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第13讲 拓展一：平面向量综合问题
题型01 平面向量共线定理及其推论
【典例1】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】连接并延长交于点，连接，
因为O是的内心，所以为的平分线，
所以根据角平分线定理可得，
所以,
因为三点共线，所以设，
则，
因为，
所以，
故选：D
【典例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
【变式1】（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题可知，，
因为，，所以，，
又，所以，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：A

【变式2】（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
【答案】B
【详解】，，
，
点，，三点共线，
，
又，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为4．
故选：B．
【变式3】（2022上·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题可知，

设
则
,
又
，
所以，解得，所以.
故选：A.
题型02平面向量数量积（最值，范围）问题
【典例1】（2023下·天津·高一统考期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
函数开口向下，对称轴为，
当时，取最大值.
故选：A
【典例2】（2023下·江苏泰州·高一统考期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】由正弦定理得，故，
因为，所以，
则
，
因为，所以，则，
故.
故选：C
【典例3】（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意，设等边的边长为，以的中点为原点，以分别为轴建立直角坐标系，可作图如下：
由为等边的重心，则，，即，，
设，则，，
，
对于，，故.
故答案为：.
【典例4】（2023下·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
【变式1】（多选）（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】在中，，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，
因为为内任意一点（含边界），且，设点，
，，
所以，，
为锐角，且，
因为，则，
由可得，由得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
故选：BCD.
【变式2】（2023下·北京通州·高一统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．

【答案】
【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，其中，
则，
，
当时,有最小值3，
当或2时，有最大值为4，
的取值范围为.
故答案为：.

【变式3】（2023下·浙江丽水·高二统考期末）在中，，为边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】/-2.56
【详解】由于，所以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系如图所示：

则有：，
设点，且，
所以，
则，
当时，取得最小值．
故答案为：．
【变式4】（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是 ．

【答案】2
【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即与重合时取等号，故的最大值是2．
故答案为：2
题型03平面向量的模（最值，范围）问题
【典例1】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【答案】
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南开中学校考期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设，
则
，
所以，所以，
故，
因为，，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【典例3】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是
【答案】
【详解】
，
因为的最小值为，所以的最小值为，
又，所以，
所以，
又为钝角，所以，即，则，
所以，
所以
，
又，所以
，
所以当时.
故答案为：
【典例4】（2023下·四川眉山·高三校考开学考试）在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的值；
(2)若，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵．
∴由正弦定理，得．
∴．
∴．
又，∴．
又∵，∴．又，∴．
（2）由题意可知，,
即，
所以，
，
，且，
所以，
，由可知，，
所以，则的取值范围是.
【变式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】由题可得， ，则，因D,P,C 三点共线，
则.
又注意到，结合，余弦定理可得：
.
则.又由基本不等式，
.
当且仅当，即时取等号.
则.
故答案为：.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为1，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】设向量的夹角为θ，则；又,
所以，
所以,
所以，
又，所以，所以的取值范围是．
故答案为：．
【变式3】（2023上·江苏南京·高二统考期中）在中，分别为角所对的边，．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，且，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为，所以，
由余弦定理得，化简得，
所以，因为，所以.
解法2：因为，所以，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
因为，所以，
即，
化简得，因为，可得，
所以，因为，所以.
（2）解：因为，所以，
又因为，，
所以，
所以
，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为．
题型04平面向量夹角（最值，范围）问题
【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】由，可得；
所以；
因此，
所以，
显然，所以，当且仅当时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【典例2】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为单位向量，的夹角为，
则，
所以，
又，
所以，
当取最大值时，必有，
则，
又，，则，所以，
所以，
故的最大值为.
故选：D．
【典例3】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
【典例4】（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，若对任意模为的向量，均有，
由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量，
所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为.
，，
平方得到，即，
则，即，即，
同时，所以，
平方得到，即，
解得，即，，
综上，又因为，即，
向量的夹角的取值范围.
故答案为：.
【变式1】（2022上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
即，；
，
即，；
设向量与所成夹角为，
（当且仅当时取等号）；
又，.
故选：A.
【变式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意可得，，则，
，
，则，
所以，，
令，则，
令，由得，
则，所以，故
所以，当时，有最小值.
故选：A.
【变式3】（2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）在中，点D为AC的中点，点E满足．记，，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】 /30°
【详解】
如图所示，结合题意知：；
若，则，
设，
则，
当且仅当时取得等号，
由余弦函数的单调性得，所以的最大值为.
故答案为：；.
【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知平面单位向量满足，设，，向量的夹角为，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】，，，
；
设，则，，
令，则，，
，，，
即的最小值为.
故答案为：.
题型05 平面向量投影（投影向量）
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，又，
所以，则在方向上的投影向量的模为，
故选：B．
【典例2】（2023·广东·统考二模）已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是 .
【答案】
【详解】设直线倾斜角为，的倾斜角为，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即
由圆：，即，
所以圆心，半径，
又点在圆上，
所以点到直线的距离，解得，即，
当直线的斜率不存在时，方程为与圆相切，成立，此时，
综上，，
则，
所以，即
所以，
即，
又
所以向量在向量上的投影向量的模为，
故答案为：.
【典例3】（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则 .
【答案】/
【详解】因为，，所以，
，
所以P点坐标为，
所以，
所以.
故答案为：.
【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】依题意，，
向量在向量上的投影向量：
，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
【变式2】（2023·广东惠州·统考一模）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为 ．（结果用表示）．
【答案】
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由，可设，，

得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．
因为是的角平分线，
且，
所以也为的角平分线，为的内心．
如图，设，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，
又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，
故答案为：
【变式3】（2023下·广东惠州·高一校联考阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为 .
【答案】
【详解】因为，与的夹角，则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
题型06 平面向量中的新文化，新定义题
【典例1】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，，，
，
，
由已知，可得，①
又因为，②
联立①②可得，，
因此，、的余弦距离为，
故选：A.
【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故选：B.

【典例3】（多选）（2023下·宁夏吴忠·高一统考期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．的最大值为 D．
【答案】DBD
【详解】对于A选项，正八边形的内角为，易知，
，A对；
对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，

所以，，B对；
对于C选项，如下图所示：

设在方向上的投影向量为，由图形可知，
当、分别在线段、上时，取最大值，
且的最大值为，C错；
对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：

当点在线段上时，取最小值，
此时，，
当点在线段上时，取最大值，
此时，，
综上所述，，D对.
故选：ABD.
【典例4】（2023下·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】BC
【详解】如图，作，分别以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得，，且，
若，则，，所以，，
所以，故A错误；
由，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，故B正确；
由于，
故
，而，所以，
所以，故C正确，
，由于，故，
故，故D错误；
故选：BC
【变式1】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得
则，
又，
∴，
∴，，
，
故选：
【变式2】（多选）（2023下·江苏南通·高一统考期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）

A． B．
C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是
【答案】DCD
【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，
连接，，连接，交于点，易得，在上，．
过作，垂足为点，过作，垂足为点．
由题意得，，所以，
，
所以，所以，A正确．
计算，所以B错误；
，所以，
，
所以，即，
连接，取的中点，连接，则，所以，
当点与点重合时取得最大值，所以的最大值为：
， C正确；
因为四边形为矩形，所以，，
所以，
当与重合时，取得最大值为，
当与重合时，取得最小值为，
所以的取值范围是，， D正确．
故选：ACD．

【变式3】（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 .
【答案】
【详解】由于，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
故答案为：

【变式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .

【答案】/
【详解】依题意，，即，则，同理，
因此，
即，整理得，而，且不共线，
于是，所以.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第13讲 拓展一：平面向量综合问题
题型01 平面向量共线定理及其推论
【典例1】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【典例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【变式1】（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式2】（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
【变式3】（2022上·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型02平面向量数量积（最值，范围）问题
【典例1】（2023下·天津·高一统考期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·江苏泰州·高一统考期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【典例3】（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ．
【典例4】（2023下·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【变式1】（多选）（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·北京通州·高一统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．

【变式3】（2023下·浙江丽水·高二统考期末）在中，，为边上的动点，则的最小值为 ．
【变式4】（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是 ．

题型03平面向量的模（最值，范围）问题
【典例1】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南开中学校考期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为 .
【典例3】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是
【典例4】（2023下·四川眉山·高三校考开学考试）在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的值；
(2)若，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围.
【变式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为1，的取值范围为 ．
【变式3】（2023上·江苏南京·高二统考期中）在中，分别为角所对的边，．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，且，，求的最小值．
题型04平面向量夹角（最值，范围）问题
【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【典例2】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【典例3】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 .
【变式1】（2022上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）在中，点D为AC的中点，点E满足．记，，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知平面单位向量满足，设，，向量的夹角为，则的最小值是 ．
题型05 平面向量投影（投影向量）
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A． B．3 C． D．
【典例2】（2023·广东·统考二模）已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是 .
【典例3】（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则 .
【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2】（2023·广东惠州·统考一模）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为 ．（结果用表示）．
【变式3】（2023下·广东惠州·高一校联考阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为 .
题型06 平面向量中的新文化，新定义题
【典例1】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【典例3】（多选）（2023下·宁夏吴忠·高一统考期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．的最大值为 D．
【典例4】（2023下·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【变式1】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023下·江苏南通·高一统考期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）

A． B．
C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是
【变式3】（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 .
【变式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .

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