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第02讲 7.1.2 复数的几何意义
课程标准 学习目标
①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；
知识点01：复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
①轴——实轴
②轴——虚轴
③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
知识点02：复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
知识点03：复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
【即学即练1】（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】.
故选：A
知识点04：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）已知复数（其中为虚数单位），则 .
【答案】/
【详解】.
故答案为:.
题型01 复数的坐标表示
【典例1】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2023下·新疆哈密·高一校考期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则 ．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
题型02 在各象限内点对应复数的特征
【典例1】（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）复数对应的点在第四象限，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知复数，若在复平面内对应的点在第二象限，则m的取值范围为 ．
【典例3】（2023下·安徽宿州·高一统考期中）在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点在第 象限.
【变式1】（2023下·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021·高一课时练习）当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】（2022上·北京·高二北京二中校考阶段练习）已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为 .
题型03 实轴，虚轴上点对应复数
【典例1】（2023下·高一单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .
【典例2】（2022上·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；
(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【典例3】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中），复数在复平面内对应的点.
(1)点位于第二象限，求的取值范围；
(2)复数是纯虚数，求的值.
【变式1】（2022·高一课时练习）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．
【变式2】（2023下·陕西榆林·高一校考期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.
【变式3】（2023下·天津河北·高一统考期中）已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
题型04 求复数的模
【典例1】（2023·全国·模拟预测）若，z为纯虚数，且，则（ ）
A． B．5 C． D．3
【典例2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【典例3】（2022·全国·高二专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【变式2】（2023下·高一单元测试）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（多选）（2022上·山东青岛·高三统考期末）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C． D．若，则
题型05 根据复数的模求参数
【典例1】（2023下·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（ ）
A．且 B．且 C．或 D．或
【典例2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
【典例3】（2021·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【典例4】（2022·上海·统考模拟预测）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为
【变式1】（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知复数的模为5，则 .
【变式2】（2022下·河南·高二校联考阶段练习）设复数(为虚数单位)，若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·福建·高一校联考期中）已知复数的实部为， 且，则复数的虚部为 ．
【变式4】（2023下·河南南阳·高一统考期末）已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；
(2)求的最小值及此时实数m的值.
题型06 判断复数对应点所在象限
【典例1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2022下·高一校考单元测试）欧拉公式（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当时， .根据欧拉公式可知，对应的点在复平面内位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例3】（多选）（2023·高一单元测试）设，复数，则在复平面内对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（2022下·高一课时练习）复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型07 根据复数的坐标写出复数
【典例1】（2023下·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022·江苏南通·校联考模拟预测）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
【典例3】（2022下·陕西西安·高二统考期中）在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为
【变式1】（2022上·广西·高二统考学业考试）复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·山东枣庄·高一统考期末）在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·高一课时练习）已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
题型08 根据复数对应坐标的特点求参数
【典例1】（2022下·广东清远·高一校联考期中）已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是 .
【典例2】（2022·全国·高一专题练习）已知，当θ为何值时，
(1)；
(2)对应点关于x轴对称；
(3)．
【典例2】（2023下·山东青岛·高一统考期中）在复平面内，O是原点，向量对应的复数，.
(1)若点A位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(3)若，且，求的取值范围.
【变式1】（2023下·上海闵行·高一统考期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·山东泰安·高一统考期中）已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东·高二学业考试）设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（2023下·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．（2022下·浙江宁波·高二校考学业考试）已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
6．（2023上·北京·高三校考阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·北京东城·统考二模）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·江西上饶·高一统考期末）复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．的虚部为2 D．在复平面内对应点位于第一象限
10．（2023下·河北邢台·高一统考期末）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
三、填空题
11．（2024·浙江台州·统考一模）若（为虚数单位），则 ．
12．（2023上·广西柳州·高二柳州市第三中学校考开学考试）写出一个模为的非纯虚数 ．
四、解答题
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
14．（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
B能力提升
1．（2023下·高一单元测试）已知复平面内的对应的复数分别是，，其中，设对应的复数是.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在直线上，求的值.
2．（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期末）已知，复数（是虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.
3．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知复数，．
(1)若，，,对应的点在第四象限求的范围．
(2)若， 求的最大值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 7.1.2 复数的几何意义
课程标准 学习目标
①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；
知识点01：复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
①轴——实轴
②轴——虚轴
③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
知识点02：复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
知识点03：复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
【即学即练1】（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】.
故选：A
知识点04：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）已知复数（其中为虚数单位），则 .
【答案】/
【详解】.
故答案为:.
题型01 复数的坐标表示
【典例1】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
【典例2】（2023下·新疆哈密·高一校考期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ．
【答案】/
【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，
所以，
因为是平行四边形，所以，设，
则，故，解得，
所以，则点D对应的复数为.
故答案为: .
【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则 ．
【答案】或或
【详解】因为，，,又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得
当为平行四边形,则;
当为平行四边形,则,即
当为平行四边形,则,即
故答案为: 或或
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)5．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【详解】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为.
（2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得在复平面对应的点为.
（3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数 在复平面对应的点为
（4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为

题型02 在各象限内点对应复数的特征
【典例1】（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）复数对应的点在第四象限，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】因为复数对应的点在第四象限，则，
因此，角是第二象限角.
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知复数，若在复平面内对应的点在第二象限，则m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知可得，.
根据复数的几何意义可得，，
解得或，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
【典例3】（2023下·安徽宿州·高一统考期中）在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点在第 象限.
【答案】三
【详解】由复数为虚数单位的共轭复数为：
，
所以对应的点为，
因为，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
故复数的共轭复数对应的点在第三象限，
故答案为：三.
【变式1】（2023下·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得.
故选：C
【变式2】（2021·高一课时练习）当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.
【变式3】（2022上·北京·高二北京二中校考阶段练习）已知i为虚数单位，复数且，z在复平面内的对应点位于第四象限，则z的虚部为 .
【答案】
【详解】，
，解得，
在复平面内的对应点位于第四象限，，.
故答案为：.
题型03 实轴，虚轴上点对应复数
【典例1】（2023下·高一单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .
【答案】
【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，
所以，解得或.
故答案为：.
【典例2】（2022上·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；
(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)或.
【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，
解得或.
（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，
所以，解得或.
（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，
即，解得或.
【典例3】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中），复数在复平面内对应的点.
(1)点位于第二象限，求的取值范围；
(2)复数是纯虚数，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，即，
解得，即的取值范围为
（2）因为复数是纯虚数，
所以，解得，
所以当时，复数是纯虚数
【变式1】（2022·高一课时练习）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．
【答案】a＝0或2
【详解】∵复数对应的点在虚轴上，
∴，解得或.
【变式2】（2023下·陕西榆林·高一校考期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为复数是实数，所以，所以；
（2）因为复数是纯虚数，所以，
所以；
（3）复数在复平面中对应的点为，
因为该点位于第三象限，所以，所以.
【变式3】（2023下·天津河北·高一统考期中）已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)；
(3)
【详解】（1）解：，且是实数，
，
解得或；
（2）解：是纯虚数，
，
解得；
（3）解：在复平面内对应的点在第四象限，
，
解得.
题型04 求复数的模
【典例1】（2023·全国·模拟预测）若，z为纯虚数，且，则（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【详解】因为z为纯虚数，
所以设，
由得，
所以，解得，
所以，则，
故选：A．
【典例2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以.
故选：B
【典例3】（2022·全国·高二专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
【变式1】（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
【详解】若，即，
得，解得，
所以．
故选：B
【变式2】（2023下·高一单元测试）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】复数，则，
故选：B
【变式3】（多选）（2022上·山东青岛·高三统考期末）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ）
A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C． D．若，则
【答案】BC
【详解】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；
选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；
选项C：由，可得
.判断正确；
选项D： 即
可得，解之得.选项D判断错误.
故选：BC
题型05 根据复数的模求参数
【典例1】（2023下·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（ ）
A．且 B．且 C．或 D．或
【答案】D
【详解】复数为纯虚数，则，即，故，
由，则或．
故选：D．
【典例2】（2023上·上海虹口·高三校考期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
【答案】
【详解】由题设，则，
所以，又，则，，
所以，则.
故答案为：
【典例3】（2021·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】由题意，，
可得，整理得，所以，所以，
故选：D．
【典例4】（2022·上海·统考模拟预测）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为
【答案】
【详解】不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
【变式1】（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知复数的模为5，则 .
【答案】
【详解】由题意，可得，且，解得.
故答案为：.
【变式2】（2022下·河南·高二校联考阶段练习）设复数(为虚数单位)，若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由，得，
由复数模的几何意义知，表示复平面上的点与点间的距离，
而点在单位圆上，要使恒成立，则点必在圆上或其内部，故，解得.
故选：D.
【变式3】（2023下·福建·高一校联考期中）已知复数的实部为， 且，则复数的虚部为 ．
【答案】
【详解】由复数的实部为，可设复数，
因为，可得，可得，解得.
故答案为：.
【变式4】（2023下·河南南阳·高一统考期末）已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；
(2)求的最小值及此时实数m的值.
【答案】(1)或
(2)的最小值为，
【详解】（1）由，解得或.
（2），
令，∵，∴，
则，
所以当，即时，有最小值.
题型06 判断复数对应点所在象限
【典例1】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【典例2】（2022下·高一校考单元测试）欧拉公式（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当时， .根据欧拉公式可知，对应的点在复平面内位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解析：因为，所以
，所以，
故对应的点在复平面中位于第三象限．
故选：C.
【典例3】（多选）（2023·高一单元测试）设，复数，则在复平面内对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【详解】由题意得：复数在复平面内对应的点为；
令，
①当，即时，
若，则，位于第一象限；
若，则，在第二象限；
②当，即时，，位于第四象限；
综上所述：在复平面内对应的点可能在第一、第二和第四象限.
故选：ABD.
【变式1】（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】复数在复平面上的对应的点为，
所以在复平面上的点在第四象限.
故选：D.
【变式2】（2022下·高一课时练习）复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】根据题意可知，复数的实部，虚部.
当时，，，故点可能在一、四象限；
当时，，，故点在第三象限.
综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限.
故选：B.
题型07 根据复数的坐标写出复数
【典例1】（2023下·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对应的点的坐标为，
因为在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以对应的点的坐标为，
故.
故选：B.
【典例2】（2022·江苏南通·校联考模拟预测）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
【答案】B
【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），
所以
则，解得，
∴.
故选：B．
【典例3】（2022下·陕西西安·高二统考期中）在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为
【答案】3+5i
【详解】试题分析：三点对应的复数分别是，，
设，则：，
在平行四边形中，有，即，
，即对应的复数为：.
故答案应填：．
【变式1】（2022上·广西·高二统考学业考试）复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复平面内的点对应的复数为.
故选：A
【变式2】（2022下·山东枣庄·高一统考期末）在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设，点，对应的复数分别为，，
，，则，，
为靠近点的线段的三等分点，
，，解得，
，对应复数为．
故选：A．
【变式3】（2022·高一课时练习）已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
【答案】
【详解】设复数在复平面上分别对应点
设正方形的第四个顶点对应的坐标是,则其对应的复数为,则,
又
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是
题型08 根据复数对应坐标的特点求参数
【典例1】（2022下·广东清远·高一校联考期中）已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，复数对应点的坐标为，该点位于第三象限内，
则满足 ,
得 ,所以,
故答案为：
【典例2】（2022·全国·高一专题练习）已知，当θ为何值时，
(1)；
(2)对应点关于x轴对称；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，
所以，即，则，
所以；
（2）解：因为对应点关于x轴对称，
所以，即，则，
所以；
（3）解：由，
得，
即，
所以，所以，
所以.
【变式1】（2022下·陕西延安·高二子长市中学校考期末）已知复数，，是虚数单位．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【详解】（1）∵复数为纯虚数，∴解得，
∴的值为0．
（2）∵复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得，
故的取值范围为．
【变式2】（2022下·广西柳州·高一统考期中）已知复数
(1)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)2；
(2).
【详解】（1）复数是纯虚数，则有，
解得，
所以实数m的值是2.
（2）复数在复平面内的对应点在第四象限，
于是得，解得：，
所以实数m的取值范围是.
题型09 共轭复数
【典例1】（2023下·四川内江·高一统考期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（ ）
A．一象限 B．二象限
C．三象限 D．四象限
【答案】A
【详解】由题意可知，复数的共轭复数为，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
【典例2】（多选）（2022下·江苏连云港·高二统考期中）已知复数，则下列命题中正确的为（ ）
A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第二象限
【答案】AB
【详解】因为，
所以，故A正确；，故B正确；的虚部是-3，故C错误；在复平面上对应的点是，在第四象限，故D错误.
故选：AB
【变式1】（2022·全国·高三专题练习）若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：，=，在复平面内对应的点为在第二象限
故选：B
【变式2】（2022下·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知复数，那么的虚部是 .
【答案】-4
【详解】,,
的虚部是.
故答案为：
题型10 复数与三角函数、集合的综合问题
【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：．根据复数乘方公式，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意得，
因为，，，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D
【典例2】（2023下·山东青岛·高一统考期中）在复平面内，O是原点，向量对应的复数，.
(1)若点A位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(3)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意对应点A位于第四象限，
故，解得，
即m的取值范围.
（2）点A对应的复数为，则关于实轴的对称点B对应的复数为，
则对应的复数为，
（3），
，即，
由，可知，
故的取值范围为.
【变式1】（2023下·上海闵行·高一统考期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为，
如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为，
向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.
由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，
故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，
因为，所以扇形的面积为等于.
故选：B.

【变式2】（2023下·山东泰安·高一统考期中）已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）因为当时，表示实数，所以，
所以.
又因为当时表示纯虚数，所以，且
所以.
从而.
（2）因为
.
当时，，则取得最大值，
此时的最大值为.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东·高二学业考试）设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因为，
所以对应复平面内点的坐标，
所以位于第二象限，
故选：B
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【详解】由题意知，
，
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，
又该点在实轴上，所以，解得，
所以，则.
故选：D.
3．（2023下·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】由在复平面内对应的点在第一象限,所以，
故选：C
4．（2022下·浙江宁波·高二校考学业考试）已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】由题设，故其虚部为3.
故选：C
5．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
【答案】D
【详解】由题意可设，
所以对应复数为，此复数为纯虚数，
故选：D.
6．（2023上·北京·高三校考阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
C．的虚部为2 D．在复平面内对应点位于第一象限
【答案】ACD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，虚数可以相等，但不能用大于小于联系，B错误；
对于C，的虚部为2，C正确；
对于D，在复平面内对应点为，位于第一象限，D正确．
故选：ACD.
10．（2023下·河北邢台·高一统考期末）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】AD
【详解】对于A，令，A正确；
对于B，或，当时，不是纯虚数，B错误；
对于C，当时，，所以在复平面内对应的点在第二象限，C错误；
对于D，由于，故在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：AD
三、填空题
11．（2024·浙江台州·统考一模）若（为虚数单位），则 ．
【答案】/
【详解】因为，所以.
故答案为：
12．（2023上·广西柳州·高二柳州市第三中学校考开学考试）写出一个模为的非纯虚数 ．
【答案】（答案不唯一，只要满足实部和虚部的平方和为的非纯虚数即可）
【详解】设，
由题意可知，，
取，
故答案为：
四、解答题
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得.
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
14．（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
【答案】(1)且.
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）由复数和复平面内的点Z对应，
因为复数不在实轴上，则满足，解得且.
（2）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在虚轴上，则满足，解得.
（3）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在实轴下方（不包括实轴），则满足，解得.
（4）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数在虚轴右侧（不包括虚轴），则满足，解得.
（5）因为复数和复平面内的点Z对应，
因为复数第三象限，则满足，解得.
B能力提升
1．（2023下·高一单元测试）已知复平面内的对应的复数分别是，，其中，设对应的复数是.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在直线上，求的值.
【答案】(1).
(2)或.
【详解】（1）∵点对应的复数分别是 ，，
∴点的坐标分别是，
∴
，
∴对应的复数.
（2）由（1）知点的坐标是，代入，
得，即，∴.
又∵，∴，
∴或.
2．（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期末）已知，复数（是虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是纯虚数，所以解得
故的值为；
（2）在复平面内对应的点为，
由题意可得.
解得，
即的取值范围是.
3．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知复数，．
(1)若，，,对应的点在第四象限求的范围．
(2)若， 求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知， 解得，
故实数的范围为 ．
（2）， 所以，
所以， 故．
当且仅当， 所求最大值为．
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