资源简介

A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
11．（2023上·江苏南通·高三统考期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则或
C． D．若，则或
12．（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若复数，满足．则
D．若 ，则的最大值为4
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2024·全国·高三专题练习）已知复数（为虚数单位），则 ．
14．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）若复数是纯虚数，则实数 ．
15．（2023上·上海·高三校考期中）在复平面内，复数对应的点位于第 象限．
16．（2023下·高一课时练习）若实数、满足，复数，则的最大值是 ；最小值 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:
(1)；
(2).
18．（2023下·陕西西安·高一期末）已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
19．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）已知复数，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
20．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
21．（2024·全国·高三专题练习）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.
22．（2023下·上海闵行·高一统考期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①； ②；
③； ④.
(1)设，，求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
② ③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 第七章 复数 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数的虚部为.
故选：C.
2．（2024上·湖北·高三统考期末）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用复数的乘法法则计算即得.
【详解】.
故选：B
3．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为，
所以其对应的点位于第四象限.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算结合复数相等的条件即可求解.
【详解】由于，
所以，即，所以．
故选：A
5．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知复数满足的共轭复数为，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据复数的模的公式，结合复数除法和乘法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
6．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解.
【详解】∵复数，是方程的两个虚数根，∴，为，∴．
故选：C.
7．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以解得，
故选：.
8．（2023·上海闵行·统考一模）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C．的周长 D．的面积
【答案】A
【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论.
【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则，
由可得，
对于方程，则，
解方程可得，
所以，，所以，，
中，由于不是定值，则的面积、均不为定值，
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为2 B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限
C．z的共轭复数 D．
【答案】ABD
【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可.
【详解】，
所以z的虚部为2，故A正确；
复数z在复平面对应的点为在第二象限，故B正确；
复数z的共轭复数，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023上·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考阶段练习）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
【答案】AD
【分析】根据复数的分类，结合复数的性质，逐项分析，得到命题的真假，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，
因为，可得，则，所以A正确；
对于B中，若复数时，可得，此时，所以B为假命题；
对于C中，若复数，可得，则，所以C为假命题；
对于D中，若复数，则，所以D为真命题.
故选：AD.
11．（2023上·江苏南通·高三统考期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则或
C． D．若，则或
【答案】ACD
【详解】A：设，
则，
所以，
又，所以，故A对；
B：设，满足，此时且，故B错；
C：设，，，
，，
，所以，故C对；
D：若，则或，故D对.
故选：ACD.
12．（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若复数，满足．则
D．若 ，则的最大值为4
【答案】BD
【详解】A：令，，则，但是虚数不能比较大小，错误；
B：因为，所以，即，
则或，所以或，所以，正确；
C：设（，），（，），
由可得，
所以，
而，不一定为0，错误；
D：设，，，因为，
所以，即，，
所以复数在复平面内所对应的点在圆上，
复数在复平面内所对应的点在圆上，
因为两圆的圆心距为，所以两圆相外切，
则两圆上的两点的连线段最大值为，正确.
故选：BD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2024·全国·高三专题练习）已知复数（为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】利用复数的乘法运算及几何意义计算即可.
【详解】，
．
故答案为：．
14．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）若复数是纯虚数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用复数的运算以及纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为是纯虚数，
所以，且即.
故答案为：
15．（2023上·上海·高三校考期中）在复平面内，复数对应的点位于第 象限．
【答案】四
【分析】先根据复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故答案为：四
16．（2023下·高一课时练习）若实数、满足，复数，则的最大值是 ；最小值 ．
【答案】 6 4
【分析】由复数的几何意义结合向量的运算得出答案.
【详解】设，则.
则，即.
即，即.
因此的最大值为，最小值为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）利用复数的四则运算求解即可.
【详解】（1）
为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由已知可得，
因为为纯虚数，所以；
（2）由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
20．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设是方程的一个实根，则
即
根据复数相等的意义知
解得：．
所以，当时，原方程有一实根．
（2）假定方程有纯虚数根（，且），代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程即无实数解，即实数不存在．
所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根．
21．（2024·全国·高三专题练习）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.
【答案】答案见解析
【详解】解：上述解法中仅解法三正确，本题的几何意义在于“在虚轴上找一点，
使其到定点距离之和为最小”.
∵在虚轴同侧，
对于解法一：当时，，
，则，
即不能使得不等式中的等号成立，
故解法一错误；
对于解法二：不等式中，
等号成立的条件是复数在复平面内对应的点在线段上，
而线段与虚轴没有公共点，故这个等号不成立，解法二错误；
解法三由于找到点关于虚轴的对称点，
显然连线与虚轴交点即是所找的一点，.
∵，
故所求式最大值为.
22．（2023下·上海闵行·高一统考期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①； ②；
③； ④.
(1)设，，求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
② ③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
【答案】(1)，
(2)①③错误，②正确，证明见解析
(3)证明见解析，答案见解析
【详解】（1）因为，，
所以，
（2）设，，，、、、、、、，
则，，故①不成立，
，，
，
因为，，
所以
，故②正确；
，，
，，
设，，，
则，，
，
所以，故，即③错误；
（3）设满足条件的，，、，
则，，
因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，
所以，则，
以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，
不妨令，则，
则
，
当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.
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