
因为是的内角，所以，
得，所以，
所以.
（2）因为，平分，所以，又，
则由，得，
所以，
又，则，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故最小值为.
【变式4】（2023上·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
所以，
又因为，所以.
（2）为的角平分线，.
由，得，
又，所以，故，
所以，
当且仅当，即时，的最小值为9.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题
题型01三角形中中线长（定值）
【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .
【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．

【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知的面积为，则的中线长的一个值为 .
【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .

【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.
题型02三角形中中线长（最值，范围）问题
【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在中，，则边上的中线的长的取值范围是 .
【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为 ．

【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③.在以上三个条件中选择一个，并作答.
(1)求角A；
(2)已知△ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.
【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．

【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角；
(2)求边上中线长的取值范围.
题型03已知中线长，求其它元素
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，，求的面积.

【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.
【变式1】（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角；
(2)的中线＝，＝，求AB.
【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积.
【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，求的面积．

【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若的中线BD长为，求的最大值.

题型04求角平分线长（定值）问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．

【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【典例5】（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【变式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（ ）
A． B．2 C． D．

【变式2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【变式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动．
(1)若 D为BC边的中点， 求AD．
(2)若 AD为的角平分线， 求AD．
【变式4】（2023下·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
【变式5】（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.
(1)求；
(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.
题型05求角平分线长（最值，范围）问题
【典例1】（2019下·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为 .

【典例3】（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知△的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【典例4】（2022下·河北保定·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．

【变式2】（2022下·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则 ，的取值范围是 .
【变式3】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
题型06已知角平分线，求其它元素
【典例1】（2022上·贵州·高三统考开学考试）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是 .
【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．

【典例3】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
【典例4】（2023上·全国·高三专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【典例5】（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知的内角A，B，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若为的角平分线，D在边上，且，求的最小值.
【变式1】（2023上·福建泉州·高三校考期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
【变式2】（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角；
(2)是的角平分线，若，，求的面积．
【变式3】（2023上·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【变式4】（2023上·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
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